2019-2020学年广东省高一下学期期中数学试题（解析版）.doc

2019-2020学年广东省广州市第一一三中学高一下学期期中数学试题一、单选题1．在中，角、、所对的边分别为、、，若，，，则的大小为（ ）A． B． C． D．或【答案】B【解析】根据正弦定理求解.【详解】由正弦定理得,选B.【点睛】本题考查正弦定理，考查基本求解能力，属基础题.2．圆与圆的位置关系是（ ）A．相交 B．相离 C．内切 D．外切【答案】C【解析】先求得两圆的圆心和半径，然后再比较圆心距与两比较和与差的关系判断.【详解】因为圆的圆心为半径为，圆的圆心为半径为，而所以两圆相内切.故选：C【点睛】本题主要考查两圆的位置关系的判断，属于基础题.3．如图，某工厂生产的一种机器零件原胚的直观图是一个中空的圆台，中空部分呈圆柱形状，且圆柱底面圆心与圆台底面圆心重合，该零件原胚可由下面图形绕对称轴（直线）旋转而成，这个图形是（ ）A． B．C． D．【答案】B【解析】根据旋转体的形成过程即可得出选项.【详解】根据零件原胚的直观图可知，中空部分呈圆柱形状，而圆柱形状由矩形旋转形成，圆台由梯形旋转形成，分析四个选项，A项，旋转后圆台；C项，旋转后圆台；D项，球体中挖去一个小球；故选：B【点睛】本题考查了旋转体的形成过程，掌握旋转体的结构特征是解题的关键，属于基础题.4．设，是两个不同的平面，，是两条不同的直线，且，（ ）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则【答案】A【解析】试题分析：由面面垂直的判定定理：如果一个平面经过另一平面的一条垂线，则两面垂直，可得，可得【考点】空间线面平行垂直的判定与性质5．如图，正方形的边长为1cm，它是水平放置的一个平面图形用斜二测画法得到的直观图，则原图形的周长是（ ）A．8cm B．6cm C． D．【答案】A【解析】将直观图还原为平面图形是平行四边形，然后计算．【详解】解：将直观图还原为平面图形，如图所示.＝，，所以，所以原图形的周长为8cm，故选：A.【点睛】本题考查斜二测画法，掌握斜二测画法的定义是解题关键．根据斜二测画法的定义才能根据直观图中直线的位置关系确定原图形中直线的位置关系，从而解决原图形中的问题．6．已知某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则该几何体的体积是（　　）A．108cm3 B．100cm3 C．92cm3 D．84cm3【答案】B【解析】试题分析：由三视图可知：该几何体是一个棱长分别为6，6，3，砍去一个三条侧棱长分别为4，4，3的一个三棱锥（长方体的一个角）．据此即可得出体积．解：由三视图可知：该几何体是一个棱长分别为6，6，3，砍去一个三条侧棱长分别为4，4，3的一个三棱锥（长方体的一个角）．∴该几何体的体积V=663﹣=100．故选B．【考点】由三视图求面积、体积．7．已知直线与垂直，则的值是（ ）A．或 B． C． D．或【答案】C【解析】由题意得 ，选C.8．已知直线：是圆的对称轴.过点作圆的一条切线，切点为，则（ ）A．2 B． C．6 D．【答案】C【解析】试题分析：直线l过圆心，所以，所以切线长，选C.【考点】切线长9．在三棱锥中，已知所有棱长均为，是的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）A． B． C． D．【答案】A【解析】取的中点，连接、，于是得到异面直线与所成的角为，然后计算出的三条边长，并利用余弦定理计算出，即可得出答案．