1.4.光在球面上的反射与折射（2020年整理）.pdf

学 海 无 涯 1 41 4 光在球面上的反射与折射 光在球面上的反射与折射 1 4 11 4 1 球面镜成像 球面镜成像 1 1 球面镜的焦距球面镜的反射仍遵从反射 球面镜的焦距球面镜的反射仍遵从反射 定律 法线是球面定律 法线是球面的半径 的半径 一束近主轴的平行光 线 经凹镜反射后将会聚于主轴上一点F 图 1 4 1 这F点称为凹镜的焦点 一束近主轴的平 行光线经凸面镜反射后将发散 反向延长可会聚于 主轴上一点F 图 1 4 2 这F点称为凸镜的虚焦 点 焦点F到镜面顶点O之间的距离叫做球面镜的 焦距f 可以证明 球面镜焦距f等于球面半径R 的一半 即 2 R f 2 2 球面镜成像公式 球面镜成像公式 根据反射定律可以推导出球面镜的成像公式 下面以凹镜为例来推导 如图 1 4 3 所示 设在凹镜的主 轴上有一个物体S 由S发出的射向凹镜的光线镜面A点反射后与主轴交于 S 点 半径CA为反射的法线 S 即S的像 根据反射定律 ACSSAC 则CA为 SSA 角A的平分线 根据角平分线的性质有 C F O 图 1 4 1 图 1 4 2 学 海 无 涯 SC CS SA AS 由为SA为近轴光线 所以 OSSA SOAS 式可改写为 SC CS SO OS 式中OS叫物距u S O 叫像距v 设凹镜焦距为f 则 fuOCOSCS2 fSOOCSC2 代入 式 f fuu 2 2 化简 fu 111 这个公式同样适用于凸镜 使用球面镜的成像公式时要注意 凹镜焦距f取正 凸镜焦距f取负 实物u取正 虚物u取负 实像v 为正 虚像v为负 fu 111 学 海 无 涯 上式是球面镜成像公式 它适用于凹面镜成像和凸面镜成像 各量符号遵循 实取正 虚取负 的原则 凸面镜的焦点是虚的 因此焦距为负值 在成像中 像长 和物长h之比为成像放大率 用m表示 uh h m 由成像公式和放大率关系式可以讨论球面镜成像情况 对于凹镜 如表 所列 对于凸镜 如表 所列 表 凹镜成像情况 物的性质 物的位置 像的位置 像的大小 像的正倒 像的虚实 实物 同侧 f 缩小 倒 实 2f 同侧 f 2f 缩小 倒 实 2f 同侧 2f 等大 倒 实 2f f 同侧 f 2f 放大 倒 实 f 放大 f 0 异侧 0 放大 正 虚 虚物 异侧 0 f 缩小 正 实 表 凸镜成像情况 学 海 无 涯 物的性质 物的位置 像的位置 像的大小 像的正倒 像的性质 实物 f 同侧 0 f 缩小 正 虚 虚 物 2f 同侧 f 2f 缩小 倒 虚 2f 同侧 2f 等大 倒 虚 f 2f 同 侧 2f 放大 倒 虚 f f 0 异侧 0 放大 正 实 3 3 球面镜多次成像 球面镜多次成像 球面镜多次成像原则 只要多次运用球面镜成像公式即可 但有时前一个球面镜反射的光线尚未成像便又 遇上了后一个球面镜 此时就要引进虚像的概念 如图 1 4 4 所示 半径为 R 的凸镜和凹镜主轴相互重合放置 两镜顶点 O1 O2 相距 2 6R 现于主轴上距凹镜顶点 O1为 0 6R 处放一点光源 S 设点 光源的像只能直接射到凹镜上 问 S 经凹镜和凸镜各反射一次后所成的像在 何处 1 O S 2 S 1 S2 O 图1 4 4 学 海 无 涯 S在凹镜中成像 Ru6 0 1 Rf 2 1 1 111 111 fu RR 21 6 0 1 1 可解得 R3 1 ROO6 2 21 根据题意 所以凹镜反射的光线尚未成像便已又被凸镜反射 此时可将凹镜原来要成像 1 S 作为凸镜的虚物来处理 RRRu4 0 36 2 2 2 2 R f 222 111 fu RR 21 4 0 1 2 可解得 R2 2 学 海 无 涯 说明凸镜所成的像 2 S 和S在同一位置上 1 4 21 4 2 球面折射成像 球面折射成像 1 1 球面折射成像公式 球面折射成像公式 a 单介质球面折射成像 如图 1 4 5 