2026年中考数学压轴题专项练习-胡不归（学生版+名师详解版）.docx

胡不归问题1．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图像与x轴交于A、C两点，与x轴交于点，若P是x轴上一动点，点D的坐标为，连接PD，则的最小值是（ ）A．4 B． C． D．2．如图，在中，，，，若D是BC边上的动点，则的最小值（ ）A． B．6 C． D．43．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于A、C两点，与y轴交于点，若P是x轴上一动点，点在y轴上，连接PD，则的最小值是（ ）A．4 B． C． D．4．如图，中，，，于点E，D是线段BE上的一个动点，则的最小值是__________．5．如图，四边形ABCD是菱形，，且，M为对角线BD（不含B点）上任意一点，则的最小值为__________．6．如图，矩形ABCD中，，，E为线段AB上一动点，连接CE，则的最小值为__________．7．如图，直线分别交x轴、y轴于B、A两点，点在y轴上，点P在x轴上运动，则的最小值为__________．8．如图，在平面直角坐标系中，直线l分别交x、y轴于B、C两点，点A、C的坐标分别为、，且，点P是直线l上一动点，连接AP，则的最小值是__________．9．如图，在中，，，半径为5的经过点C，CE是的切线，且圆的直径AB段AE上，设点D是线段AC上任意一点(不含端点)，则的最小值为__________．10．如图，中，，，，P为边CD上的一动点，则的最小值等于__________．11．如图，中，，，，P为边CD上一点，则的最小值为__________．12．如图，在平面直角坐标系中，一次函数分别交x轴、y轴于A、B两点，若C为x轴上的一动点，则的最小值为__________．13．如图，在中，，，，垂足为D，P为线段AD上的一动点，连接PB、PC．则的最小值为__________．14．已知，，D为OB上动点，求的最小值．15．抛物线分别交x轴于点，，交y轴于点C，抛物线的对称轴与x轴相交于点D，点M为线段OC上的动点，点N为线段AC上的动点，且．（1）求抛物线的表达式；（2）线段MN，NC在数量上有何关系，请写出你的理由；（3）在M，N移动的过程中，是否有最小值，如果有，请写出理由．16．如图，矩形OABC的顶点A、C分别在x、y轴的正半轴上，点B的坐标为，一次函数的图象与边OC、AB、x轴分别交于点D、E、F，，并且满足，点M是线段DF上的一个动点．（1）求b的值；（2）连接OM，若的面积与四边形OAEM的面积之比为，求点M的坐标；（3）求的最小值．17．如图，在平面直角坐标系中，直线和直线相交于y轴上的点B，且分别交x轴于点A和点C．（1）求的面积；（2）点E坐标为，点F为直线l1上一个动点，点P为y轴上一个动点，求当最小时，点F的坐标，并求出此时的最小值．18．如图，在平面直角坐标系中，直线分别与x，y轴交于点A，B，抛物线恰好经过这两点．（1）求此抛物线的解析式；（2）若点C的坐标是，将绕着点C逆时针旋转得到，点A的对应点是点E．①写出点E的坐标，并判断点E是否在此抛物线上；②若点P是y轴上的任一点，求取最小值时，点P的坐标．19．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点C．抛物线的对称轴是且经过A、C两点，与x轴的另一交点为点B．（1）求二次函数的表达式；（2）点P为线段AB上的动点，求的最小值；（3）抛物线上是否存在点M，过点M作MN垂直x轴于点N，使得以点A，M，N为顶点的三角形与相似？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．第14讲 三步解决最值问题之胡不归（PA+k·PB）u 模型建立数学解读：从A点出发，AC上的速度v2＞AB和BC上的速度v1，问：当点C在什么位置上时，所用时间最短。

模型特征：点C在直线上运动（和阿氏圆对比）解题思路：①化成BC+kAC(k＜1)②在动点C所在直线AC的另一侧构建角α，角的一边为AM，使得sinα=k，以AC为斜边，则CE=kAC③BC+kAC转化为BC+CD,即过B作AM的垂线BD即为所求例1】1．在平面直角坐标系中，二次函数解析式为y=12x2−x−32，点E坐标为32,−158，若点P为x轴上任意一点，求PE+35PA的最小值．【分析】1.确定类型：求的是类似于PM+kPN的值，且动点P在x轴上运动，所以是胡不归模型2.确定k的值：先把题中要求的算式变换成PM+kPN (k＜1)，如PM+2PN变换成2（12PM+PN），则k的值为12本题求PE+35PA的最小值，则k=352.从图中找出特殊角α，使得sinα=k本题中，sin∠EAO=353.构造角：在动点P所在直线的另一侧，即x轴的上方构造正弦值为35的角，即作点E关于x轴的对称点F，∠FAO=35作PM⊥AF，即35PA=PM4.结论：PE+35PA=PE+PM，当EM⊥AF时，PE+PM最小5.求值：利用直角三角形EFM中∠F的正弦值求EM的长一、单选题1．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=−x2+bx+3的图像与x轴交于A、C两点，与x轴交于点C(3,0)，若P是x轴上一动点，点D的坐标为(0,−1)，连接PD，则2PD+PC的最小值是（    ）A．4 B．2+22 C．22 D．32+232【答案】A【分析】过点P作PJ⊥BC于J，过点D作DH⊥BC于H，根据2PD+PC=2PD+22PC=2PD+PJ，求出DP+PJ的最小值即可解决问题．