高中数学（苏教版 选修2-1）第3章 空间向量与立体几何 空间向量的应用 2.doc

1．理解空间三种角的概念，能用向量方法求线线、线面、面面的夹角．(重点、难点)2．二面角的求法．(难点)3．空间三种角的范围．(易错点)[基础·初探]教材整理　空间角的向量求法阅读教材P106～P108的部分，完成下列问题．1．两条异面直线所成角的向量求法若异面直线l1，l2的方向向量分别为a，b，l1，l2所成的角为θ，则cos θ＝|cosa，b|.2．直线和平面所成角的向量求法设直线l的方向向量为a，平面α的法向量为n，a与n的夹角为θ1，l与α所成的角为θ2，则sin θ2＝|cos_θ1|＝.　(1)　　　　　　　　　(2)3．二面角的向量求法设二面角α­l­β的大小为θ，α，β的法向量分别为n1，n2，则|cos θ|＝|cosn1，n2|＝，θ取锐角还是钝角由图形确定．图3­2­191．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)两异面直线所成的角与两直线的方向向量所成的角相等．(　　)(2)若向量n1，n2分别为二面角的两半平面的法向量，则二面角的平面角的余弦值为cos〈n1，n2〉＝.(　　)(3)直线的方向向量与平面的法向量所成的角就是直线与平面所成的角．(　　)(4)二面角的大小与其两个半平面的法向量的夹角相等或互补．(　　)【答案】　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√2．若直线l的方向向量与平面α的法向量的夹角等于120°，则直线l与平面α所成的角为________．【解析】　由题意得，直线l与平面α的法向量所在直线的夹角为60°，∴直线l与平面α所成的角为90°－60°＝30°.【答案】　30°3．异面直线l与m的方向向量分别为a＝(－3,2,1)，b＝(1,2,0)，则直线l与m所成的角的余弦值为__________．【解析】　∵a·b＝－3＋4＝1，|a|＝＝，|b|＝，∴cos〈a，b〉＝＝＝.【答案】　4．已知二面角α­l­β，α的法向量为n＝(1,2，－1)，β的法向量为m＝(1，－3,1)，若二面角α­l­β为锐角，则其余弦值为________．【解析】　cos〈n，m〉＝＝＝－.又因二面角为锐角，所以余弦值为.【答案】　[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：　解惑：　疑问2：　解惑：　疑问3：　解惑：　[小组合作型]求两条异面直线所成的角　(1)如图3­2­20，在直三棱柱ABC­A1B1C1中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，AA1＝4，若M，N分别是BB1，CC1的中点，则异面直线AM与A1N所成角的大小为________. 【导学号：09390086】图3­2­20(2)在三棱锥D­ABC中，DA⊥平面ABC，DA＝4，AB＝AC＝2，AB⊥AC，E为BC中点，F为CD中点，则异面直线AE与BF所成角的余弦值为________．【精彩点拨】　(1)思路一：以，，为基向量，表示，，求cos〈，〉的余弦值；思路二：以，，分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，求出相关向量的坐标，利用坐标求cos〈，〉．(2)题思路如(1)题．【自主解答】　(1)法一：＝－，＝＋＝－－，∴·＝·＝－×16＋4＝0，∴⊥，即异面直线AM与A1N所成的角为90°.法二：如图所示，建立空间直角坐标系：则A1(2,0,0)，N(0,0,2)，A(2,0,4)，M(0,2,2)，∴＝(－2,0,2)，＝(－2,2，－2)，∴·＝4＋0－4＝0，即⊥，故异面直线A1N与AM所成的角为90°.(2)法一：如图所示，＝(＋)，＝－＝＋－.·＝·＝－×4＋×4＝－1，又易知||＝，||2＝×16＋×4＋4＝9，∴||＝3.