【详解】如下图所示，取的中点，连接、，由于、分别为、的中点，则，且，所以，异面直线与所成的角为或其补角，三棱锥是边长为的正四面体，则、均是边长为的等边三角形，为的中点，则，且，同理可得，在中，由余弦定理得，因此，异面直线与所成角的余弦值为，故选A．【点睛】本题考查异面直线所成角的计算，利用平移法求异面直线所成角的基本步骤如下：（1）一作：平移直线，找出异面直线所成的角；（2）二证：对异面直线所成的角进行说明；（3）三计算：选择合适的三角形，并计算出三角形的边长，利用余弦定理计算所求的角．10．已知圆和两点，，若圆上存在点，使得，则的最大值为（ ）A．7 B．6 C．5 D．4【答案】B【解析】由题意知，点P在以原点（0，0）为圆心，以m为半径的圆上，又因为点P在已知圆上，所以只要两圆有交点即可，所以，故选B.【考点】本小题主要考查两圆的位置关系，考查数形结合思想，考查分析问题与解决问题的能力.11．在四面体ABCD中，已知AB＝AC＝CD＝2，，且CD⊥平面ABC，则该四面体外接球的体积（　　）A．16π B．12π C． D．6π【答案】B【解析】证得三角形和三角形都为直角三角形，由此得到外接球的球心在的中点，计算的长由此求得球的半径，进而求得球的体积.【详解】由于所以，而平面故，，所以平面，所以即得到三角形和三角形都为直角三角形，所以外接球的球心在的中点，，故外接球半径，所以外接球的体积为，故选C.【点睛】本小题主要考查几何体外接球体积的求法，属于中档题，解题关键点在于找到球心和求出半径.球心的位置可以利用球心到几何体各个顶点的距离相等来求得.12．在中，，则的取值范围为（ ）A． B． C． D．【答案】D【解析】在中，根据，且，得到B的范围，然后由正弦定理结合两角和的正弦公式和二倍角公式转化为，再利用余弦函数的性质求解.【详解】在中，因为，且，所以 ，即 ，所以 ，由正弦定理得 ，，故选：D【点睛】本题主要考查正弦定理和三角恒等变换的应用以及三角函数性质的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.二、填空题13．若直线过点，且平行于过点和的直线，则直线的方程为_____【答案】【解析】先利用斜率公式求出直线的斜率，由直线与直线平行，得出直线的斜率，再利用点斜式可得出直线的方程．【详解】由于直线，则直线的斜率等于直线的斜率，又由于直线过点，所以直线的方程为，即．故答案为．【点睛】本题考查斜率公式、两直线的位置关系以及直线方程，关键在于将两直线平行转化为斜率相等，并利用斜率公式求出直线的斜率，考查推理分析能力与计算能力，属于中等题．14．如图，一热气球在海拔60m的高度飞行，在空中A处测得前下方河流两侧河岸，的俯角分别为75，30，则河流的宽度等于_____m．【答案】【解析】先计算出的长度，然后在中求出和，利用正弦定理求出的长度．【详解】在△ABC中，由得．又，，由正弦定理得．故答案为．【点睛】本题考查利用正弦定理解三角形的实际应用，一般而言，正弦定理解三角形适用于已知两角与一边类型的三角形，同时要分清楚正弦、余弦定理所适用的基本类型，在解三角形时根据已知元素类型合理选择这两个公式来求解．15．将半径为1的半圆形纸片卷成一个圆锥，使半圆圆心为圆锥的顶点，直径的两个端点重合，则圆锥的体积是_____.【答案】【解析】根据题意可知圆锥的母线长为1，底面周长为半圆的弧长，求出圆锥底面半径，进而求出底面面积，利用底面半径与母线长度求出圆锥的高，利用圆锥的体积公式即可求解.【详解】设圆锥的底面半径为，圆锥的高为， 圆锥底面周长为半圆的弧长，则，解得，底面面积 ，所以.故答案为：【点睛】本题考查了圆锥的体积公式，考查了空间想象能力，属于基础题.16．