一道课本习题变式的解法初探.docx

一道课本习题的变式练习的解法初探著名特级教师孙维刚老师说过：“做题要一题多解、多题一解、多解归一根据这个要求，我对课本的一道习题的变式练习进行初步探究，将其解法展示如下，就教于同行 （1） 其余条件不变，当点Ｅ是BC边上任意一点时， AE=EF是否还成立？若成立请写出证明过程解法1：如图，在AB上截取AH=CE，易证△AHE≌△ECF解法2：如图，∵∠AEF=∠ACF，∴A、E、C、F四点共圆，∴∠AFE=∠ACE=45°，∴∠EAF=∠AEF-∠AFE =45°，∴∠AFE=∠EAF， ∴AE=EF解法3：作FH⊥BC延长线于点H，易证△ABE∽△EHF∴=====1,，∴AB=EH，BE=FH，∴△ABE≌△EHF∴AE=EF类比变式（1）的解法可得下面各题的解法2） 如下图：当点Ｅ是BC延长线上任意一点时，问AE=EF是否成立？解法1：如图，延长BA至AH，使得AH=CE，则BH=BE, ∴∠BHE=∠BEH，又∠DAE=∠AEB，∠HAE=∠HAD+∠DAE， ∠CEF=∠AEB +∠AEF，∴∠HAE=∠CEF, ∴△AHE≌△ECF∴AE=EF解法2：如图，∵∠AEF=∠ACF，∴A、E、C、F四点共圆，∴∠EAF=∠FCE=45°，∴∠AFE =∠AEF-∠EAF =45°，∴∠AFE=∠EAF， ∴AE=EF。

解法3：作FH⊥BC延长线于点H，易证△ABE∽△EHF∴== = ==1,，∴AB=EH，BE=FH，∴△ABE≌△EHF∴AE=EF３)如下图：当点Ｅ是CB延长线上任意一点时，问AE=EF是否成立？解法1：如图，延长AB至BH，使得BH=BE，则有AH=CE，∠BHE=∠BEH＝45°＝∠ECF，又∵∠AEB+∠HAE=∠AEB+∠CEF,∴∠HAE=∠CEF, ∴△AHE≌△ECF∴AE=EF解法2：如图，∵∠AEF+∠ACF=180°，∴A、E、C、F四点共圆，∵∠ACE=∠FCE，∴AE=EF解法3：作FH⊥BC于点H，易知FH=HC,易证△ABE∽△EHF∴=====1,∴AB=EH，BE=FH，∴△ABE≌△EHF∴AE=EF４）把正方形改成等边三角形看看如上图所示，∠AEF=60°，证明AE=EF解法1略解法2：∵∠AEF=∠ACF，∴A、E、C、F四点共圆，∴∠AFE=∠ACE=60°=∠AEF，∴△AEF是等边三角形∴AE=EF解法3：作FH〃AC交BC延长线于点H，易证△ABE∽△EHF∴=====1,，∴AB=EH，BE=FH，∴△ABE≌△EHF∴AE=EF５）：如图所示，点E在BC延长线上，∠AEF=60°，证明AE=EF。

解法1：如图，延长BA至AH，使得AH=CE，则BH=BE, ∴∠AHE=∠BEH=∠B=60°,∴∠AHE =∠ECF，∠HAE=∠B+∠AEB， ∠CEF=∠AEB +∠AEF，∴∠HAE=∠CEF, ∴△AHE≌△ECF∴AE=EF解法2：如图，∵∠AEF=∠ACF，∴A、E、C、F四点共圆，∴∠EAF=∠FCE=60°=∠AEF，∴△AEF是等边三角形∴AE=EF解法3：作FH〃AC交BC延长线于点H，易证△ABE∽△EHF∴== = ==1,，∴AB=EH，BE=FH，∴△ABE≌△EHF∴AE=EF６）：如图所示，点E在CB延长线上，∠AEF=60°，证明AE=EF解法1：如图，延长AB至BH，使得BH=BE，则有AH=CE，∠BHE=∠BEH＝60°＝∠ECF，又∵∠AEB+∠HAE=∠AEB+∠CEF，∴∠HAE=∠CEF， ∴△AHE≌△ECF∴AE=EF解法2：如图，∵∠AEF+∠ACF=180°，∴A、E、C、F四点共圆，∵∠AFE=∠ACE=60°=∠AEF，∴△AEF是等边三角形，∴AE=EF解法3：如图，过F作FH〃ＡC交BC于点H，易知FH=HC, ∵∠AEB+∠BAE=∠AEB+∠CEF，∴∠BAE=∠CEF，又∠ABE=∠EHF，∴△ABE∽△EHF。

∴=====1,∴AB=EH，BE=FH，∴△ABE≌△EHF∴AE=EF若把正方形改成正五边形呢？ （７）：如上图，∠AEF=108°，证明AE=EF解法1略解法2：易知∠ACE=∠BAC=∠DCF=36°，可得∠AEF=∠ACF，∴A、E、C、F四点共圆，∴∠AFE=∠ACE=36°，∴∠EAF=180°-∠AEF-∠AFE=36°=∠AFE，∴AE=EF解法3：作FH〃DC交BC延长线于点H，易证△ABE∽△EHF∴=====1,，∴AB=EH，BE=FH，∴△ABE≌△EHF∴AE=EF８）：如下图，点E在BC延长线上，∠AEF=108°，证明AE=EF解法1略解法2：易知∠AEF=∠ACF，∴A、E、C、F四点共圆，∴∠FAE=∠FCE=36°，∴∠AFE=180°-∠AEF-∠AEF=36°,∴∠FAE =∠AFE，∴AE=EF解法3：作FH〃DC交BC延长线于点H，易证△ABE∽△EHF∴=====1,，∴AB=EH，BE=FH，∴△ABE≌△EHF∴AE=EF９）：如下图所示，点E在CB延长线上，∠AEF=108°，证明AE=EF解法1：如图，延长AB至BH，使得BH=BE，则有AH=CE，∠BHE=∠BEH＝36°,∴∠BHE＝∠ECF，又∵∠AEB+∠HAE=∠AEB+∠CEF，∴∠HAE=∠CEF， ∴△AHE≌△ECF。

∴AE=EF解法2：如图，易知∠ACE=∠FCE=36°，∠AEF+∠ACF=180°，∴A、E、C、F四点共圆，∵∠ACE=∠FCE，∴AE=EF解法3：如图，过F作FH〃DC交BC于点H，易知FH=HC, ∠ABE=∠EHF， ∵∠AEB+∠BAE=∠AEB+∠CEF，∴∠BAE=∠CEF，∴△ABE∽△EHF∴=====1,∴AB=EH，BE=FH，∴△ABE≌△EHF∴AE=EF以上解法体现了一题多解，多题一解，还体现了多解归一，解法1和解法3都是构造全等三角形，解法2是构造辅助圆，都是运用构造法，利用转化思想把证明线段相等转化为证明三角形全等或角相等著名特级教师孙维刚老师也曾说过：“题不在多，但求精彩 通过一题多变，一题多解，多题一解，多解归一，可达到“做一题，通一片”的效果 最后引用数学王子高斯的话与大家共勉：“去寻求一种最美和最简捷的证明，乃是吸引我去研究数学的主要动力。