2026年中考数学压轴题专项练习-等腰三角形中的半角模型（学生版+名师详解版）.docx

等腰三角形中的半角模型1．（2025秋•渝中区校级期末）如图，中，，，、为边上两点，，过点作，且，连接、．下列结论：①，②平分；③若，，则；④若，，其中正确的个数有　　A．1个 B．2个 C．3个 D．4个2．（2025秋•郧阳区期中）如图，在等腰中，，，点是线段上一点，，点是延长线上一点，点是线段上一点，，下面的结论：①；②；③；④，其中正确的个数有　　A．1个 B．2个 C．3个 D．4个3．（2025春•牡丹区期中）如图，在中，，、是斜边上两点，且，将绕点顺时针旋转后，得到，连接，下列结论：①；②；③④，其中一定正确的是　　A．①③ B．①②④ C．①②③④ D．②④4．（2024秋•宜兴市期中）如图，是边长为的等边三角形，是等腰三角形，且，以为顶点做一个角，使其两边分别交于点，交于点，连接，则的周长是　　A． B． C． D．不能确定5．（2025•夹江县模拟）已知是等边三角形，点在上，过点作，垂足为，延长至点，使，连接交于点，如图所示．如果等边三角形的边长为4，那么线段的长为　　A．1 B．2 C．1.8 D．2.56．（2025•鄞州区校级开学）已知，如图，在中，，点段上，，，与交于点，作交于点．（1）若，且，则　　；（2）若，，则和的面积之比　　．7．（2025•咸宁模拟）如图，在正方形中，点是上一动点，点是的中点，绕点顺时针旋转得到，连接，．给出结论：①；②；③； ④若正方形的边长为2，则点在射线上运动时，有最小值．其中结论正确的是　　（把你认为正确结论的序号都填上）．8．（2025•大连模拟）综合与实践问题情境：数学活动课上，王老师出示了一个问题：如图1，在中，点在边上，于交于，．求证．独立思考：（1）请解答王师提出的问题．实践探究：（2）在原有问题条件不变的情况下，王老师增加下面条件，并提出新问题，请你解答．“如图2，作于点，若，探究线段与之间的数量关系，并证明．”问题解析：（3）数学活动小组同学对上述问题进行特殊化研究之后发现，当点与点重合时，连接，若给出的值，则可求出的值．该小组提出下面的问题，请你解答．”如图3，在（2）的条件下，当点与点重合时，连接，若，求的长”．9．（2025秋•牡丹江期末）已知，等边与顶点重合，将等边绕顶点顺时针旋转，边所在直线与的边相交于点，并在边上截取，连接．（1）将等边旋转至如图①所示位置时，求证：；（2）将等边顺时针旋转至如图②、图③位置时，请分别直接写出，，之间的数量关系，不需要证明；（3）在（1）和（2）的条件下，若，，则　　．10．（2025秋•桦甸市期末）如图，是等边三角形，是边上一点（点不与点，重合），作，使角的两边分别交边，于点，，且．（1）如图①，若，则　　度；（2）如图②，是边上一点（点不与点，重合），求证：；（3）如图③，若是边的中点，且，则四边形的周长为　　．11．（2025春•嘉定区期末）在等边三角形的两边、所在直线上分别有两点、，为外一点，且，，．探究：当点、分别在直线、上移动时，，，之间的数量关系．（1）如图①，当点、在边、上，且时，试说明．（2）如图②，当点、在边、上，且时，还成立吗？答：　　．（请在空格内填“一定成立”“不一定成立”或“一定不成立” ．（3）如图③，当点、分别在边、的延长线上时，请直接写出，，之间的数量关系．12．（2025秋•连山区期中）如图，中，，，点在边上运动不与、重合），点段上，连结，．点运动时，始终满足．（1）当的最小值为4时，此时　　；（2）当时，判断的形状并说明理由；（3）在点的运动过程中，的形状是等腰三角形时，请直接写出此时的度数．13．（2025秋•连山区期中）如图1，等边三角形和等边三角形，连接，．其中．（1）求证：；（2）如图2，当点、、在一条直线上时，交于点，交于点，求证：；（3）利用备用图补全图形，直线，交于点，连接，若，，直接写出的长．14．（2024春•杨浦区校级期末）在等边的两边、所在直线上分别有两点、，为外一点，且，，．探究：当、分别在直线、上移动时，、、之间的数量关系及的周长与等边的周长的关系．（1）如图1，是周长为9的等边三角形，则的周长　 　；（2）如图2，当点、边、上，且时，、、之间的数量关系是　 　；此时　 　；（3）点、在边、上，且当时，猜想（2）问的两个结论还成立吗？写出你的猜想并加以证明．15．（2025秋•温江区校级期中）如图，在中，．（1）如图1，若，，求的面积；（2）如图2，为外的一点，连接，且，，过点作交的延长线于点，求证：；（3）如图3，在（2）的条件下，作平分交于点，过点作交的延长线于点，点为直线上点的一个动点，连接，过点作，且始终满足，连接，若，请求出取得最小值时的值．16．（2024•宛城区一模）（1）问题背景：如图①，在四边形中，，，，，分别是、上的点，且．探究图中线段，，之间的数量关系．小明同学探究此问题的方法是，延长到点，使，连接，先证明，再证明，可得出结论，他的结论应是 　　；（2）探索延伸：如图②，若在四边形中，，．