人教版 高中数学教案 立体几何22.pdf

课 题：9.7五俵的军而所成的命夕二面筠（三）教学目的：1.两个平面垂直的定义、画法.2 .两个平面垂直的判定定理.3.两个平面垂直的性质定理.理 解 面面垂直问题可能化为线面垂直的问题.教学重点：两个平面垂直的判定和性质.教学难点：两个平面垂直的判定及应用.授课类型：新授课.课时安排：1课时.教 具：多媒体、实物投影仪.教学过程：一、复习引入：1 .直线和平面所成角（1）定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角叫做这条斜线和这个平面所成的角.一直线垂直于平面，所成的角是直角./一直线平行于平面或在平面内，所成角为0角/一一直线和平面所成角范围：0,-/O/B ）（2）定理：斜线和平面所成角是这条斜线 和 平 面 内 经-匕）过斜足的直线所成的一切角中最小的角.2 .公式：已知平面a的斜线与a内一直线b相交成角，且a与a相交成（p i角，a在a上的射影c 夕/与6相交成S 角，则有c o s qc o s%=c o s 6 /3.二面角的概念：平面内的一条直线把平面分为/两个部分，其中的每一部分叫做半平面；从一条 A-/直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，每个半平面叫做二面角的面.若棱为/,两个面分别为a,的二面角记为a-/；二面角的图形表示：第二种是立式法，也称为直立式:4.二面角的平面角：（1）过二面角的棱上的一点。

分别在两个半平面内作棱的两条垂线OA,OB,则NA08叫做二面角a-l-（3的平面角.（2）一 个 平 面 垂 直 于 二 面 角 4的棱/,且与两半平面交线分别为OA,OB,为垂足，则N A O B也是a /-的平面角.说明：（1）二面角的平面角范围是 0 ,1 8 02）二面角的平面角为直角时，则称为直二面角，组成直二面角的两个平面互相垂直.二、讲解新课：1 .两个平面垂直的定义：两个相交成直二面角的两个平面互相垂直；相交成直二面角的两个平面叫做互相垂直的平面.2 .两平面垂直的判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直.已知：直线ABu 平面4 8 _ 1 平面夕，垂足为8,求证：a _ L,.（线面垂直n 面面垂直）证明：如图所示，令a n/=CO,则 Be CO,在 内过8作 B E J.C O,:A B ,：.A B L C D ,：.Z A B E是二面角a-C D-p的平面角,又A 5 _ L B E,.N A B E 是直角,所以，a与所成的二面角是直角，即a_L.实例：建筑工地在砌墙时，常用铅垂的线来检查所砌的墙是否和水平面垂直.3.两平面垂直的性质定理：若两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们的交线的直线垂直于另一个平面.已知：a，夕,a n =C2ABua,A8J_C。

于点5,求证：A 8_L.（面面垂直=线面垂直）证明：在月内过8作8ELC则由题意得NA8E是a CO-77的平面角，,.知4 8,8 ,又AB，CO,A A B 1/3.三、讲解范例：例1.如图，已知A8是圆的直径，PA垂直于所在的平面，是圆周上不同于A,8的任一点，求证：平面PAC_L平面P8C.分析：根 据“面面垂直”的判定定理，要证明两平面互相垂直，只要在其中一个平面中寻找一条与另一平面垂直的直线即可.解：:A B是圆的直径，.AC，BC,又PA垂直于所在的平面，,PALBC,BC_L平面PAC,又8C在平面P3C中，所以，平面PAC _L平面P8C.说明：由于平面PAC与平面PBC相交于P C,所以如果平面PAC 平面P B C ,则在平面P8C中，垂直于PC的直线一定垂直于平面P 4 C,这是寻找两个平面的垂线的常用方法.例2.已知=a,a，八夕，了，求证：a-L/.证明：设a n y =A 8,ny=AC,在7内取点P，过P作PM LA 8于M,P N 工A C 于点、N ,*/a /,P M a ,又a fl 夕=a，?.P M L a,同理可得PNJ_a,.,.a l/.例3.已知在一个60的二面角的棱长有两点A,8,AC,80 丁分别是在这个二面角的两个平面内，且垂直于线段4 8,又 知 AB=4cm,AC 6cm,BD=8c/?z,求 CO 的长.,/解：由已知/MCA A.AB,AB 1 BD,=130-60=120,.,.ICPI2=(C4+A5+5D)2 dCAI2+1 Afil2+IDI2+2x6x8xcosl20n=62+42+82-2 x 6 x 8 x i=68,2I CD 1=2后(cm)四、课堂练习：1.直角AA3C的斜边AB在平面a内，AC,与a所成角分别为30,45,是斜边A8上的高线，求CO与平面a所成角的正弦值.解：过点C作C“L a于点”，连接AH,BH,OH,则ZCAH=30,NCBH=45,NCDH为所求CO与a所成角，记为6,令CH=a,则 AC=2a,8C=则在MA48c中，有。

如变AB在RfACO”中，sin6=走CD 2CO与平面所成角的正弦值V 3T2.如果二面角的平面角是锐角，点P到的距离分别a为2行,4,4逝，求二面角的大小./p分析：点P可能在二面角一/一月内部，也可能 T 在外部，应区别处理.-也1 图1解：如 图1是点尸在二面角一/一万的内部时，图2是点P在二面角二一/一夕外部时，：PA a：.PA IV A C 11 二面P A C J J同理，面P B C _ U而面 P A C O 面 P8C=PC.面P 4 C与面尸BC应重合即A C,P,8在同一平面内，则Z A C B是二面角a /力的平面角在 RtAPC 中，sin Z A C P =PB 472 2z/i c p =3（rPR A 5在 A f A B PC1中，si n Z B C P =匚,N B C P =45 P C 4&2故 Z/l CB=30+45=75 （图 1）或N A C B =45 30 =1 5 （图 2）即二面角a /的大小为75或15 .C说明：作一个垂直于棱的平面，此平面与两个半平面的交线所成的角就是二面角的平面角.3.如图，正方体的棱长为1,B C C B C O,求：(1)A。

与A C 所成角；(2)A与平面A B C O所成角的正切值；(3)平面A08与平面AO C所成角.解：(1)V A CHAC A与A C 所成角就是N O AC人，万 一 7一.：0C J_0B,A8_L 平面 8C O C 1 O A(三垂线定理)在 RfAAOC 中，OC=J,A C =0 NOAC=302(2)作O E L 8 C,平面6C _ L 平面 ABCO E _L平面A B C D ,Z O A E为4与平面A B C D所成角在RrAOAE 中，O E =,A E =+(L y =tanNOAE=匹=2 V 2 2 A E 5(3)V O C L O A,O C L O B.08又OCu平面AOC 平面AO8_L平面AOC即平面A O B与平面A O C所成角为90.说明：本题包含了线线角，线面角和面面角三类问题，求角度问题主要是求两条异面直线所成角（0,工,直线和平面所成角 0,工,二面角 0,%三种；求角2 2度问题解题的一般步骤是：（1）找出这个角；（2）证明该角符合题意；（3）作出这个角所在的三角形，解三角形，求出角；求角度问题不论哪种情况都归结到两条直线所成角问题，即线成角中找到答案.五、小 结：1.两个平面垂直的定义、画法2.两个平面垂直的判定方法（判定方法有两种，一是利用定义，二是利用判定定理.）3.应用两个平面垂直的判定定理的关键是将面面垂直的问题转化为线面垂直的问题；4.两个平面垂直的性质.六、课后作业：*七、板 书 设 计（略）.八、课后记：。