19华师《高等几何》离线作业.docx

本文格式为Word版，下载可任意编辑19华师《高等几何》离线作业 华师《高等几何》离线作业 一、填空题 1．用公理法建立的几何学演绎体系是由原始概念的列举、定义表达、公理列举、定理的表达和证明等四个方面组成的 2．十足几何学的公理体系是由四组， 4 ， 16 条公理构成的 3．罗巴切夫斯基函数???(x)当平行矩x 连续递增 时，其对应的平行角?连续递减 4．斜率为k的直线上的无穷远点的齐次坐标是 （1，k，0） 5．两个射影点列成透视对应的充要条件是 点列的底的交点是自对应点 6．欧氏平面上添加了 无穷远直线 后，成为仿射平面 7．共线4点A,B,C,D，若得志 （AB,CD）=–1 ，那么称点对A,B与点对C,D互成调和共轭 8．平面内两点I(1,i,0),J(1,?i,0)称为平面内的 圆点 9．罗巴切夫斯基函数???(x)当平行矩x连续递增时，其对应的平行角? 连续递减 10．球面三角形的三角和常小于 6d 而大于 2d 球面三角形中两角和减去第三角常小于 2d 。

11．射影变换T是对合的充要条件是 任何一对对应元素与两个自对应元素调和共扼 12．共线4点A,B,C,D，若得志(AB,CD)??1，那么称点对A,B与点对C,D互成 调和共轭 13．平面内两点 （1，ⅰ，0） 、 （1,－ⅰ，0） 称为平面内的圆点 14．几何学公理法从开头到形成，大体体验了 3 阶段 15．《几何原本》被认为是用 古典公理法 建立的几何学 16．欧几里得第五公设表达为： 假设两条直线与第三条直线相交，所构成的同侧内角的和小于两个直角，那么这两条直线在这一侧相交 17．《几何原本》被认为是用古典公理法建立的几何学，这本书的是 欧几里得 18．罗巴切夫斯基平面几何的平行公理表达为 假设两条直线与第三条直线相交，所构成的同侧内角的和小于两个直角，那么这两条直线在这一侧相交 19．罗氏平面上三角形内角和 小于 二直角 20．布里安香定理表达为 外切于一条非退化的二阶曲线的简朴六线形的三对对顶点的连线共点 21．欧氏直线上添加了 无穷远点 后，成为仿射直线。

22．射影平面上一点的射影坐标与另一种射影坐标的变换是 非奇异线性变换 23．通过圆点的任意虚直线称为 迷向直线 24．《几何原本》被认为是用古典公理法建立的几何学，这本书的是 欧几里得 25． “过一点作一向线”和“在直线上取一点” 叫做对偶运算 26．在欧氏平面上萨开里四边形是矩形，而在罗氏平面上，萨开里四边形 上底角小于直角 27．笛沙格定理表达为 两个三点形对应顶点的连线交于一点，那么对应边的交点在同一向线上 28．不共底又非透视对应的二射影点列恒可表示成 2 个透视对应的积 29．二阶曲线上的完全四点形的对角三点形是 自极三点形 30．巴斯加定理表达为 内接于一条非退化的二阶曲线的简朴六点形的三对对边的交点共线 31．《几何原本》被认为是用古典公理法建立的几何学，这本书的是欧几里得 二、计算题 1．求4点（AB，CD）的交比，其中A(2,1,?1),解：以A(2，1，－1)和B(1，－1,1)为基底 那么(2，1，－1)+?1 (1，－1,1)=( 1，0，0) B(1,?1,1),C(1,0,0),D(1,5,?5)。

2??11??1?1??1????1?1 100(2，1，－1)+?2 (1，－1,1)=(1,5,－5) 2??21??2?1??23????2?? 15?52所求交比为： ?12?? 3?22．求射影对应式，使直线L上的坐标是1，2，3的三点对应直线L?上的坐标为?1,?2,?3 的三点 解：射影对应式为：x???x 23．求点P(1,2,1)关于二阶曲线2X1?4X1X2?6X1X3?X3?0的极线方程 2解：点P(1,2,1)关于二阶曲线2X1?4X1X2?6X1X3?X3?0的极线方程为： 229X1?2X2?4X3?0 4．求过点(1,i,0)上的实直线 解：过点(1,i,0)上的实直线为：x3?0 5．求重叠一维根本形的射影变换????6?????6?0自对应元素的参数 解：参数是：2，3 1，0与2所抉择的对合方程 2解：对合方程为：?????????2?0 6．求由两对对应元素1与 7．求通过两直线（1，1，1）、（2，1，3）的交点与点2u1?3u2?u3?0 的直线的坐标 解：坐标是：(1,?2,4) 228．求点P(5,2,7)关于二阶曲线2X1?3X2?X3?6X1X2?2X1X3?4X1X3?0的极线 2方程。

