2024—2025学年北京市房山区良乡中学高三上学期期中数学试卷.doc

2024—2025学年北京市房山区良乡中学高三上学期期中数学试卷一、单选题(★★★) 1. 已知集合 ， 则 （ ） A． B． C． D． (★) 2. 下列函数值中， 在区间 上 不是 单调函数的是（ ） A． B． C． D． (★★) 3. 在平面直角坐标系 中， 角 以 为始边， 终边与单位圆交于点 ， 则 （ ） A． B． C． D． (★★) 4. 已知向量 在正方形网格中的位置如图所示， 若网格中每个小正方形的边长均为1， 则 （ ） A． B． C． D． (★) 5. 不等式 成立的一个充分不必要条件是（ ） A． B． C． D． (★★) 6. 函数 的零点一定位于区间 A． （1, 2）B． （2, 3）C． （3, 4）D． （4, 5） (★★) 7. 若 ， 且 ， 则 与 的夹角是（ ） A． B． C． D． (★★★) 8. 我国油纸伞的制作工艺巧妙． 如图（1）， 伞不管是张开还是收拢， 伞柄 始终平分同一平面内两条伞骨所成的角 ， 且 ， 从而保证伞圈 能够沿着伞柄滑动． 如图（2）， 伞完全收拢时， 伞圈 已滑动到 的位置， 且 、 、 三点共线， ， 为 的中点， 当伞从完全张开到完全收拢， 伞圈 沿着伞柄向下滑动的距离为 ， 则当伞完全张开时， 的余弦值是（　　） A． B． C． D． (★★) 9. 已知函数 f( x)＝ x－4＋ ， x∈(0, 4)， 当 x＝ a时， f( x)取得最小值 b， 则函数 g( x)＝ a | x ＋ b |的图象为(　　) A． B． C． D． (★★★) 10. 若 ， 可以作为一个三角形的三条边长， 则称函数 是区间 上的“稳定函数”.已知函数 是区间 上的“稳定函数”， 则实数 的取值范围为（ ） A． B． C． D． 二、填空题(★) 11. 函数 的定义域为 __________ ． (★) 12. 已知 ， 则 ________ . (★) 13. 已知向量 ， .若存在实数 ， 使得 与 的方向相反， 则 的一个取值为 ________ . (★★★) 14. 函数 的最小正周期为 ________ ;若函数 在区间 上单调递增， 则 的最大值为 ________ . (★★★) 15. 已知函数 ， 其中 且 ． 给出下列四个结论： ①若 ， 则函数 的零点是 ； ②若函数 无最小值， 则 的取值范围为 ； ③若 ， 则 在区间 上单调递减， 在区间 上单调递增； ④若关于 的方程 恰有三个不相等的实数根 ， 则 的取值范围为 ， 且 的取值范围为 ． 其中， 所有正确结论的序号是 _____ ． 三、解答题(★★) 16. 已知函数 ． (1)求 的值 (2)求函数 在区间 上的最小值和最大值． (★★★) 17. 已知在四棱锥 中， 底面 是边长为4的正方形， 是正三角形， 平面 分别是 的中点． (1)求证： 平面 ； (2)求平面 与平面 所夹角的大小； (★★) 18. 某商家为了促销， 规定每位消费者均可免费参加一次抽奖活动， 活动规则如下： 在一不透明纸箱中有8张相同的卡片， 其中4张卡片上印有“幸”字， 另外4张卡片上印有“运”字． 消费者从该纸箱中不放回地随机抽取4张卡片， 若抽到的4张卡片上都印有同一个字， 则获得一张10元代金券；若抽到的4张卡片中恰有3张卡片上印有同一个字， 则获得一张5元代金券；若抽到的4张卡片是其他情况， 则不获得任何奖励． (1)求某位消费者在一次抽奖活动中抽到的4张卡片上都印有“幸”字的概率； (2)记随机变量 X为某位消费者在一次抽奖活动中获得代金券的金额数， 求 X的分布列和数学期望 ； (3)该商家规定， 消费者若想再次参加该项抽奖活动， 则每抽奖一次需支付3元． 若你是消费者， 是否愿意再次参加该项抽奖活动？请说明理由． (★★★) 19. 在 中， ． (1)求 b； (2)在下列三个条件中选择一个作为已知， 使 存在且唯一确定， 并求 的面积． 条件①： ； 条件②： 边上中线的长为 ； 条件③： ． 注： 如果选择多个符合要求的条件分别解答， 按第一个解答计分． (★★★) 20. 已知函数 ． (1)当 时， 求 的单调区间和极值； (2)当 时， 求证： ； (★★★) 21. 已知函数 ． Ⅰ 求证： 1是函数 的极值点； Ⅱ 设 是函数 的导函数， 求证： ． 。