所示 如果球面左 右方的折射率分别为 1 和n S 为S的像 因 为i r均很小 行以 n r i r i sin sin 因为 i r 代入 式可有 nr 对近轴光线来说 同样很小 所以有 u x R x x 代入 式可得 R nn u 11 i u SO 1 r v n C S 图 1 4 5 学 海 无 涯 当 u时的v是焦距f 所以 n n R f 1 b 双介质球面折射成像 如图 1 4 6 所示 球形折射面两侧的介质折射率分别 n1和 n2 C 是球心 O 是顶点 球面曲率半径为 R S 是物点 S 是像点 对于近轴光线 2211 inin 1 i 2 i u A0 R A0 v A0 联立上式解得 r nn v n u n 1221 这是球面折射的成像公式 式中 u 的符号同样遵循 实正虚负 的法则 对于 R 则当球心 C 在出射光的一个侧 凸面朝向入射光 时为正 当球心 C 在入射光的一侧 凹面朝向入射光 时为负 若引入焦点和焦距概念 则当入射光为平行于主轴的平行光 u 时 出射光 或其反向延长线 的交点即为第二焦点 也称像方焦点 此时像距 2 i 2 i O 图 1 4 6 学 海 无 涯 即是第二焦距 2 f 有 12 2 2 nn Rn f 当出射光为平行光时 入射光 或其延长线 的交点即第一焦点 即物方焦点 这时物距即为 第一焦距 1 f 有 12 1 1 nn Rn f 将 1 f 2 f代入成像公式改写成 1 21 u f u f 反射定律可以看成折射定律在 12 nn 时的物倒 因此 球面镜的反射成像公式可以从球面镜折射成像公式中得到 由于反射光 的行进方向逆转 像距 和球面半径 R 的正负规定应与折射时相反 在上述公式中令 12 nn RR 即可得到球 面镜反射成像公式 Ru 211 对于凹面镜 0 R 2 21 R ff 对于凸面镜 0 R 2 21 R ff 厚透镜成像 C 厚透镜折射成像 设构成厚透镜材料的折射率为 n 物方介质的折射率为 1 n 像方介质的折射率为 2 n 前后两边球面的曲率半径依次为 1 r 和2 r 透 镜的厚度为too 当物点在主轴上的 P 点时 物距 OPu 现在来计算像点 P 的像距 POS 首先考虑第一个球面 AOB 对 入射光的折射 这时假定第二个球面 AOB 不存在 并认为球 AOB 右边 都为折射率等于 n 的介质充满 在这种情况下 P 点的像将成在 P 处 其像距P O 然后再考虑光 线在第二个球面的折射 对于这个球面来说 P 便是虚物 图 1 4 7 1 h A P P O O 1 r 2 r u u u t 学 海 无 涯 因此对于球面 AOB 物像公式为 1 112 r nn u n v n 对于球面 AOB 物像公式为 2 22 r nn tu n v n 这样就可以用二个球面的成像法来求得透镜成像的像距 u 2 2 光焦度 光焦度 折射成像右端仅与介质的折射率及球面的曲率半径有关 因而对于一定的介质及一定 形状的表面来说是一个不变量 我们定义此量为光焦度 用 表示 r nn 它表征单折射球面对入射平行光束的屈折本领 的数值越大 平行光束折得越厉害 0 时 屈折是会聚性的 0 时 屈折是发散性的 0 时 对应于 r 即为平面折 射 这时 沿轴平行光束经折射后仍是沿轴平行光束 不出现屈折现象 光焦度的单位是 米 1 或称 屈光度 将其数值乘以 100 就是通常所说的眼镜片的 度数 h i i u 2 C 60cm 30cm 图 1 4 8 学 海 无 涯 3 3 镀银透镜与面镜的等效 镀银透镜与面镜的等效 有一薄平凸透镜 凸面曲率半径R 30cm 已知在近轴光线时 若将此透镜的平面镀银 其作 用等于一个焦距是 30cm的凹面镜 若将此透镜的凸面镀银 其作用也等同于一个凹面镜 其其等 效焦距 当透镜的平面镀银时 其作用等同于焦距是 30cm的凹面镜 即这时透镜等效面曲率半径为 60cm的球面反射镜 由凹面镜的成像性质 