【详解】解：连接BC，过点P作PJ⊥BC于J，过点D作DH⊥BC于H．∵二次函数y=−x2+bx+3的图像与x轴交于点C(3,0)，∴b＝2，∴二次函数的解析式为y=−x2+2x+3，令y＝0，-x2+2x+3＝0，解得x＝﹣1或3，∴A（﹣1，0），令x＝0，y=3，∴B（0，3），∴OB＝OC＝3，∵∠BOC＝90°，∴∠OBC＝∠OCB＝45°，∵D（0，-1），∴OD＝1，BD＝4，∵DH⊥BC，∴∠DHB＝90°，设DH=x，则BH=x,∵DH2+BH2=BD2，∴x2+x2=42，∴x=22，∴DH＝22，∵PJ⊥CB，∴∠PJC＝90°，∴PJ＝22PC，∴2PD+PC=2PD+22PC=2PD+PJ，∵DP+PJ≥DH，∴DP+PJ≥22，∴DP+PJ的最小值为22，∴2PD+PC的最小值为4．故选：A．【点睛】本题考查了二次函数的相关性质，以及等腰直角三角形的判定和性质，垂线段最短等知识，得到∠OBC＝∠OCB＝45°，PJ＝22PC是解题的关键．2．如图，在ΔABC中，∠A=90°，∠B=60°，AB=2，若D是BC边上的动点，则2AD+DC的最小值（    ）A．23+6 B．6 C．3+3 D．4【答案】B【分析】作点A关于BC的对称点A'，连接AA', A'D,过D作DE⊥AC于E，易得2DE = CD，AD= A'D，从而得出AD+ DE = A'D+ DE，当A'，D, E在同一直线上时，AD + DE的最小值等于A' E的长是3，进而求出2AD十CD的最小值．【详解】如图所示，作点A关于BC的对称点A',连接AA', A'D,过D作DE⊥AC于E∵∠BAC = 90o，∠B = 60o，AB= 2∴BH=1,AH=3,AA'=23，∠C= 30o∴DE =12CD,即2DE = CD∵A与A'关于BC对称∴AD= A'D∴AD+ DE = A'D+ DE∴当A'，D, E在同一直线上时AD + DE的最小值等于A' E的长,在Rt△AA' E中：A' E= sin60o×AA'=32×23= 3∴AD十DE的最小值为3∴2AD十CD的最小值为6故选B【点睛】本题主要考查了三角形的动点最值问题，做完辅助线后先求出AD + DE的最小值是解题关键．3．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2﹣2x＋c的图象与x轴交于A、C两点，与y轴交于点B（0，﹣3），若P是x轴上一动点，点D（0，1）在y轴上，连接PD，则2PD＋PC的最小值是（    ）A．4 B．2＋22 C．22 D．32+232【答案】A【分析】过点P作PJ⊥BC于J，过点D作DH⊥BC于H．根据2PD+PC=2PD+22PC=2PD+PJ，求出DP+PJ的最小值即可解决问题．【详解】解：过点P作PJ⊥BC于J，过点D作DH⊥BC于H．∵二次函数y＝x2﹣2x+c的图象与y轴交于点B（0，﹣3），∴c＝﹣3，∴二次函数的解析式为y＝x2﹣2x﹣3，令y＝0，x2﹣2x﹣3＝0，解得x＝﹣1或3，∴A（﹣1，0），B（0，-3），∴OB＝OC＝3，∵∠BOC＝90°，∴∠OBC＝∠OCB＝45°，∵D（0，1），∴OD＝1，BD＝4，∵DH⊥BC，∴∠DHB＝90°，设DH=x，则BH=x,∵DH2+BH2=BD2，∴x2+x2=42，∴x=22，∴DH＝22，∵PJ⊥CB，∴∠PJC＝90°，∴PJ＝22PC，∴2PD+PC=2PD+22PC=2PD+PJ，∵DP+PJ≥DH，∴DP+PJ≥22，∴DP+PJ的最小值为22，∴2PD+PC的最小值为4．故选：A．【点睛】本题考查了二次函数的相关性质，以及等腰直角三角形的判定和性质，垂线段最短等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题．二、填空题4．如图，△ABC中，AB=AC=10，tanA=2，BE⊥AC于点E，D是线段BE上的一个动点，则CD+55BD的最小值是__________．【答案】45【分析】过点D作DH⊥AB于H，过点C作CM⊥AB于M，首先通过勾股定理及tanA=2求出AE,BE的长度，然后根据等腰三角形两腰上的高相等得出CM=BE，然后通过锐角三角函数得出DH=55BD，进而可得出CD+55BD=CD+DH，最后利用CD+DH⩾CM即可求值．【详解】解：如图，过点D作DH⊥AB于H，过点C作CM⊥AB于M．∵BE⊥AC，∴∠AEB=90°，∵tanA=BEAE=2，设AE=a，BE=2a，∵AB2=AE2+BE2 ∴100=a2+4a2，∴a2=20，∴a=25或−25（舍弃），∴BE=2a=45，∵AB=AC，BE⊥AC，CM⊥AB，∴CM=BE=45（等腰三角形两腰上的高相等）∵∠DBH=∠ABE，∠BHD=∠BEA，∴sin∠DBH=DHBD=AEAB=55，∴DH=55BD，∴CD+55BD=CD+DH，∴CD+DH⩾CM，∴CD+55BD⩾45，∴CD+55BD的最小值为45,故答案为：45．【点睛】本题主要考查解直角三角形，等腰三角形的性质，勾股定理，垂线段最短等，学会添加辅助线并利用转化的思想是解题的关键．5．如图，四边形ABCD是菱形，AB＝8，且∠ABC＝60°，M为对角线BD（不含B点）上任意一点，则AM+12BM的最小值为_____．【答案】43【分析】如图，过点A作AT⊥BC于T，过点M作MH⊥BC于H，根据菱形的性质和30°角的直角三角形的性质可得MH＝12BM，于是可得AM+12BM的最小值即为AT的长，再利用解直角三角形。