《圆的标准方程》示范公开课教学设计【高中数学】.docx

《圆的标准方程》教学设计 ◆ 教学目标1. 掌握圆的定义及标准方程，提升学生的数学抽象、逻辑推理素养．2.能根据圆心、半径写出圆的标准方程，并能解决一些简单的实际问题.提高学生的数学运算、逻辑推理的素养．3.会用待定系数法求圆的标准方程.提高学生的数学运算、逻辑推理的素养．◆ 教学重难点◆ 教学重点：掌握圆的定义及标准方程教学难点：能借助圆的几何性质处理与圆心及半径有关的问题．◆ 课前准备 PPT课件．◆ 教学过程一、整体概览问题1：阅读课本第98-100页，回答下列问题：（1）本节将要研究哪类问题？（2）本节要研究的对象在高中的地位是怎样的？师生活动：学生带着问题阅读课本，老师指导学生概括总结本节的内容.预设的答案：（1）本节课主要学习圆的标准方程．（2）在初中曾经学习过圆的有关知识，本节内容是在初中所学知识及前一章内容的基础上，在平面直角坐标系中建立圆的代数方程，它与其他图形的位置关系及其应用．在这一过程中，进一步体会数形结合的思想，形成用代数的方法解决几何问题的能力．同时，由于圆也是特殊的圆锥曲线，因此，学习了圆的方程，就为后面学习其它圆锥曲线的方程奠定了基础.也就是说，本节内容在教材体系中起到承上启下的作用，具有重要的地位．坐标法不仅是研究几何问题的重要方法，而且是一种广泛应用于其他领域的重要数学方法．通过坐标系，把点和坐标、曲线和方程联系起来，实现了形和数的统一．设计意图：通过章引言内容的预习，让学生明晰下一阶段的学习目标，初步搭建学习内容的框架.2、 探索新知探究新知我们知道，平面内到一定点的距离等于定长的点的集合是圆，其中定点是圆心，定长是圆的半径，在平面直角坐标系中，每一条直线都可以用一个二元一次方程来表示，平面直角坐标系中的一个圆，是否也可以用方程来表示呢？这就是我们本节要研究的课题．（引出课题：圆的标准方程）问题2：如图所示，设平面直角坐标系中的☉上的圆心坐标是，而且半径是2，（1）判断点是否在圆☉上；（2） 设是平面坐标系中任意一点，那么在在☉上的主要条件是什么？此时是要满足什么关系式？师生活动：教师引导学生思考，尝试从以下引导出发，做出解答．引导1：如何判断一个已知坐标的点A是否在已知圆上；预设的答案：根据圆的定义可知，判断一个已知点在圆上的充要条件是这个点到圆心的距离等于半径，引导2：若点在已知圆上，点M应该满足什么条件？预设的答案：根据圆的定义，一个点在已知圆上，则点M应该满足，由两点间的距离公式可得，因此x，y应满足．引导3.由上述引导，设平面直角坐标系中的☉C上的圆心坐标是，而且半径是，你能否得到一般性的结论？预设的答案：根据圆的定义，一个点在已知圆上，则点M应该满足，由两点间的距离公式可得，因此x，y应满足．因此此方程可以表示以为圆心，为半径的圆，通常称此方程为圆的标准方程．设计意图：通过一步一步地引导，让学生自己分析得出圆的标准方程，进一步提升学生的逻辑推理素养．问题3：请同学们思考可以得到一个点实在圆内还是在圆上？师生活动：教师引导学生根据问题2的推导过程，得出一般性的结论，教师给出答案．预设的答案：如果⊙C的圆心为，半径为，则点在⊙C外的充要条件是点在⊙C内的充要条件是．设计意图：进一步通过推导得出结论，使得逻辑推理素养和数学运算素养得到提升．三、初步应用例1 根据下列条件，求圆的标准方程:(1)圆心在点，且过点;(2)过点和点，半径为．师生活动：学生根据所学的圆的标准方程的知识自行解答，由老师指定学生回答．预设的答案：(1)所求圆的半径，又因为圆心为(-2，1)，所以所求圆的方程为(2)设圆心坐标为(a，b)，则圆的方程为.因为(0，1)，(2，1)是圆上的点，所以，解得或因此，所求圆的方程为或设计意图：根据所学圆的标准方程，确定确定圆的圆心和半径，采用直接代入法或者待定系数法，引导学生总结用待定系数法求圆的标准方程的一般思路，增强学生的逻辑推理素养和数学运算素养．问题4：请学生总结用待定系数法求圆的标准方程的一般步骤？师生活动：学生根据例1的解答，尝试总结，教师给出结论．预设的答案：(1)根据题意，设所求的圆的标准方程为(2)根据已知条件，建立关于的方程组；(3)解此方程组，求出的值；(4)将所得的的值代回所设的圆的方程中，就得到所求的圆的标准方程．