抛物线抛物线的简单几何性质.ppt

抛物线的几何性质抛物线的几何性质•第一课时第一课时04 04 九月九月 2024 2024修远中学修远中学 梁成梁成阳阳平面内与一个定点平面内与一个定点F F和一条定直线和一条定直线l l的距离相等的点的轨迹叫做的距离相等的点的轨迹叫做抛物线抛物线( (定点不在定直线上定点不在定直线上) )定点定点F F叫做抛物线的叫做抛物线的焦点焦点定直线定直线l l 叫做抛物线的叫做抛物线的准线准线 复习复习即即:︳︳ ︳︳︳︳︳︳··FMlN练习练习平面上的动点平面上的动点 P P到定点到定点F(1,0)F(1,0)的距离比点的距离比点P P到到y y轴的距离大轴的距离大1,1,求动点求动点P P的轨迹方程的轨迹方程. .准线方程准线方程焦点坐标焦点坐标标准方程标准方程焦点位置焦点位置 图图 形形 四种抛物线及其它们的标准方程四种抛物线及其它们的标准方程 x轴的轴的正半轴上正半轴上 x轴的轴的负半轴上负半轴上 y轴的轴的正半轴上正半轴上 y轴的轴的负半轴上负半轴上y2=2pxy2=-2pxx2=2pyx2=-2pyF(----结合抛物线结合抛物线y2=2px(p>0)的标准方程和图形的标准方程和图形,探索探索其的几何性质其的几何性质:(1)范围范围(2)对称性对称性(3)顶点顶点类比探索类比探索x≥0,y∈∈R关于关于x轴对称轴对称,对称轴对称轴又叫抛物线的轴又叫抛物线的轴.抛物线和它的轴的交点抛物线和它的轴的交点.(4)离心率离心率(5)焦半径焦半径(6)通径通径始终为常数始终为常数1通过焦点且垂直对称轴的直线，与抛物线相通过焦点且垂直对称轴的直线，与抛物线相交于两点，连接这两点的线段叫做抛物线的交于两点，连接这两点的线段叫做抛物线的通径。

通径PF|=x0+p/2xOyFP通径的长度通径的长度：：2P思考思考：通径是抛物线的焦点弦中最短的弦吗？特点特点1.抛物线只位于半个坐标平面内抛物线只位于半个坐标平面内,虽然它可以无虽然它可以无限延伸限延伸,但它没有渐近线但它没有渐近线;2.抛物线只有一条对称轴抛物线只有一条对称轴,没有对称中心没有对称中心;3.抛物线只有一个顶点、一个焦点、一条准线抛物线只有一个顶点、一个焦点、一条准线;4.抛物线的离心率是确定的抛物线的离心率是确定的,为为1;5.抛物线标准方程中的抛物线标准方程中的p对抛物线开口的影响对抛物线开口的影响.P越大越大,开口越开阔开口越开阔图图 形形方程方程焦点焦点准线准线 范围范围 顶点顶点 对称轴对称轴elFyxOlFyxOlFyxOlFyxOy2 = 2px（（p>0））y2 = -2px（（p>0））x2 = 2py（（p>0））x2 = -2py（（p>0））x≥0y∈∈Rx≤0y∈∈Ry≥0x∈∈Ry ≤ 0x∈∈R(0,0)x轴轴y轴轴1例例1. 顶点在坐标原点顶点在坐标原点,对称轴是坐标轴对称轴是坐标轴,并且过点并且过点M(2, )的抛物线有几条的抛物线有几条,求它的标准方程求它的标准方程,当焦点在当焦点在x(y)轴上轴上,开口方向不定时开口方向不定时,设为设为y2=2mx(m ≠0)(x2=2my (m≠0)),可避免讨论可避免讨论xyO FABB’A’例例2.斜率为斜率为1的直线的直线L经过抛物线经过抛物线 的焦点的焦点F,且与抛物线相交于且与抛物线相交于A,B两点两点,求线段求线段AB的长的长.y2 = 4x2.过抛物线的焦点做倾斜角为过抛物线的焦点做倾斜角为 的直线的直线L,设设L交抛物线于交抛物线于A,B两点两点,(1)求求|AB|;(2)求求|AB|的最小值的最小值.练习练习:1.过抛物线过抛物线 的焦点的焦点,作倾斜角为作倾斜角为的直线的直线,则被抛物线截得的弦长为则被抛物线截得的弦长为y2 = 8x163、已知、已知AB是抛物线是抛物线y2＝＝2px的任意一条焦点弦，的任意一条焦点弦，且且A（（x1，，y1）、）、B（（x2，，y2））1）求证：）求证：y1y2＝－＝－P2，，x1x2＝＝p2/4。