解：极线方程是：X2?0 9．求4直线(l1l2,l3l4)的交比，其中l1,l2,l3,l4分别为 x?y?0,2x?y?0,x?y?0,3x?y?0. 解：4直线(l1l2,l3l4)的交比为：?5 10．求射影对应式，使直线L上的坐标是0,1,?3的三点对应直线L?上的坐标为0,2,?6的三点 解：射影对应式为：2?????0 11．求直线x1?x2?4x3?0上无穷远点的齐次坐标 解：齐次坐标是：（1，－1，0） 12．设点A(1,1,1),B(1,?1,1),C(1,0,1),(AB,CD)?2，求点D的坐标 解：点D的坐标是：D(3,1,3) 13．求连接(1?i,2?i,1)与(1?i,2?i,1)的直线方程 解：直线方程为：X1?X2?3X3?0 14．求射影对应式，使直线L上的坐标是0,2,?1的三点对应直线L?上的坐标为1,?3,0的三点 解：射影对应式为：?????????1?0 215．求点P(2,1,1)关于二阶曲线4X1?3X1X2?X2?0的极线方程 2解：极线方程为：19X1?4X2?0 三、证明题 21．求证：u1?3u1u2?u2?0抉择的点在相互垂直的两条直线上。

2证明：设u1?3u1u2?u2?(u1??u2)(u1??u2)，可得两个点的方程为 22u1??u2?0,u1??u2?0 用坐标表示为(1,??,0),(1,??,0). 这两个点在直线簇y???x?a,2y???x?b上 2又?,?为x?3x?1?0的根，根据韦达定理，????1，故u1?3u1u2?u2?0抉择 2的点(1,??,0),(1,??,0)在相互垂直的两条直线上 2．已知共面三点形ABC与A?B?C?是透视的，求证六直线AB?,AC?,BC?,BA?,CA?,CB?属于同一个二级曲线 证明：考虑以A,B?,C,A?,B,C?为顶的简朴六线形三对对顶连线是BB?,CC?,AA?，由题 设它们共点由布里安香定理的逆定理知，六直线AB?,AC?,BC?,BA?,CA?,CB?属于同一个二级曲线 3．设四点P1P2,Q1Q2)??1 1(3,1),P2(7,5),Q1(6,4),Q2(9,7)，求证：(P证明：由(P1P2,Q1Q2)?P1Q1?P2Q2QPQP1 =－11?22=－?2=－1 2P1Q2?P2Q1Q2P1P2Q1 所以，(P1P2,Q1Q2)??1 4．设A,B在二阶曲线c上，C,D不在c上，AC,BD分别交c于P,Q；AD,BC分别交c 于U,V。

求证：CD,PQ,UV共点 证明：只须证C,D,PQ?UV三点共线为此考虑六点形APQBVU， 由于AP?BV?C,PQ?VU?X,QB?UA?D三点共线， 由巴斯加定理得证CD,PQ,UV共点 5．直线AB和CD交于U，AC和BD交于V，U、V分别交AD、BC于F、G，BF 交AC于L求证：LG、CF、AU交于一点 证明：考虑三点形AFL,UCG， 因对应边FL与CG，LA与GU，AF与UC分别交于共线三点， 所以根据笛沙格定理的逆定理知LG、CF、AU交于一点 6．设直线OX与三点形ABC三边BC,CA,AB分别交于A?,B?,C?，证明： O(AB,CX)?(A?B?,C?O) 证明：令OB与AC交于Y，那么 (B)?(A,Y,C,B?)?(C?,O,A?,B?) 由于O(AB,CX)?(AY,CB?)，(A?B?,C?O)?(C?O,A?B?)， 所以O(AB,CX)?(A?B?,C?O) 7．设三点形ABC与A'B'C'是透视的，BC'与B'C，CA'与C'A，AB'与A'B分别交于 L,M,N证明BC,B'C',MN三线共点。

证明：考虑三点形B'C'A,BCA' ，令BC与B'C'的交点为T， 根据笛沙格定理可以证明 C'A与CA'的交点M，BA'与B'A的交点N，点T三点共线， 因此BC,B'C',MN三直线共点T 四、综合题 1．作已知点P关于二阶曲线C的极线 解：做法：1、过P作C的二割线AB、CD 2、连AC，BD交于E，连AD，BC交于F， P 那么EF为P点关于曲线C的极线 2．作出下图的对偶图形 解：作出对偶图形如右图1 图1 3．作出下图的对偶图形 解：作出对偶图形如右图2 图2 C 4．作图证明：给定直线p上四个不同点A,B,C,D，建立一个射影对应使得 p(A,B,C,D)?p(C,D,A,B) 证明：如下图，取不在p上的点P，通过B的不同于p的直线q与PA,PC,PD分别交于 A?,C?,D?记PD为r，A?C与r交于D??， 那么有 PCA?p(A,B,C,D)?q(A?,B?,C?,D?)?r(D??,D,P,D?)?p(C,D,A,B) 所以 p(A,B,C,D)?p(C,D,A,B). P C’ A B p C A’ 5．已知P点在二阶曲线上，求作点P的极线。

解：做法：过P任一向线PQ，作出直线PQ的极点R， 那么PR就是所求的点P的极线 D’ D” D r — 9 —。