2026年中考数学压轴题专项练习-正方形中的半角模型（学生版+名师详解版）.docx

正方形中的半角模型1．（2025春•鼓楼区校级期中）如图，已知正方形的边长为1，点是线段上的动点，过点作，使，连接交于点，交于点．以下结论正确的是 　　．①；②；③点到直线的距离最大值为；④点到直线的距离最大值为．2．（2025秋•鹿城区校级期中）如图1，已知一个量角器的直径与正方形的边长相等，点与点重合，量角器的半圆弧与边交于点，过点作，交边，于，．在量角器绕点顺时针旋转的过程中，若的度数为，则的值为　　；如图2，连结，，与对角线分别交于，，若，则的值为　　．3．（2025秋•北碚区校级期末）如图，点、分别在正方形的边，上，且，将绕点顺时针旋转得到，连接交于点，，，则　　．4．（2025•宿州模拟）如图，在正方形中，点、分别在边、上，且，交于点，交于点．（1）若正方形的边长为2，则的周长是　　．（2）若，则　　．5．（2025秋•河口区期末）已知：正方形中，，绕点顺时针旋转，它的两边分别交，（或它们的延长线）于点，．（1）当绕点旋转到时（如图，求证：；（2）当绕点旋转到时（如图，则线段，和之间数量关系是 　　；（3）当绕点旋转到如图3的位置时，猜想线段，和之间又有怎样的数量关系呢？并对你的猜想加以说明．6．（2025•绥化三模）已知，正方形中，，绕点顺时针旋转，它的两边长分别交、（或它们的延长线）于点、，于点．（1）如图①，当点旋转到时，请你直接写出与的数量关系：　 　；（2）如图②，当绕点旋转到时，（1）中发现的与的数量关系还成立吗？如果不成立请写出理由，如果成立请证明；（3）如图③，已知，于点，且，，求的长．7．（2024•新城区校级一模）问题提出：如图1：在中，且，点为的外心，则的外接圆半径是 　　．问题探究：如图2，正方形中，、分别是边、两边上点且，请问线段、、有怎样的数量关系？并说明理由．问题解决：如图3，四边形中，，，，点、分别是射线、上的动点，并且，试问的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值．若不存在，请说明理由．8．（2024•怀柔区一模）探究：（1）如图1，在正方形中，、分别是、上的点，且，试判断、与三条线段之间的数量关系，直接写出判断结果：　　；（2）如图2，若把（1）问中的条件变为“在四边形中，，，、分别是边、上的点，且”，则（1）问中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明，若不成立，请说明理由；（3）在（2）问中，若将绕点逆时针旋转，当点分别、运动到、延长线上时，如图3所示，其它条件不变，则（1）问中的结论是否发生变化？若变化，请给出结论并予以证明．9．（2024•夏津县二模）如图1，在正方形中，、分别是，上的点，且度．则有结论成立；（1）如图2，在四边形中，，，、分别是，上的点，且是的一半，那么结论是否仍然成立？若成立，请证明；不成立，请说明理由．（2）若将（1）中的条件改为：如图3，在四边形中，，，延长到点，延长到点，使得仍然是的一半，则结论是否仍然成立？若成立，请证明；不成立，请写出它们的数量关系并证明．10．（2024春•长春期末）【感知】如图①，点是正方形的边上一点，点是延长线上一点，且，易证，进而证得（不要求证明）【应用】如图②，在正方形中，点、分别在边、上，且．求证：．【拓展】如图③，在四边形中，，，，点、分别在边、上，且，若，，则四边形的周长为　 　．11．（2025•增城区二模）在正方形中，点、分别在边、上，且，连接．（1）如图1，若，，求的长度；（2）如图2，连接，与、分别相交于点、，若正方形的边长为6，，求的长；（3）判断线段、、三者之间的数量关系并证明你的结论．12．（2025•昆明模拟）综合与实践【问题情境】数学活动课上，杨老师出示了教材上的一个问题：如图1，四边形是正方形，是上的任意一点，于点，，交于点，求证：．数学兴趣小组的小明同学做出了回答，解题思路如下：由正方形的性质得到，，再由垂直和平行可知，再利用同角的余角相等得到，则可根据“”判定，得到，所以．【建立模型】该数学小组小芳同学受此问题启发，对上面的问题进行了改编，并提出了如下问题：（1）如图2，四边形是正方形，，是对角线上的点，，连接，．求证：四边形是菱形；【模型拓展】该兴趣小组的同学们在杨老师的指导下大胆尝试，改变图形模型，发现并提出新的探究点；（2）如图3，若正方形的边长为12，是对角线上的一点，过点作，交边于点，连接，交对角线于点，，求的值．13．（2024•南山区三模）把一个含的三角板的锐角顶点与正方形的顶点重合，然后把三角板绕点顺时针旋转，它的两边分别交直线、于点、．（1）当三角板绕点旋转到图（1）的位置时，求证：．（2）当三角板绕点旋转到图（2）的位置时，试判断线段、、之间具有怎样的等量关系？请写出你的猜想，并给予证明．14．（2024•重庆开学）阅读下列学习内容：（1）如图1，在四边形中，，，，，分别是、上的点，且，探究图中线段，，之间的数量关系．探究思路如下：延长到点，使，连接．，，，则由探究结果知，图中线段、、之间的数量关系为 　　．