∴cos〈，〉＝＝－，则异面直线AE与BF所成角的余弦值为.法二：建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0,0,0)，E(1,1,0)，B(2,0,0)，F(0,1,2)，∴＝(1,1,0)，＝(－2,1,2)，∴·＝－2＋1＝－1.∵||＝，||＝3，∴cos〈，〉＝＝＝－.所以异面直线AE与BF所成角的余弦值为.【答案】　(1)90°　(2)1．利用数量积或坐标方法将异面直线所成的角转化为两直线的方向向量所成的角，若求出的两向量的夹角为钝角，则异面直线所成的角应为两向量夹角的补角．2．向量法求异面直线所成角的步骤(1)建立坐标系(或选取基向量)，求直线方向向量坐标(或用基向量线性表示)；(2)求〈a，b〉；(3)利用cos θ＝|cos〈a，b〉|，求θ.[再练一题]1．如图3­2­21所示，三棱柱OAB­O1A1B1中，平面OBB1O1⊥平面OAB，∠O1OB＝60°，∠AOB＝90°，且OB＝OO1＝2，OA＝，求异面直线A1B与AO1所成角的余弦值的大小．图3­2­21【解】　建立如图所示的空间直角坐标系，则O(0,0,0)，O1(0,1，)，A(，0,0)，A1(，1，)，B(0,2,0)，∴＝－＝(－，1，－)，＝－＝(，－1，－)．∴cos〈，〉＝＝＝－.异面直线A1B与AO1所成角的余弦值为.求线面角　如图3­2­22，在直棱柱ABCD­A1B1C1D1中，AD∥BC，∠BAD＝90°，AC⊥BD，BC＝1，AD＝AA1＝3.图3­2­22(1)证明：AC⊥B1D；(2)求直线B1C1与平面ACD1所成角的正弦值．【精彩点拨】　以A为原点，AB，AD，AA1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系．(1)求出和，证明·＝0；(2)求出直线B1C1的方向向量与平面ACD1的法向量．【自主解答】　 (1)证明：易知，AB，AD，AA1两两垂直．如图，以A为坐标原点，AB，AD，AA1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系．设AB＝t，则相关各点的坐标为A(0,0,0)，B(t,0,0)，B1(t,0,3)，C(t,1,0)，C1(t,1,3)，D(0,3,0)，D1(0,3,3)．从而＝(－t,3，－3)，＝(t,1,0)，＝(－t,3,0)．因为AC⊥BD，所以·＝－t2＋3＋0＝0，解得t＝或t＝－(舍去)．于是＝(－，3，－3)，＝(，1,0)．因为·＝－3＋3＋0＝0，所以⊥，即AC⊥B1D.(2)由(1)知，＝(0,3,3)，＝(，1,0)，＝(0,1,0)．设n＝(x，y，z)是平面ACD1的一个法向量，则即令x＝1，则n＝(1，－，)．设直线B1C1与平面ACD1所成角为θ，则sin θ＝|cos 〈n，〉|＝＝＝.即直线B1C1与平面ACD1所成角的正弦值为.利用向量法求直线与平面所成角的解题步骤为：(1)根据题设条件、图形特征建立适当的空间直角坐标系；(2)得到相关点的坐标，进而求出相关向量的坐标；(3)利用公式cos〈a，b〉＝，进行计算，其中向量a是直线的方向向量，b可以是平面的法向量，也可以是直线在平面内射影的方向向量；(4)将〈a，b〉转化为所求的线面角.向量夹角为锐角或直角时，线面角与这个夹角互余；向量夹角为钝角或平角时，线面角等于这个夹角减去90°.[再练一题]2．如图3­2­23所示，已知直角梯形ABCD，其中AB＝BC＝2AD，AS⊥平面ABCD，AD∥BC，AB⊥BC，且AS＝AB.求直线SC与底面ABCD的夹角θ的余弦值．图3­2­23【解】　由题设条件知，以点A为坐标原点，分别以AD，AB，AS所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系(如图所示)．设AB＝1，则A(0,0,0)，B(0,1,0)，C(1,1,0)，D，S(0,0,1)．