2026年中考数学压轴题专项练习-阿基米德折弦定理（学生版+名师详解版）.docx

阿基米德折弦定理1．（2025•成都自主招生）在中，顺次连接、、．（1）如图1，若点是的中点，且交延长线于点，求证：为的切线；（2）如图2，在（1）的条件下，连接，过点作于点，若，，，则、、有何数量关系？（3）如图3，当时，是延长线上一点，是线段上一点，且，若，的周长为9，请求出的值？2．（2024秋•丰泽区校级期末）古希腊数学家阿基米德提出并证明了“折弦定理”．如图1，和是的两条弦（即折线是圆的一条折弦），，是优弧的中点，则从向所作垂线的垂足是折弦的中点，即．（1）请按照下面的证明思路，写出该证明的剩余部分；证明：如图2，在上截取，连接，，和．是的中点，，．（2）如图（3），已知等边内接于，，为上一点，，，垂足为，请你运用“折弦定理”求的周长．3．（2024秋•建邺区期中）问题提出如图①，、是的两条弦，，是的中点，垂足为，求证：．小敏在解答此题时，利用了“补短法”进行证明，她的方法如下：如图②，延长至，使，连接、、、、．（请你在下面的空白处完成小敏的证明过程．推广运用如图③，等边内接于，，是上一点，，，垂足为，则的周长是　　．拓展研究如图④，若将“问题提出”中“是的中点”改成“是的中点”，其余条件不变，“”这一结论还成立吗？若成立，请说明理由；若不成立，写出、、三者之间存在的关系并说明理由．4．（2025•深圳四模）先阅读命题及证明思路，再解答下列问题．命题：如图1，在正方形中，已知：，角的两边、分别与、相交于点、，连接．求证：．证明思路：如图2，将绕点逆时针旋转至．，，与重合．，，点、、是一条直线．根据，得证△，得．（1）特例应用如图1，命题中，如果，，求正方形的边长．（2）类比变式如图3，在正方形中，已知，角的两边、分别与、的延长线相交于点、，连接．写出、、之间的关系式，并证明你的结论．（3）拓展深入如图4，在中，、是的弦，且，、是上的两点，．①如图5，连接、，与交于点，求证：，；②若点在（点不与点、、、重合）上，连接、分别交线段、或其延长线于点、，直接写出、、之间的等式关系．5．（2024秋•厦门期末）已知、、、是上的四点，，是四边形的对角线（1）如图1，连接，若，求证：是的平分线；（2）如图2，过点作，垂足为，若，，求线段的长度．6．（2024•咸宁模拟）小明学习了垂径定理，做了下面的探究，请根据题目要求帮小明完成探究．（1）更换定理的题设和结论可以得到许多真命题．如图1，在中，是劣弧的中点，直线于点，则．请证明此结论；（2）从圆上任意一点出发的两条弦所组成的折线，成为该圆的一条折弦．如图2，，组成的一条折弦．是劣弧的中点，直线于点，则．可以通过延长、相交于点，再连接证明结论成立．请写出证明过程；（3）如图3，．组成的一条折弦，若是优弧的中点，直线于点，则，与之间存在怎样的数量关系？写出结论，不必证明．7．如图，已知、、、四点顺次在上，且，于，求证：．8．（2025•东港区校级一模）如图：已知点、、、顺次在圆上，，，垂足为．证明：．（阿基米德折弦定理）9．（2025•海口一模）【问题呈现】阿基米德折弦定理：阿基米德，公元前公元前212年，古希腊）是有史以来最伟大的数学家之一，他与牛顿、高斯并称为三大数学王子．如图1，和是的两条弦（即折线是圆的一条折弦），，点是的中点，则从向所作垂线的垂足是折弦的中点，即．下面是运用“截长法”证明的部分证明过程．证明：如图2，在上截取，连接、、和．是的中点，，又，，，，又，，即．【理解运用】如图1，、是的两条弦，，，点是的中点，于点，则　　；【变式探究】如图3，若点是的中点，【问题呈现】中的其他条件不变，判断、、之间存在怎样的数量关系？并加以证明．【实践应用】如图4，是的直径，点圆上一定点，点圆上一动点，且满足，若，的半径为5，则　　．10．（2024•六合区模拟）我们知道，如图1，是的弦，点是的中点，过点作于点，易得点是的中点，即．上一点，则折线称为的一条“折弦”．（1）当点在弦的上方时（如图，过点作于点，求证：点是“折弦”的中点，即．（2）当点在弦的下方时（如图，其他条件不变，则上述结论是否仍然成立？若成立说明理由；若不成立，那么、、满足怎样的数量关系？直接写出，不必证明．（3）如图4，已知中，，，的外接圆的半径为2，过上一点作于点，交于点，当时，求的长．11．（2025秋•海州区校级期中）某数学活动小组在一次活动中，对一个数学问题作如下探究：【问题发现】如图1，，为的两条弦，点为的中点，过作，垂足为．求证：．【问题探究】小明同学的思路是：如图2，在上截取，连接，，，．请你按照小明的思路完成上述问题的证明过程．【结论运用】如图3，是的内接等边三角形，点是上一点，，连接，，过点作，垂足为．若，则的周长为 　　．【变式探究】如图4，若将【问题发现】中“点为的中点”改为“点为优弧的中点”，其他条件不变，上述结论“”还成立吗？若成立，请说明理由；若不成立，请写出、、之间的新等量关系，并加以证明．12．（2024•深圳）如图，内接于，，，点为上的动点，且．（1）求的长度；（2）在点的运动过程中，弦的延长线交延长线于点，问的值是否变化？