2）若弦）若弦AB过焦点，求证：以过焦点，求证：以AB为直径的圆与为直径的圆与准线相切准线相切方程图形范围对称性顶点焦半径焦点弦的长度 y2 = 2px（（p＞＞0））y2 = -2px（（p＞＞0））x2 = 2py（（p＞＞0））x2 = -2py（（p＞＞0））lFyxOlFyxOlFyxOx≥0 y∈∈Rx≤0 y∈∈Rx∈∈R y≥0y≤0x∈∈RlFyxO关于x轴对称 关于x轴对称 关于y轴对称关于y轴对称（0,0）（0,0）（0,0）（0,0）例例3 过抛物线焦点过抛物线焦点F的直线交抛物线于的直线交抛物线于A,B两点，通过点两点，通过点A和抛物线顶点的和抛物线顶点的直线交抛物线的准线于点直线交抛物线的准线于点D，求证：直线，求证：直线DB平行于抛物线的对称轴平行于抛物线的对称轴xyOFABD分析：运用分析：运用抛物线的定抛物线的定义和平面几义和平面几何知识来证何知识来证比较简捷．比较简捷． 拓展：拓展： 过抛物线过抛物线y2=2px的焦点的焦点F任作一条直线任作一条直线m，，交这抛物线于交这抛物线于A、B两点，求证：以两点，求证：以AB为直径的圆为直径的圆和这抛物线的准线相切．和这抛物线的准线相切．证明：如图． 所以所以EH是以是以AB为直径的为直径的圆圆E的半径，且的半径，且EH⊥⊥l，因，因而圆而圆E和准线和准线l相切．相切．设设AB的中点为的中点为E，过，过A、、E、、B分别向准线分别向准线l引垂引垂线线AD，，EH，，BC，垂足为，垂足为D、、H、、C，，则｜则｜AF｜＝｜｜＝｜AD｜，｜｜，｜BF｜＝｜｜＝｜BC｜｜∴∴｜｜AB｜｜＝｜＝｜AF｜＋｜｜＋｜BF｜｜＝｜＝｜AD｜＋｜｜＋｜BC｜｜ =2｜｜EH｜｜yOxBA等腰直角三角形等腰直角三角形AOB内接于抛物线内接于抛物线y2=2px(P>0),O为抛物线的顶点为抛物线的顶点,OA⊥⊥OB,则则ΔAOB的面积为的面积为A. 8p2B. 4p2C. 2p2D. p2 1、已知抛物线的顶点在原点，对称、已知抛物线的顶点在原点，对称轴为轴为x轴，焦点在直线轴，焦点在直线3x-4y-12=0上，那上，那么抛物线通径长是么抛物线通径长是 . 2、一个正三角形的三个顶点，都在抛、一个正三角形的三个顶点，都在抛物线物线 上，其中一个顶点为坐标上，其中一个顶点为坐标原点，则这个三角形的面积为原点，则这个三角形的面积为 。

例例2 2、、已已知知直直线线l l：：x=2px=2p与与抛抛物物线线 =2px(p>0)=2px(p>0)交交于于A A、、B B两两点点，，求求证：证：OA⊥OB.OA⊥OB.证明：由题意得，证明：由题意得，A(2p,2p),B(2p,-A(2p,2p),B(2p,-2p)2p)所以所以 =1=1，， =-1=-1因此因此OA⊥OBOA⊥OB推推广广1 1 若若直直线线l l过过定定点点(2p,0)(2p,0)且且与与抛抛物物线线 =2px(p>0)=2px(p>0)交交于于A A、、B B两点，求证：两点，求证：OA⊥OB.OA⊥OB.xyOy y2 2=2px=2pxA AB BL:x=2pC(2p,0)C(2p,0)xyOy y2 2=2px=2pxA AB BlC(2p,0)证明：证明：设设l 的方程为的方程为y=k(x-2p) 或或x=2p 所以所以OA⊥OB.OA⊥OB.代入代入y2=2px得，得，可知可知又又直线直线l l过定点过定点(2p,0)(2p,0)推推广广2 2：： 若若直直线线l l与与抛抛物物线线y y2 2 =2px(p>0)=2px(p>0)交交于于A A、、B B两两点点，，且且OA⊥OB OA⊥OB ，，则则____________________ xyOy2=2pxABlC(2p,0)验证：由验证：由 得得 所以所以直线直线l l的方程为的方程为 即即而因为而因为OA⊥OB OA⊥OB ，可知，可知 推出推出 ，代入，代入 得到直线得到直线l l 的方程为的方程为所以直线过定点（所以直线过定点（2p,0).2p,0).高考链接：高考链接：过定点过定点Q Q（（2p,0)2p,0)的直线与的直线与y2 = 2px（（p＞＞0）交于相异两点）交于相异两点A、、B，以，以线段线段AB为直径作圆为直径作圆H(H为圆心），试证明抛物线顶点在圆为圆心），试证明抛物线顶点在圆H上。

上小结小结:1.掌握抛物线的掌握抛物线的几何性质几何性质:范围、对称性、顶点、范围、对称性、顶点、离心率、通径离心率、通径;2.会利用抛物线的几何性质求抛物线的标准方程、会利用抛物线的几何性质求抛物线的标准方程、焦点坐标及解决其它问题焦点坐标及解决其它问题;讨论题：讨论题： 1 若抛物线若抛物线y2=8x上一点上一点M到原点的距离到原点的距离 等等于点于点M到准线的距离则点到准线的距离则点M的坐标是的坐标是 2 已知定点已知定点A(3,2)和抛物线和抛物线y2=2x, F是抛物线是抛物线 焦点，试在抛物线上求一点焦点，试在抛物线上求一点P,使使 PA与与PF 的的 距离之和最小，并求出这个最小值距离之和最小，并求出这个最小值。