∴＝(0,0,1)，＝(－1，－1,1)．显然是底面的法向量，它与已知向量的夹角β＝－θ，故有sin θ＝cos β＝＝＝.∵θ∈，∴cos θ＝＝.求二面角　如图3­2­24，在直三棱柱A1B1C1­ABC中，AB⊥AC，AB＝AC＝2，A1A＝4，点D是BC的中点．(1)求异面直线A1B与C1D所成角的余弦值；(2)求平面ADC1与平面ABA1所成二面角的正弦值．图3­2­24【精彩点拨】　(1)先建系求出A1B和C1D的方向向量，再求其余弦值；(2)求出平面ADC1与平面ABA1的法向量，用向量法求余弦值再转化为正弦值．【自主解答】　(1)以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系A­xyz，则A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(0,2,0)，D(1,1,0)，A1(0,0,4) ，C1(0,2,4)，所以＝(2,0，－4)，＝(1，－1，－4). 因为cos〈，〉＝＝＝，所以异面直线A1B与C1D所成角的余弦值为.(2)设平面ADC1的法向量为n1＝(x，y，z)，因为＝(1,1,0)，＝(0,2,4)，所以n1·＝0，n1·＝0，即x＋y＝0且y＋2z＝0，取z＝1，得x＝2，y＝－2，所以n1＝(2，－2,1)是平面ADC1的一个法向量．取平面AA1B的一个法向量为n2＝(0,1,0)，设平面ADC1与平面ABA1所成二面角的大小为θ.由|cos θ|＝＝＝，得sin θ＝.因此平面ADC1与平面ABA1所成二面角的正弦值为.求二面角的步骤如下：(1)建立空间直角坐标系，确定两平面的法向量；(2)求两法向量的夹角；(3)确定二面角与面面角的关系，要通过观察图形来确定二面角.[再练一题]3．如图3­2­25，在直三棱柱ABC­A1B1C1(侧棱和底面垂直的棱柱)中，AB⊥BC，AB＝BC＝AA1＝3，线段AC，A1B上分别有一点E，F，且满足2AE＝EC,2BF＝FA1.图3­2­25(1)求证：平面A1BC⊥平面A1ABB1；(2)求二面角F­BE­C的平面角的余弦值．【解】　(1)证明：∵BC⊥AB，BC⊥AA1，∴BC⊥平面A1ABB1.又∵BC⊂平面A1BC，∴平面A1BC⊥平面A1ABB1.(2)由(1)知，以点B为坐标原点，以BC，BA，BB1所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系．∴B(0,0,0), A(0,3,0), C(3,0,0), A1(0,3,3)．又∵线段AC，A1B上分别有一点E，F，满足2AE＝EC,2BF＝FA1，∴E(1,2,0), F(0,1,1), ∴＝(1,2,0)，＝(0,1,1)．∴平面BEF的法向量n＝(2，－1,1)，此时，平面BEC的法向量n＝(0,0，－1)，设所求二面角的平面角为θ，则cos θ＝－.[探究共研型]夹角的向量求法探究1　利用向量法求异面直线所成的角时，需要注意什么？【提示】　(1)异面直线所成的角与这两直线的方向向量的夹角范围不同，其中异面直线所成的角的范围是，向量夹角的范围[0，π]．(2)应用向量法求两异面的夹角时，若求得余弦值为正数，夹角即为所求；若求得余弦值为负数，则夹角为其补角．探究2　利用向量法求直线与平面所成的角时，需要注意什么？【提示】　(1)直线与平面所成角θ的范围是，斜线和平面所成角的定义表明斜线和平面所成的角是通过斜线在平面内的射影而转化为两条相交直线所成的锐角．(2)设直线l的方向向量为a，平面α的法向量为u，直线l与平面α所成的角为θ，a与u的夹角为φ，则有：①当φ为锐角时，θ＝－φ，sin θ＝cos φ，cos θ＝sin φ；②当φ为钝角时，θ＝φ－，sin θ＝－cos φ，cos θ＝sin φ.综上所述，sin θ＝|cos φ|或cos θ＝sin φ.探究3　两平面的夹角与二面角的平面角有什么不同？