《 用向量来表示空间中的点、直线和平面》示范公开课教学PPT课件【高中数学人教A版】.pptx

环节一 用向量表示空间中的点、直线和平面用空间向量研究直线、平面的位置关系引入新课引入新课思考思考 前面几节课，我们已经将向量从平面推广到了空间，利用空间向量解决空间中有关位置关系和度量的立体几何问题. 通过体会空间向量解决立体几何问题的过程，利用空间向量解决立体几何问题的关键是什么？探究新知探究新知 利用空间向量解决立体几何问题的关键是要建立空间向量与几何要素之间的对应关系. 我们知道点、直线和平面是空间中的基本图形，是构成空间几何体的基本几何要素.如果我们要用空间向量解决立体几何问题，首先要用向量表示空间中的点、直线和平面.探究新知探究新知问题问题1如何用向量表示空间当中的一个点P? 答案：空间当中点的位置一定是相对于某一固定参照物来说的.如图，在空间中，我们取一定点O作为基点，那么空间中任意一点P就可以用向量 来表示,我们把向量 称为点P的位置向量. 探究新知探究新知问题问题2如何用向量表示空间中的直线l？ 我们知道空间中给定一个点A和一个方向就能唯一确定一条直线l答案：a是直线l的方向向量，在直线l上取 a,设P是直线l上的任意一点，由向量共线的条件可知，点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使得 ta ， 即 ,因此可以利用点A和直线l的方向向量表示直线上的任意一点 探究新知探究新知追问追问取定空间中的任意一点O，可以得到点P在直线l上的充要条件是什么？答案：取定空间中的任意一点O，将 分解为以O为起点的向量， 得到点P在直线l上的充要条件是：存在实数t，使探究新知探究新知直线的向量表示方法探究新知探究新知问题问题3我们知道，空间中的平面 可以由 内两条相交直线确定，如何用向量表示空间中的平面？ 如图：设两条直线相交于点O，它们的方向向量分别为a和b，P为平面上任意一点 探究新知探究新知问题问题3我们知道，空间中的平面 可以由 内两条相交直线确定，如何用向量表示空间中的平面？ 答案：由平面向量基本定理可知，存在唯一的有序实数对（x，y），使得 xa+yb，这样，点O与向量a和b不仅可以确定平面，还可以具体表示出平面内的任意一点.这种表示在解决几何问题时往往起到非常重要的作用探究新知探究新知 空间一点P位于平面ABC内的充要条件是什么？追问追问1 答案：平面内不共线的三点A、B、C构成两个不共线的向量 、 ，平面内任意一点P，存在实数x、y，使得 .取定空间内任意一点O, 得到： 探究新知探究新知 答案：因此空间一点P位于平面ABC内的充要条件是： 存在实数x、y使 . 以上是空间平面ABC的向量表示式. 空间一点P位于平面ABC内的充要条件是什么？追问追问1探究新知探究新知如何说明空间中任意平面由空间一点及两个不共线向量唯一确定追问追问2答案： 表示平面内的任意向量， 表示以为O起点，平面内任意一点为终点的向量，所以空间中任意平面由空间一点及两个不共线向量唯一确定.探究新知探究新知 一个定点和两个定方向，能确定一个平面，一个定点和一个定方向能否确定一个平面？问题问题4 答案：给定空间中一点A和一条直线l，由立体几何知识可知过点A且垂直于直线l的平面唯一确定.探究新知探究新知 如何用向量表示这个平面？追问追问1如图,直线 ，取直线l的方向向量a，我们称向量a为平面 的法向量.法向量探究新知探究新知 因此给定一个点A和一个向量a，那么过点A，且以向量a为法向量的平面完全确定.表示为集合 . 探究新知探究新知如果另有一条直线m ，在直线m上任取向量b，b与a有什么关系？追问追问2即平面可由一点和任意一个法向量唯一确定.答案：答案：因此平面可也表示为集合由m，l，得到l/m，即a/b，探究新知探究新知平面的向量表示方法知识应用知识应用例例1 如图，在长方体 中， ， ， ，M是AB 的中点以D为原点， 所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系（1）求平面 的法向量；（2）求平面 的法向量知识应用知识应用例例1解：（1）因为y轴垂直于平面 ，所以 是平面 的一个法向量追问1：平面 是否还有其他的法向量？答案：与 共线的向量都是平面 的法向量.知识应用知识应用（2）因为 ， ， ，M是AB的中点，所以M、C、A1的坐标分别为(3，2，0)， (0，4，0)， (3，0，2) 因此 ， 设 是平面MCA1的法向量，则 ， ，所以解得取z3，则x2，y3于是 是平面MCA1的一个法向量知识应用知识应用追问2：平面MCA1的法向量是唯一的吗？答案：不唯一，对z赋予非零的数，得到不同的法向量.可以知道：直线的方向向量有无数多个，它们互相平行， 平面的法向量有无数多个，它们互相平行.总结提升总结提升 结合本题，请总结求直线的方向向量和平面的法向量的方法.问题问题5向量名称图示方法直线的方向向量利用直线上两点求解平面的法向量根据垂直关系，平面的方向向量是平面的法向量设出平面的法向量坐标；求出平面内两个不共线的向量的坐标；利用法向量的定义建立方程组并解之.敬请各位老师提出宝贵意见！。