2026年中考数学压轴题专项练习-海盗埋宝模型（学生版+名师详解版）.docx

海盗埋宝模型1．（2025春•渠县校级期末）已知两个共一个顶点的等腰直角和等腰直角，，连接，是的中点，连接、（1）如图1，当与在同一直线上时，求证：；（2）如图1，若，，求，的长；（3）如图2，当时，求证：．2．（2025•台安县模拟）（1）如图1所示，在等腰三角形中，，分别以和为斜边，向的外侧作等腰直角三角形，是的中点，连接和．则线段，之间的数量关系是　　．（2）如图2所示，在任意三角形中，分别以和为斜边向的外侧作等腰直角三角形，是的中点，连接和，探究与具有怎样的数量关系和位置关系？并说明理由．（3）如图3所示，在任意三角形中，分别以和为斜边，向的内侧作等腰直角三角形，是的中点，连接、、，若，请直接写出线段的长．3．（2025春•沙坪坝区校级月考）在，中，，连接，为中点，连接，．（1）如图1，若，，三点在同一直线上，，已知，，求线段的长；（2）如图2，若，求证：为等腰直角三角形；（3）如图3，若，请判断的形状，并说明理由．4．（2024•长兴县二模）如图，两个等腰，，，与在同一直线上，连接，是的中点，连接、．（1）求证：；（2）若，．求、的长．5．（2025•沂源县一模）已知如图1，在中，，，点在上，交于，点是的中点（1）写出线段与线段的关系并证明；（2）如图2，将绕点逆时针旋转，其它条件不变，线段与线段的关系是否变化，写出你的结论并证明；（3）将绕点逆时针旋转一周，如果，，直接写出线段的范围．6．（2025秋•荔城区校级期末）如图，四边形是正方形，点为对角线的中点．（1）问题解决：如图①，连接，分别取，的中点，，连接，则与的数量关系是　　，位置关系是　　．（2）问题探究：如图②，将图①中的绕点按顺时针方向旋转得到△，连接，点，分别为，的中点，连接，．试判断与之间的数量关系，并证明；（3）拓展延伸：如图③，将图①中的绕点按逆时针方向旋转得到△，连接，点，分别为，的中点，连接，．若正方形的边长为1，求线段的长7．（2025春•沙坪坝区校级期末）如图，已知，边的中点，（1）分别以和为腰，向的外侧作等腰三角形，其中，，且，如图1所示．①若，求的度数；②求证：；（2）分别以和为斜边，向的外侧作等腰直角三角形，其中，如图2所示，连接和，则和具有怎样的数量和位置关系？请给出证明过程．8．（2025•越秀区校级模拟）在中，，．点在边上（不与，重合），连接，为中点．（1）若过点作于，连接、、，如图1．设，则　　；（2）若将图1中的绕点旋转，使得、、三点共线，点仍为中点，如图2．求证：；（3）若，点在边的三等分点处，将线段绕点旋转，点始终为中点，求线段长度的取值范围．9．（2024•槐荫区一模）如图1，在中，，，为边上一点，且，过点作于点．（1）求的长；（2）如图2，将绕点顺时针旋转，延长交于点，交于点，连接．求证：点是的中点．（3）如图3，在绕点顺时针旋转的过程中，当的延长线恰好经过点时，若点为的中点，点是的中点，连接、．求证：．10．（2025•东明县校级二模）已知等腰和等腰中，，且（1）发现：如图1，当点在上且点和点重合时，若点、分别是、的中点，则与的位置关系是 　　，与的数量关系是 　　（2）探究：若把（1）小题中的绕点旋转一定角度，如图2所示，连接和，并连接、的中点、，则与的位置关系和数量关系仍然能成立吗？若成立，请以逆时针旋转得到的图形（图为例给予证明位置关系成立，以顺时针旋转得到的图形（图为例给予证明数量关系成立，若不成立，请说明理由．11．（2024•太原二模）如图（1），点是正方形的边上一点，以为边在正方形的外部作，使，，点是线段的中点，连接，，请探究线段，的数量关系和位置关系．小颖的思路：延长交于点，通过构造全等三角形解决．（1）请按小颖的思路解决图（1）中的问题：①证明：；②直接写出，的位置关系为 　　，数量关系为 　　．（2）将图（1）中的绕点旋转，使落在对角线的延长线上，其余条件都不变，请写出此时，的数量关系和位置关系，并证明；（3）将图（2）中的正方形变为菱形，其中，将等腰的顶角变为，其余条件都不变，此时线段，的位置关系为 　　，　　．12．（2024•义乌市模拟）已知：是等腰直角三角形，四边形是正方形，是的中点．（1）如图，当、、在同一直线上时，请探究和的数量关系有 　　，位置关系有 　　．（2）如图，把等腰直角绕点逆时针旋转，当点恰好在射线上时：问题①：（1）中得到的结论还成立吗？请加以证明．问题②：若正方形的面积为1，等腰直角的面积为，的长为，求关于的函数关系式．（3）如图，把等腰直角绕点逆时针旋转到一般位置时，请直接写出（1）中得到的结论一定 　　（填“成立”或“不成立” ．13．（2024•南昌）某数学活动小组在作三角形的拓展图形，研究其性质时，经历了如下过程：（1）操作发现：在等腰中，，分别以和为斜边，向的外侧作等腰直角三角形，如图1所示，其中于点，于点，是的中点，连接和，则下列结论正确的是 　　（填序号即可）①；②；③整个图形是轴对称图形；④．（2）数学思考：在任意中，分别以和为斜边，向的外侧作等腰直角三角形，如图2所示，是的中点，连接和，则和具有怎样的数量关系？