2026年中考数学压轴题专项练习-几何模型之瓜豆原理（点在直线上）（学生版+名师详解版）.docx

几何模型之瓜豆原理（点在直线上）1．（2025•泰安）如图，在矩形中，，，点段上运动（含、两点），连接，以点为中心，将线段逆时针旋转到，连接，则线段的最小值为　　A． B． C． D．32．（2025•安徽一模）如图，正方形的边长为5，为上一点，且，为边上的一个动点，连接，以为边向右侧作等边，连接，则的最小值为　　A．2 B．2.5 C．3 D．3.53．（2025•新泰市模拟）如图，长方形中，，，为上一点，且，为边上的一个动点，连接，将绕着点顺时针旋转到的位置，连接和，则的最小值为　　A．2 B． C． D．4．（2025•海珠区校级二模）如图，在矩形中，，，是对角线上的动点，连接，将直线绕点顺时针旋转使，且过作，连接，则最小值为 ．5．（2025春•鼓楼区校级期中）如图，已知正方形的边长为1，点是线段上的动点，过点作，使，连接交于点，交于点．以下结论正确的是 ．①；②；③点到直线的距离最大值为；④点到直线的距离最大值为．6．（2025•婺城区模拟）如图，，，当点在上运动时，作等腰，，则，两点间距离的最小值为 ．7．（2025•宿城区二模）如图，矩形中，，，点为对角线上一动点，，，于点，连接，当最小时，的长为 ．8．（2025•海州区校级一模）如图，正方形的边长为7，为上一点，且，为边上的一个动点，连接，以为边向右侧作等边，连接，则的最小值为 ．9．（2025秋•东台市期中）如图，在矩形中，对角线，相交于点，，，点段上从点至点运动，连接，以为边作等边三角形，点和点分别位于两侧，则点运动的路程长是 ．10．（2025•东台市一模）如图，已知点，，，动点段上，点、、按逆时针顺序排列，且，，当点从点运动到点时，则点运动的路径长为 ．11．（2025•秦都区模拟）如图，正方形的边长为2，为上一点，且，为边上的一个动点，连接，以为底向右侧作等腰直角，连接，则的最小值为 ．12．（2025秋•鼓楼区校级月考）如图，正方形的边长为4，为上一点，且，为边上的一个动点，连接，将绕点顺时针旋转得到，连接，则的最小值为 ．13．（2025秋•鼓楼区校级期末）如图，在中，，，，点在边上运动（可与点，重合），将线段绕点逆时针旋转，得到线段，连接，，则长的最小值为 ．14．（2025•邗江区校级一模）如图，菱形的边长为4，，是的中点，是对角线上的动点，连接，将线段绕点按逆时针旋转，为点对应点，连接，则的最小值为 ．15．（2025秋•忠县期末）如图，在中，，点在边上，，，点是边所在直线上的一动点，连接，将绕点顺时针方向旋转得到，连接，则的最小值为 ．16．（2024秋•两江新区期末）已知边长为6的等边中，是高所在直线上的一个动点，连接，将线段绕点逆时针旋转得到，连接，则在点运动的过程中，当线段长度的最小值时，的长度为 ．17．（2025秋•武昌区期末）如图1，在中，平分，平分，与交于点．（1）若，则 ；（2）如图2，，作交于点，求证：；（3）如图3，，，若点为的中点，点在直线上，连接，将线段绕点逆时针旋转得，，连接，当最短时，直接写出的度数．18．（2025•沈阳）【特例感知】（1）如图1，和是等腰直角三角形，，点在上，点在的延长线上，连接，，线段与的数量关系是 ；【类比迁移】（2）如图2，将图1中的绕着点顺时针旋转，那么第（1）问的结论是否仍然成立？如果成立，证明你的结论；如果不成立，说明理由．【方法运用】（3）如图3，若，点是线段外一动点，，连接．①若将绕点逆时针旋转得到，连接，则的最大值是 ；②若以为斜边作，，三点按顺时针排列），，连接，当时，直接写出的值．19．（2025•新市区校级一模）如图①，二次函数的图象与轴交于点、，与轴交于点，连接，点是抛物线上一动点．（1）求二次函数的表达式．（2）当点不与点、重合时，作直线，交直线于点，若的面积是面积的4倍，求点的横坐标．（3）如图②，当点在第一象限时，连接，交线段于点，以为斜边向外作等腰直角三角形，连接，的面积是否变化？如果不变，请求出的面积；如果变化，请说明理由．20．如图，在等边中，，，垂足为，点为边上中点，点为直线上一点．当点为中点，点在边上，且，点从中点沿射线运动，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，当最小时，直接写出的面积．1．（2025•泰安）如图，在矩形中，，，点段上运动（含、两点），连接，以点为中心，将线段逆时针旋转到，连接，则线段的最小值为　　A． B． C． D．3【解答】解：如图，以为边向右作等边，作射线交于点，过点作于．四边形是矩形，，，都是等边三角形，，，，，在和中，，，，，，，，点在射线上运动，，，，，，根据垂线段最短可知，当点与重合时，的值最小，最小值为，故选：．2．（2025•安徽一模）如图，正方形的边长为5，为上一点，且，为边上的一个动点，连接，以为边向右侧作等边，连接，则的最小值为　　A．2 B．2.5 C．3 D．