（2）根据上面的方法，解决问题：如图2，若在四边形中，，，、分别是、上的点，且，上述结论是否仍然成立，并说明理由；（3）如图3，在四边形中，，，点、分别在边、上，且，若，，请求出线段的长度．15．（2024•西华县校级模拟）已知，四边形是正方形，，它的两边、分别交、与点、，连接，作，垂足为点（1）如图1，猜想与有什么数量关系？并证明；（2）如图2，已知，于点，且，，求的长；小萍同学通过观察图①发现，和关于对称，和关于对称，于是她巧妙运用这个发现，将图形如图③进行翻折变换，解答了此题．你能根据小萍同学的思路解决这个问题吗？16．（2010秋•吴江市校级期中）已知四边形是正方形，、分别是边，上的动点．（1）如图①，设是正方形对角线的交点，若，求证：，（2）在（1）的条件下，若正方形的边长为，求四边形的面积；（3）如图②，若试说明的周长等于正方形周长的一半．17．（2025秋•周村区期末）（1）如图1的正方形中，点，分别在边，上，，延长到点，使，连接，．求证：；（2）如图2，等腰中，，，点，在边上，且．若，，求的长．18．（2024秋•黄陂区校级月考）如图，正方形中，、分别为和边上的两点，．（1）求证：；（2）若，，求的长和的面积．19．（2024•菏泽）已知：如图，正方形，、分别平分正方形的两个外角，且满足，连接．（1）若正方形的边长为，求的值．（2）若以，，为三边围成三角形，试猜想三角形的形状，并证明你的结论．20．（2024春•九龙坡区校级期中）如图，正方形中，为上除点、外的任意一点，是等腰直角三角形，斜边与交于点，延长与的延长线交于点，连接、．（1）求证：；（2）求的度数．838041．（2025春•鼓楼区校级期中）如图，已知正方形的边长为1，点是线段上的动点，过点作，使，连接交于点，交于点．以下结论正确的是 　①④　．①；②；③点到直线的距离最大值为；④点到直线的距离最大值为．【解答】解：①正方形中，．，．如图：，；．．故①正确．②当点向左移动时，逐渐减小，而增大；故②错误．③延长至，使，连接．，，．，，．，，．．．．过作的延长线于．．．点是线段上的动点，，故③错误．④过作于．，，．，；即：，设，则：，当时，取得最大值：．故④正确；故答案为：①④．2．（2025秋•鹿城区校级期中）如图1，已知一个量角器的直径与正方形的边长相等，点与点重合，量角器的半圆弧与边交于点，过点作，交边，于，．在量角器绕点顺时针旋转的过程中，若的度数为，则的值为 　　；如图2，连结，，与对角线分别交于，，若，则的值为 　　．【解答】解：如图1，连接，，在和中，，，，在和中，，，，，的度数为，，，，，设，则，，，，，；如图2，设，，，，，又，，，又，，，，，，，，，，，故答案为：；．3．（2025秋•北碚区校级期末）如图，点、分别在正方形的边，上，且，将绕点顺时针旋转得到，连接交于点，，，则　　．【解答】解：连接交于点，四边形是正方形，，，，，，由旋转得：，，，，，，，，点、、三点在同一条直线上，，，，，设正方形的边长为，，，在中，，，或（舍去），正方形的边长为6，在中，，，，，，，，在中，，，，是的垂直平分线，，，，，点与点重合，，在中，，，，，故答案为：．4．（2025•宿州模拟）如图，在正方形中，点、分别在边、上，且，交于点，交于点．（1）若正方形的边长为2，则的周长是 　4　．（2）若，则　　．【解答】解：（1）过作，交延长线于，，四边形是正方形，，，，，，，，，，，，，，，，，的周长，故答案为：4；（2）连接，四边形是正方形，，，，，，，，，，为等腰直角三角形，，，故答案为：．二．解答题（共16小题）5．（2025秋•河口区期末）已知：正方形中，，绕点顺时针旋转，它的两边分别交，（或它们的延长线）于点，．（1）当绕点旋转到时（如图，求证：；（2）当绕点旋转到时（如图，则线段，和之间数量关系是 　　；（3）当绕点旋转到如图3的位置时，猜想线段，和之间又有怎样的数量关系呢？并对你的猜想加以说明．【解答】（1）证明：如图1，过作于，四边形是正方形，，，，，，在和中，，，，，，，，，，，即，；（2）解：线段，和之间数量关系是，理由如下：延长至，使得，连接，四边形是正方形，，，在和中，，，，，，，，在和中，，，，，故答案为：；（3），理由如下：如图3，在上截取，连接，由（1）知，，，，，．在和中，，，，即，．6．（2025•绥化三模）已知，正方形中，，绕点顺时针旋转，它的两边长分别交、（或它们的延长线）于点、，于点．（1）如图①，当点旋转到时，请你直接写出与的数量关系：　　；（2）如图②，当绕点旋转到时，（1）中发现的与的数量关系还成立吗？如果不成立请写出理由，如果成立请证明；（3）如图③，已知，于点，且，，求的长．【解答】解：（1）如图①，四边形是正方形，，，在与中，，，，，，，，，在与中，，，；故答案为：；（2）数量关系成立．如图②，延长至，使．是正方形，，，在和中，，，，，，在和中，，，，，、是和对应边上的高，；（3）如图③分别沿、翻折和，得到和，，，，分别延长和交于点，得正方形，由（2）可知，，设，则，，在中，由勾股定理，得，，解得，（不符合题意，舍去）．7．。