【提示】　(1)两平面的夹角是两平面相交所成的角中较小的一个，范围是0≤θ≤，二面角的大小是指其两个半平面的张开程度，这可以用其平面角θ的大小来定义，范围是0≤θ≤π.(2)用向量法求二面角的大小时，要注意〈n1，n2〉与二面角的平面角的关系是相等的还是互补的，在求出〈n1，n2〉后，一定要观察分析图形，看所求二面角是与〈n1，n2〉相等的还是互补的．一般地，当n1，n2的方向一进一出时，θ＝〈n1，n2〉；当n1，n2同进同出时，θ＝π－〈n1，n2〉．　如图3­2­26所示，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，二面角A­BD1­C的大小为________．图3­2­26【解析】　连结DA1，DC1，以D为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则＝(1,0,1)是平面ABD1的一个法向量，＝(0,1,1)是平面BCD1的一个法向量，所以cos〈，〉＝＝，所以〈，〉＝60°，又二面角A­BD1­C为钝角，所以二面角A­BD1­C的大小为120°.【答案】　120°[构建·体系]1．已知向量m，n分别是直线l和平面α的方向向量和法向量，若cos〈m，n〉＝－，则l与α所成的角为________．【解析】　设l与α所成的角为θ，∵cos〈m，n〉＝－，∴sin θ＝|cos〈m，n〉|＝.又∵直线与平面所成角θ满足0°≤θ≤90°，∴θ＝30°.【答案】　30°2. 若平面α的一个法向量为n＝(4,1,1)，直线l的一个方向向量为a＝(－2，－3,3)，则l与α所成角的正弦值为________. 【导学号：09390087】【解析】　∵n·a＝－8－3＋3＝－8，|n|＝＝3，|a|＝＝，∴cos〈n，a〉＝＝＝－.又l与α所成角记为θ，即sin θ＝|cos〈n，a〉|＝.【答案】　3．在棱长为2的正方体ABCD­A1B1C1D1中，O是底面ABCD的中点，E，F分别是CC1，AD的中点，那么异面直线OE和FD1所成的角的余弦值等于________．【解析】　以D为原点，分别以DA，DC，DD1为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，∴F(1,0,0)，D1(0,0,2)，O(1,1,0)，E(0,2,1)，∴＝(－1,0,2)，＝(－1,1,1)，∴cos〈，〉＝＝.【答案】　4．将正方形ABCD沿对角线折成直二面角，则二面角A­BC­D的平面角的余弦值是________．【解析】　取BD中点O，连结AO，CO，则AO⊥平面BCD，建立如图所示的空间直角坐标系．设正方形边长为2，则O(0,0,0)，A(0,0，)，B(，0,0)，C(0，，0)，所以＝(，0，－)，＝(－，，0)．设平面ABC的一个法向量为n＝(x，y，z)．则n·＝x－z＝0，n·＝－x＋y＝0，所以x＝z，且x＝y，取n＝(1,1,1)，又平面BCD的一个法向量为m＝(0,0,1)，所以cos〈m，n〉＝＝＝.故二面角A­BC­D的平面角的余弦值是.【答案】　5．如图3­2­27，在几何体ABCDE中，△ABC是等腰直角三角形，∠ABC＝90°，BE和CD都垂直于平面ABC，且BE＝AB＝2，CD＝1，点F是AE的中点．求AB与平面BDF所成角的正弦值．图3­2­27【解】　以点B为原点，BA，BC，BE所在的直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则B(0,0,0)，A(2,0,0)，C(0,2,0)，D(0,2,1)，E(0,0,2)，F(1,0,1)，∴＝(0,2,1)，＝(1，－2,0)，＝(2,0,0)．设平面BDF的一个法向量为n＝(2，a，b)．∵n⊥，n⊥，∴即解得a＝1，b＝－2，∴n＝(2,1，－2)．又设AB与平面BDF所成的角为θ，则sin θ＝＝＝，即AB与平面BDF所成角的正弦值为.我还有这些不足：(1)　(2)　我的课下提升方案：(1)　(2)　14。