3.5【解答】解：由题意可知，点是主动点，点是从动点，点段上运动，点也一定在直线轨迹上运动，将绕点旋转，使与重合，得到，，，，为等边三角形，点在垂直于的直线上，作，则即为的最小值，作，可知四边形为矩形，，，则，故选：．3．（2025•新泰市模拟）如图，长方形中，，，为上一点，且，为边上的一个动点，连接，将绕着点顺时针旋转到的位置，连接和，则的最小值为　　A．2 B． C． D．【解答】解：如图，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，连接交于．四边形是矩形，，，，，在和中，，，，点的在射线上运动，当时，的值最小，，，，，，，四边形是矩形，，，，，，，的最小值为，故选：．二．填空题（共13小题）4．（2025•海珠区校级二模）如图，在矩形中，，，是对角线上的动点，连接，将直线绕点顺时针旋转使，且过作，连接，则最小值为　　．【解答】解：如图，作于，连接延长交于，作于．，，，，，，，，，定值，点在射线上运动，当时，的值最小，四边形是矩形，，，，，，，，，，在中，，，，，，，，，，，，，的最小值为，故答案为．5．（2025春•鼓楼区校级期中）如图，已知正方形的边长为1，点是线段上的动点，过点作，使，连接交于点，交于点．以下结论正确的是 　①④　．①；②；③点到直线的距离最大值为；④点到直线的距离最大值为．【解答】解：①正方形中，．，．如图：，；．．故①正确．②当点向左移动时，逐渐减小，而增大；故②错误．③延长至，使，连接．，，．，，．，，．．．．过作的延长线于．．．点是线段上的动点，，故③错误．④过作于．，，．，；即：，设，则：，当时，取得最大值：．故④正确；故答案为：①④．6．（2025•婺城区模拟）如图，，，当点在上运动时，作等腰，，则，两点间距离的最小值为　　．【解答】解：，，点在上运动时，，，为主动点，为从动点，为定点，由“瓜豆原理”， 在上运动，则在垂直的直线上运动，当时，如答图：过作于，交于，则直线即为的运动轨迹，的长为，两点间距离的最小值，，，，，，，，，而，，，在中可得，，中可得，故答案为：．7．（2025•宿城区二模）如图，矩形中，，，点为对角线上一动点，，，于点，连接，当最小时，的长为 　　．【解答】解：如图，过点作于点，连接，，，，，，，，，，，，即在点的运动过程中，的大小不变且等于，当时，最小，设此时，，，，，，代入，解得，，，，故答案为：．8．（2025•海州区校级一模）如图，正方形的边长为7，为上一点，且，为边上的一个动点，连接，以为边向右侧作等边，连接，则的最小值为　　．【解答】解：为等边三角形，，把绕点顺时针旋转得到，如图，延长交于，过点作，过点作，，，，即点在过点且垂直于的线段上，易得四边形为矩形，，，，，．的最小值为．故答案为．9．（2025秋•东台市期中）如图，在矩形中，对角线，相交于点，，，点段上从点至点运动，连接，以为边作等边三角形，点和点分别位于两侧，则点运动的路程长是 　　．【解答】解：连接，四边形是矩形，，，，是等边三角形，，，是等边三角形，，，，又，，，，，点在射线上运动，且，当点段上从点至点运动时，点的运动路程是，在中，设，则，，解得（负值舍去），，即点的运动路程为，故答案为：．10．（2025•东台市一模）如图，已知点，，，动点段上，点、、按逆时针顺序排列，且，，当点从点运动到点时，则点运动的路径长为　6　．【解答】解：点，，，，动点段上，，，，为主动点，为从动点，为定点，由“瓜豆原理”得运动路径与运动路径之比等于，点运动的路径长为，故答案为：6．11．（2025•秦都区模拟）如图，正方形的边长为2，为上一点，且，为边上的一个动点，连接，以为底向右侧作等腰直角，连接，则的最小值为　　．【解答】解：如图1，过点作于点，于点，连接，根据题意知，，．．．又是等腰直角三角形，且，．在与中，，．，．点在所在的直线上运动．为边上的一个动点，如图2，当点与点重合时，点的位置如图所示．当点与点重合时，记点的位置为．点的运动轨迹为线段．过点作于点．．正方形的边长为2，．．故答案为：．12．（2025秋•鼓楼区校级月考）如图，正方形的边长为4，为上一点，且，为边上的一个动点，连接，将绕点顺时针旋转得到，连接，则的最小值为 　　．【解答】解：将线段绕顺时针旋转至，连接，过作于，过作于，如图：，，在和中，，，，在射线上运动，，的长度即是的最小值，，，，四边形为矩形，，中，，，，，故答案为：．13．（2025秋•鼓楼区校级期末）如图，在中，，，，点在边上运动（可与点，重合），将线段绕点逆时针旋转，得到线段，连接，，则长的最小值为 　　．【解答】解：如图所示，以为底边向上作等腰，使，连接．由题意可得和均为顶角为 的等腰三角形，可得，，，，，，当时，有最小，即此时最小，如图所示，设，延长与交，此时为的最小值，可得，中，，，，，，，，，，，，，，，，，．14．（2025•邗江区校级一模）如图，菱形的边长为4，，是的中点，是对角线上的动点，连接，将线段绕点按逆时针旋转，为点对应点，连接，则的最小值为　　．【。