当物点置于等效曲率中心 时任一近轴光线经凸面折 射 再经平面反射后将沿原路返回 再经凸面折射后 光线过 点 物像重合 如图 1 4 8 所示 i ni iui i u n 1 依题意 60 h u 30 h i 故5 1 n 凸面镀银 光路如图 1 4 9 所示 关键寻找等效曲率中心 通过凸面上任一点A作一垂直于球面指向曲率中心C的光线 此光线 经平面折射后交至光轴于 B C 令 rOCB 则ini R h i r h i 得 cm n R r20 由光的可逆性原理知 B C 是等效凹面镜的曲率中心 f 10cm 例例 1 1 如图 1 4 10 所示 一个双凸薄透镜的两个球面的曲率半径均为r 透镜的折射率为n 考 察由透镜后表面反射所形成的实像 试问物放于何处 可使反射像与物位于同一竖直平面内 不考虑 多重反射 解解 从物点发出的光经透镜前表面 即左表面 反射后形成虚像 不合题意 无须考虑 ih h i C B C A 图 1 4 9 物 像 图1 4 10 学 海 无 涯 从物点发出的光经透镜前表面折射后 再经透镜后表面反射折回 又经前表面折射共三次成像 最后是实像 符合题意 利用球 面折射成像公式和球面反射成像公式 结合物与像共面的要求 就可求解 球面反射的成像公式为 fvu 111 其中反射面的焦距为 2 R f R为球面半径 对凹面镜 f取正值 对凸面镜 f取负值 球面折射的成像公式为 R nn v n u n1 21 21 当入射光从顶点射向球心时 R取正值 当入射光从球心射向顶 点时 R取负值 如图 1 4 11 甲所示 当物点Q发出的光经透镜前表面折射后成像于 Q 设物距为u 像距为 v 根据球面折射成像公式 R nn v n u n1 21 21 这里空气的折射率1 1 n 透镜介质的折射率 nn 2 入射光从顶点射向球心 R r取正值 所以有 r n v n u 11 1 uv Q Q n1 图1 4 11 甲 学 海 无 涯 这是第一次成像 对凸透镜的后表面来说 物点Q经透镜前 表面折射所成的风点 Q 是它的物点 其物距 vu 1 是虚物 经透镜后表面反射后成像于 1 Q 像距为 1 v 如图 1 4 11 乙所示 由球 面反射成像公式 rfvu 2111 211 将前面数据代入得 rvv 211 1 2 这是第二次成像 由透镜后表面反射成的像点 1 Q 又作为透镜前 表面折射成像的物点 2 Q 其物距 12 vu 是虚物 再经过透镜前表面折射成像于 2 Q 像距为 2 v 1 u 11 vu 1 Q Q n 1 1 Q 图1 4 11 乙 2 P 12 PP n 1 2 Q 12 图1 4 11 丙 学 海 无 涯 见图 1 4 11 丙所示 再由球面折射成像公式 R nn v n u n1 21 21 这时人射光一侧折射率 折射光一侧折射率 是空气 入射光由球心射向顶点 故 R 值取负值 所以可写出 r n vu n 1 1 1 22 代入前面得到的关系可得 r n vu n11 21 3 这是第三次成像 由 1 2 两式可解得 r n v n u 131 1 4 再把 4 式和 3 式相加 可得 r n vu 12 211 2 5 为使物点Q与像点 2 Q 在同一竖直平面内 这就要求 12 vu 学 海 无 涯 代入 5 是可解得物距为 12 n r u 说明说明 由本题可见 观察反射像 调整物距 使反射像与物同在同一竖直平面内 测出物距 P 根据上式就可利用已知的透镜折射率n求出透镜球面的半径r 或反过来由已咋的球面半径r 求出透镜的折射率n 例例 2 2 显微镜物镜组中常配有如图 1 4 12 所示的透镜 它的表面是球面 左表面 1 S 的球心 为 1 C 半径为 1 R 右表面 2 S 的球心为 2 C 半径为 2 R 透镜玻璃对于空气的折射率为n 两球心 间的距离为 n R CC 2 21 在使用时 被观察的物位于 1 C处 试证明 1 从物射向此。