已知点，，直线l过点且与线段始终有交点，则直线l的斜率k的取值范围为______.【答案】【解析】由题意画出图形，数形结合得答案【详解】解：如图，因为点，，直线l过点，所以，所以直线的斜率的取值范围为或，故答案为：【点睛】此题考查直线的斜率，考查数形结合的思想方法，属于基础题三、解答题17．如图，已知四棱锥的底面是正方形，且边长为4cm，侧棱长都相等，E为BC的中点，高为PO，且，求该四棱锥的侧面积和表面积． 【答案】，【解析】根据直角三角形边角关系得出，结合三角形面积公式得到侧面面积和表面积.【详解】如图，，在中，．，E为BC的中点， 侧棱长都相等，，【点睛】棱柱、棱锥、棱台的表面积就是各个面的面积之和，因此，我们可以利用平面图形求面积的方法求立体图形的表面积．18．在中，内角对边的边长分别是，已知，．（Ⅰ）若的面积等于，求；（Ⅱ）若，求的面积．【答案】（Ⅰ），，（Ⅱ）【解析】【详解】（Ⅰ）由余弦定理及已知条件得，，又因为的面积等于，所以，得． 联立方程组解得， （Ⅱ）由题意得，即，当时，，，，，当时，得，由正弦定理得，联立方程组解得，．所以的面积．19．如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，，∥，平面，，.（1）求证：平面平面；（2）求点到平面的距离.【答案】（1）见解析（2）【解析】（1）证明平面，再利用面面垂直的判定定理，即可得答案；（2）设点到平面的距离为，利用等积法，即可得答案；【详解】解：（1）证明：由已知得，，，∴，∴，∵平面，平面，∴，∵，∴平面，∵平面，∴平面平面.（2）解：由（1）得平面，∴，，，设点到平面的距离为，∵，∴，∴，解得，∴点到平面的距离为.【点睛】本题考查面面垂直判定定理的应用、等积法求点到面的距离，考查转化与化归思想，考查空间想象能力、运算求解能力.20．已知圆及直线：.(1)证明：不论取什么实数，直线与圆C总相交；(2)求直线被圆C截得的弦长的最小值及此时的直线方程.【答案】(1)证明见解析；(2) ，.【解析】（1）根据直线过的定点在圆内，得出直线与圆总相交．（2）作图分析出当直线与半径CM垂直与点M时|AB|最短，利用勾股定理求出此时|AB|的长，再运用两直线垂直时斜率相乘等于−1，求出此时直线的方程．【详解】解：(1)证明：直线的方程可化为，由方程组，解得所以直线过定点M(3，1)，圆C化为标准方程为，所以圆心坐标为(1，2)，半径为5，因为定点M(3，1)到圆心(1，2)的距离为√，所以定点M(3，1)在圆内，故不论m取什么实数，过定点M(3，1)的直线与圆C总相交；(2)设直线与圆交于A、B两点，当直线与半径CM垂直与点M时，直线被截得的弦长|AB|最短，此时，此时，所以直线AB的方程为，即.故直线被圆C截得的弦长的最小值为，此时的直线的方程为.【点睛】本题主要考查直线和圆的位置关系，当直线与半径CM垂直于点M时|AB|最短是解题的关键，是中档题．21．已知圆：，上，过P点作圆C的切线，，A，B为切点.（1）求，所在直线的方程；（2）求切线长；（3）求直线的方程.【答案】（1），；(2) ；（3）.【解析】（1）当直线斜率不存在时，直线方程为，利用圆心到直线的距离验证，当直线的斜率存在时，设直线方程为，即，然后利用直线到圆心的距离等于比较求解.（2）利用切线长公式，由求解；（3）先求得以PC为直径的圆的方程，再与 两方程相减求解.【详解】（1）当直线斜率不存在时，直线方程为，圆心到直线的距离，不成立，当直线的斜率存在时，设直线方程为，即，圆心到直线的距离：，解得或，所以，所在直线的方程分别为，；（2）由切线长公式得：；（。