，分别是，上的点，且，上述结论是否仍然成立，请说明理由；（3）实际应用：如图③，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心北偏西的处，舰艇乙在指挥中心南偏东的处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以60海里小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东的方向以80海里小时的速度前进，2小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达，处，当时，两舰艇之间的距离是 　　海里．（4）能力提高：如图④，等腰直角三角形中，，，点，在边上，且．若，，则的长为 　　．17．（2024•杭州模拟）（1）如图1，菱形中，，点，分别在边，上，，连接，作，使与关于直线对称，连接． 求证：；（2）如图2，等腰中，，，点，在边上，在的左边，且，若，，求的长．18．（2025秋•内江期末）旋转变换是解决数学问题中一种重要的思想方法，通过旋转变换可以将分散的条件集中到一起，从而方便解决问题．已知，中，，，点、在边上，且．（1）如图，当时，将绕点顺时针旋转到的位置，连结．①　　；②求证：；（2）如图，当时，猜想、、的数量关系，并说明理由．19．（2025秋•西青区期末）已知在中，，，是边上的点，将绕点旋转，得到，连接．（1）如图1，当，时，求证：；（2）如图2，当时，请写出与的数量关系，并说明理由．（3）当，，时，请直接写出与的数量关系（不必说明理由）．20．（2024秋•新乡期末）阅读下面材料：小辉遇到这样一个问题：如图1，在中，，，点，在边上，．若，，求的长．小辉发现，将绕点按逆时针方向旋转，得到，连接（如图，由图形旋转的性质和等腰直角三角形的性质以及，可证，得．解，可求得（即的长．请回答：在图2中，的度数是 　　，的长为 　　．参考小辉思考问题的方法，解决问题：如图3，在四边形中，，．，分别是边，上的点，且．猜想线段，，之间的数量关系并说明理由．38041．（2025秋•渝中区校级期末）如图，中，，，、为边上两点，，过点作，且，连接、．下列结论：①，②平分；③若，，则；④若，，其中正确的个数有　　A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【解答】解：，，，，，，，，故①正确；，，，，，，，，平分，故②正确；在中，，，，，，，，，，，，，，故③正确；，，，，，，，，，，，，，，，，故④错误；综上所述，正确的个数有3个，故选：．2．（2025秋•郧阳区期中）如图，在等腰中，，，点是线段上一点，，点是延长线上一点，点是线段上一点，，下面的结论：①；②；③；④，其中正确的个数有　　A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【解答】解：连接，如图1所示：，，，，又，，，又在等腰中，，，，，故①正确；又，，故②正确；，，，又，，，，又，，又，是等边三角形，，，故④正确；段上截取，连接，如图2所示：，，，是等边三角形，，又是等边三角形，，又，，，在和中，，，，又，，，故③正确；故选：．3．（2025春•牡丹区期中）如图，在中，，、是斜边上两点，且，将绕点顺时针旋转后，得到，连接，下列结论：①；②；③④，其中一定正确的是　　A．①③ B．①②④ C．①②③④ D．②④【解答】解：由旋转得：，，，，，，，，，，，，，，在中，，，上列结论，一定正确的是：①②④，故选：．4．（2024秋•宜兴市期中）如图，是边长为的等边三角形，是等腰三角形，且，以为顶点做一个角，使其两边分别交于点，交于点，连接，则的周长是　　A． B． C． D．不能确定【解答】解：是等腰三角形，且是边长为的等边三角形延长至，使，连接，在和中，，，，，，为公共边，的周长是：，故选：．5．（2025•夹江县模拟）已知是等边三角形，点在上，过点作，垂足为，延长至点，使，连接交于点，如图所示．如果等边三角形的边长为4，那么线段的长为　　A．1 B．2 C．1.8 D．2.5【解答】解：如图，过点作，交于点，则，是等边三角形，，，也是等边三角形，而，又，，，于，是等边三角形，，，．故选：．二．填空题（共2小题）6．（2025•鄞州区校级开学）已知，如图，在中，，点段上，，，与交于点，作交于点．（1）若，且，则　　；（2）若，，则和的面积之比　　．【解答】解：（1）如图1，过点作交的延长线于点，过点作于点，过点作于点，，，，，，，，在和中，，，，，，，，，，，，，，，，，，，在和中，，，，，，，，，，，，，，设，则，，，，，，故答案为：；（2）如图2，过点作交的延长线于点，过点作于点，过点作于点，过点作于点，由（1）知：，，，，，，，，，，，，，设，，则，，，，，，，，，，即，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，即，化简得：，，，，，，，，故答案为：．7．（2025•咸宁模拟）如图，在正方形中，点是上一动点，点是的中点，绕点顺时针旋转得到，连接，．给出结论：①；②；③； ④若正方形的边长为2，则点在射线上运动时，有最小值．其中结论正确的是 　①②④　（把你认为正确结论的序号都填上）．【解答】解：如图，延长交的延长线于点，点是的中点，，，，，，，又，，绕点顺时针旋转得到，，，，故①正确；，，，，，，，故②正确；如图，连接，过点作于点，过点作于，交于，连接，，，，四边形是矩形，，。