设计意图：建议教师让学生写出一些特殊位置的圆的标准方程，体会形与数的相互转化，例2：设⊙C的圆心在直线上，且，都是⊙C上的点，求圆的标准方程．师生活动：学生根据待定系数法或直接代入法自行解答，由老师指定学生回答．预设的答案：（方法一）设所求圆的方程为，由题意得，解得，因此圆的标准方程为．（方法二）设线段AB的垂直平分线为m，则C既在直线m上，又在直线上，所以C是直线m与的交点，因为直线AB的斜率为，所以m的斜率为1，又因为AB中点的横坐标和纵坐标分别为，所以直线m的方程为即，解方程组得x=3，y=2.因此，圆心C的坐标为(3，2)，又圆的半径为从而所求圆的方程是．设计意图：方法一采用待定系数法，思路清晰简单，方法二采用垂径定理，鼓励学生探究其他解法，渗透数形结合的思想，增强学生的逻辑推理素养．例3： 赵州桥位于我国河北省，是我国现存最早保存最好的巨大石拱桥，如图所示，赵州桥是一座空腹式的圆弧形石拱桥，利用解析结合的方法，用赵州桥的跨度a和圆拱高b表示出赵州桥圆弧所在圆的半径．师生活动：学生自行解答，由老师指定学生回答．预设的答案：作出示意图，如图所示，其中AB表示跨度，O为AB中点，OC为圆拱高，以O为原点，AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系，根据已知条件有．可以看出圆弧所在圆的圆心在y轴的负半轴上，因此可设圆心的坐标为半径为，则因为在圆上，所以由此可解得设计意图：本例题介绍了赵州桥的相关知识，其建筑原理、建筑价值充分体现了中国古代劳动人民的指挥和才干，有助于增强学生的民族自豪感．问题5：借助例3，你能否得出坐标法解决实际问题的步骤是什么？师生活动：小组讨论，学生自己先给出答案，教师总结．预设的答案：（1）审题:学会从题目中抽象出数学模型，明确已知和待求的数据；(2)建系:建立适当的平面直角坐标系，把已知和待求的数据坐标化；3)求解:利用直线、圆的方程、性质等相关知识解决问题；(4)作答:根据实际意义作答，把求解结果还原为对实际问题的解释．设计意图：通过总结实际应用题的解题步骤，让学生更加理解关于圆的应用题的解题思路．练习：河道上有一座圆拱桥，在正常水位时，圆拱最高点距水面9m，圆拱内水面宽22m.一条船在水面以上部分高6.5m，船顶部宽4m，故通行无阻近目水位暴涨了2.7m，所以必须加重船载，降低船身，才能通过桥洞，试问船身至少应该降低多少?(精确到0.01m，参考数据:)预设的答案：船身至少应该降低0.38m．设计意图：在熟悉的情境中，发现问题并转化成数学问题，用本小节的内容去解决问题，感受数学的价值与作用．四、归纳小结，布置作业问题6：圆的标准方程是什么？师生活动：学生尝试总结，老师适当补充.预设的答案：．因此此方程可以表示以为圆心，为半径的圆，通常称此方程为圆的标准方程．设计意图：通过梳理本节课的内容，能让学生理解圆的标准方程的有关知识．布置作业：教科书第100页练习A1，2，3题五、目标检测设计1圆心是O(－3，4)，半径长为5的圆的方程为(　　)A．(x－3)2＋(y＋4)2＝5B．(x－3)2＋(y＋4)2＝25C．(x＋3)2＋(y－4)2＝5D．(x＋3)2＋(y－4)2＝25设计意图：考查学生圆的标准方程的求解的应用．2已知点A(3，－2)、B(－5，4)，以线段AB为直径的圆的方程是(　　)A．(x－1)2＋(y＋1)2＝25B．(x＋1)2＋(y－1)2＝25C．(x－1)2＋(y＋1)2＝100D．(x＋1)2＋(y－1)2＝100设计意图：考查学生已知直径求圆的标准方程的方法．3．圆(x＋2)2＋y2＝5关于原点(0，0)对称的圆的方程为(　　)A．(x－2)2＋y2＝5 B．x2＋(y－3)2＝5C．(x＋2)2＋(y＋2)2＝5 D．x2＋(y＋2)2＝5设计意图：考查学生圆关于某点对称的标准方程的求解方法．参考答案：1．解析：选D．将O(－3，4)，r＝5代入圆的标准方程可得．2解析：选B．由题意得圆心的坐标为(－1，1)，半径r＝|AB|＝＝5，故选B．3解析：选A．圆心(－2，0)关于原点的对称点为(2，0)，故所求圆的方程为(x－2)2＋y2＝5．。