请给出证明过程；（3）类比探究：在任意中，仍分别以和为斜边，向的内侧作等腰直角三角形，如图3所示，是的中点，连接和，试判断的形状．答：　　．在三边互不相等的中（见备用图），仍分别以和为斜边，向的内侧作（非等腰）直角三角形和（非等腰）直角三角形，是的中点，连接和，要使（2）中的结论此时仍然成立，你认为需增加一个什么样的条件？（限用题中字母表示）并说明理由．14．如图，在等腰中，，，为射线上一点不与重合）．（1）当时，求证：是直角三角形．（2）当是以为腰的等腰三角形时，求的面积．（3）作点关于的对称点，当直线与中或所在直线垂直时，求的长．1．（2025春•渠县校级期末）已知两个共一个顶点的等腰直角和等腰直角，，连接，是的中点，连接、（1）如图1，当与在同一直线上时，求证：；（2）如图1，若，，求，的长；（3）如图2，当时，求证：．【解答】证明：（1）如图1，延长交于点，，，且，，在等腰直角和等腰直角中，，，，且（2）由（1）可知：，，，，且是等腰直角三角形，，且，（3）如图2，延长交于点，连接，延长与交于点，连接，是等腰直角三角形，，，，点为中点，．同理可得：，．在与中，，，．2．（2025•台安县模拟）（1）如图1所示，在等腰三角形中，，分别以和为斜边，向的外侧作等腰直角三角形，是的中点，连接和．则线段，之间的数量关系是 　　．（2）如图2所示，在任意三角形中，分别以和为斜边向的外侧作等腰直角三角形，是的中点，连接和，探究与具有怎样的数量关系和位置关系？并说明理由．（3）如图3所示，在任意三角形中，分别以和为斜边，向的内侧作等腰直角三角形，是的中点，连接、、，若，请直接写出线段的长．【解答】解：（1）．和是等腰直角三角形，，在和中，，，，，是的中点，．，，，即．在和中，，，．故答案为；（2），．理由如下：取，的中点，，连接，，，，设与交于点，如图2，和都是等腰直角三角形，，，．点是的中点，和都是的中位线，，，四边形是平行四边形，，，．在和中，，，，，，．，，，即；（3）线段的长为，理由如下：分别取，的中点，，连接，，，，设和交于点，如图3，和都是等腰直角三角形，，，．点是的中点，和都是的中位线，，，四边形是平行四边形，，，．在和中，，，，．，．即．又，，是等腰直角三角形，在中，，由勾股定理，得．3．（2025春•沙坪坝区校级月考）在，中，，连接，为中点，连接，．（1）如图1，若，，三点在同一直线上，，已知，，求线段的长；（2）如图2，若，求证：为等腰直角三角形；（3）如图3，若，请判断的形状，并说明理由．【解答】解：（1）连接，在，中，，，，，，，三点在同一直线上，，为的中点，，，，，同理：，，为等腰直角三角形，，，．（2）证明：取的中点，的中点，连接，，，，为的中点，为的一条中位线，，，四边形为平行四边形，，，，在中，为的中点，，，同理：，，，，．，，，，．为等腰直角三角形；（3）证明：取的中点，的中点，连接，，，，为的中点，为的一条中位线，，，四边形为平行四边形，，，，在中，为的中点，，，同理：，，，，．，，，，．为等边三角形．4．（2024•长兴县二模）如图，两个等腰，，，与在同一直线上，连接，是的中点，连接、．（1）求证：；（2）若，．求、的长．【解答】证明：（1）延长交于，则三角形与三角形为等腰直角三角形为中点又为中点为三角形中位线（2）延长交于又为等腰直角三角形为等腰直角三角形．5．（2025•沂源县一模）已知如图1，在中，，，点在上，交于，点是的中点（1）写出线段与线段的关系并证明；（2）如图2，将绕点逆时针旋转，其它条件不变，线段与线段的关系是否变化，写出你的结论并证明；（3）将绕点逆时针旋转一周，如果，，直接写出线段的范围．【解答】解：（1）结论：，．理由：如图1中，，，，，，，，，，，，，．（2）结论不变．理由：如图2中，延长到使得，延长到，使得，连接、．、，延长交于，交于．，，，同法，，，，，，，，，，同法，，，，，，，，．方法二：延长到．使得，连接，，，，证明是等腰直角三角形即可解决问题．（3）如图3中，当点落在上时，的长最大，最大值如图4中，当点落在的延长线上时，的值最小，最小值．综上所述，．6．（2025秋•荔城区校级期末）如图，四边形是正方形，点为对角线的中点．（1）问题解决：如图①，连接，分别取，的中点，，连接，则与的数量关系是　　，位置关系是　　．（2）问题探究：如图②，将图①中的绕点按顺时针方向旋转得到△，连接，点，分别为，的中点，连接，．试判断与之间的数量关系，并证明；（3）拓展延伸：如图③，将图①中的绕点按逆时针方向旋转得到△，连接，点，分别为，的中点，连接，．若正方形的边长为1，求线段的长【解答】（1）解：点为对角线的中点，，，为的中点，为的中点，，，，；故答案为：，．（2）结论：．证明：如图②中，连接并延长交于点，四边形是正方形，，，将绕点按顺时针方向旋转得到△，△是等腰直角三角形，，，，，又点是的中点，，△，，，，，△为等腰直角三角形．，，也为等腰直角三角形．又点为的中点，，．解法二：如图，取的中点，连接，．，，，，，，平分线段，点在上，，，，．（3）解：如图③中，延长交边于点，连接，．四边形是正。