若不变，请求出的值；若变化，请说明理由；（3）在点的运动过程中，过点作，求证：．13．（2024•鄂州自主招生）如图，点、、、四点顺次在上，，于，小华对此进行了研究：首先，他取为正三角形，且为的直径，计算后发现：；接着，他取为等腰直角三角形，平分，试问：还成立吗？小华利用这种情形还计算出，请问他的结论正确吗？另外，小华还猜想：一般地，恒成立，请你帮助他证明或否定这个结论．（对于前面两问只需作出肯定或否定的回答，无需证明）14．（2025•青羊区校级三模）如图所示，在中，，，点为劣弧上的动点，且．（1）求的长度；（2）求的值；（3）过点作，求证：．15．（2024秋•海淀区校级月考）问题呈现：阿基米德折弦定理：如图1，和是的两条弦（即折线是圆的一条折弦），，是的中点，则从向所作垂线的垂足是折弦的中点，即．下面是运用“截长法”证明的部分证明过程．证明：如图2，在上截取，连接，，和．是的中点，请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分；实践应用：（1）如图3，已知内接于，，是的中点，依据阿基米德折弦定理可得图中某三条线段的等量关系为 　　．（2）如图4，已知等腰内接于，，为上一点，连接，，于点，的周长为，，请求出的长．16．如图，已知圆内接中，，为的中点，于，求证：．1．（2025•成都自主招生）在中，顺次连接、、．（1）如图1，若点是的中点，且交延长线于点，求证：为的切线；（2）如图2，在（1）的条件下，连接，过点作于点，若，，，则、、有何数量关系？（3）如图3，当时，是延长线上一点，是线段上一点，且，若，的周长为9，请求出的值？【解答】解：（1）如图1，连接，是的中点，，，，为的半径，为的切线；（2）如图2，连接交于，连结，是的中点，，，，，，，，是的中点，，，，，，，，，，，，，，；（3）过点作，过点作，与交于点，连接，则，，是等边三角形，，，，，，，，，，，，四边形是平行四边形，，，，，，，过点作于点，交于点，连接，则，，，是等边三角形，，，即与在同一直线上，四边形是平行四边形，，，设，则，，，，，，即，，，在中，，，，延长，交于点，则，，，，，，，，，，，解得：（舍去），，，，作于点，则，．2．（2024秋•丰泽区校级期末）古希腊数学家阿基米德提出并证明了“折弦定理”．如图1，和是的两条弦（即折线是圆的一条折弦），，是优弧的中点，则从向所作垂线的垂足是折弦的中点，即．（1）请按照下面的证明思路，写出该证明的剩余部分；证明：如图2，在上截取，连接，，和．是的中点，，．（2）如图（3），已知等边内接于，，为上一点，，，垂足为，请你运用“折弦定理”求的周长．【解答】（1）证明：如图2，在上截取，连接，，和．是的中点，，．在和中，，，又，，；（2）解：如图3，截取，连接，，，由题意可得：，，在和中，，，，，则，，，则的周长是．3．（2024秋•建邺区期中）问题提出如图①，、是的两条弦，，是的中点，垂足为，求证：．小敏在解答此题时，利用了“补短法”进行证明，她的方法如下：如图②，延长至，使，连接、、、、．（请你在下面的空白处完成小敏的证明过程．推广运用如图③，等边内接于，，是上一点，，，垂足为，则的周长是　　．拓展研究如图④，若将“问题提出”中“是的中点”改成“是的中点”，其余条件不变，“”这一结论还成立吗？若成立，请说明理由；若不成立，写出、、三者之间存在的关系并说明理由．【解答】问题提出：证明：如图2，延长至，使，连接、、、、，是的中点，，，，，，在和中，，，又，，；推广运用：解：如图3，截取，连接，，，由题意可得：，，在和中，，，，，则，，，则的周长是，故答案为：；拓展研究：不成立，、、三者之间的关系：，证明：连接，，，交于，是的中点，，在和中，，，，，，，，．4．（2025•深圳四模）先阅读命题及证明思路，再解答下列问题．命题：如图1，在正方形中，已知：，角的两边、分别与、相交于点、，连接．求证：．证明思路：如图2，将绕点逆时针旋转至．，，与重合．，，点、、是一条直线．根据，得证△，得．（1）特例应用如图1，命题中，如果，，求正方形的边长．（2）类比变式如图3，在正方形中，已知，角的两边、分别与、的延长线相交于点、，连接．写出、、之间的关系式，并证明你的结论．（3）拓展深入如图4，在中，、是的弦，且，、是上的两点，．①如图5，连接、，与交于点，求证：，；②若点在（点不与点、、、重合）上，连接、分别交线段、或其延长线于点、，直接写出、、之间的等式关系．【解答】解：（1）如图1，设正方形的边长为，则有，．由材料可知：．在中，，．．解得：，（舍去）所以正方形的边长为6．（2）．理由如下：在上取一点，使得．连接，如图3．四边形是正方形，，．．在和中，．．，．．，．在△和中，．△．．．（3）①延长到点，使得，连接，如图5．，，．在和中，．．．．，．．，，，．，．②Ⅰ．当点在上时，如图6、7．同理可得：．Ⅱ．当点在上时或点在高于点时，如图8．同理可得：．5．（2024秋•厦门期末）已知、、、是上的四点，，是四边形的对角线（1）如图1，连接，若，求证：是的平分线；（2）如图2，过点作，垂足为，若，，求线段的长度．【解答】。