2008历年考研数学一真题及详解.docx

2008历年考研数学一真题及详解2008年全国硕士研究生入学一致考试数学(一)试卷一、选择题(1-8小题,每题4分,共32分,以下每题给出的四个选项中,只有一项吻合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.)(1)设函数f(x)x2ln(2t)dt则f(x)的零点个数0(A)0(B)1(C)2(D)3(2)函数f(x,y)arctanx在点(0,1)处的梯度等于y(A)i(B)-i(C)j(D)j(3)在以下微分方程中,以yC1exC2cos2xC3sin2x(C1,C2,C3为任意常数)为通解的是(A)yy4y4y0(B)yy4y4y0(C)yy4y4y0(D)yy4y4y0(4)设函数f(x)在(,)内单调有界,xn为数列,以下命题正确的选项是(A)若xn收敛,则f(xn)收敛(B)若xn单调,则f(xn)收敛(C)若f(xn)收敛,则xn收敛(D)若f(xn)单调,则xn收敛(5)设A为n阶非零矩阵,E为n阶单位矩阵.若A30,则(A)EA不行逆,EA不行逆(B)EA不行逆,EA可逆(C)EA可逆,EA可逆(D)EA可逆,EA不行逆(6)设A为3阶实对称矩阵,假如二次曲面方程x(x,y,z)Ay1在正交变换下的标准方程的图形如图,则zA 的正特色值个数为(A)0(B)1(C)2(D)3(7) 设随机变量X,Y独立同分布且X分布函数为Fx,则ZmaxX,Y分布函数为(A)F2x(B)FxFy(C)11F2(D)1Fx1Fyx(8)设随机变量X~N0,1,Y~N1,4且相关系数XY1,则(A)PY2X11(B)PY2X11(C)PY2X11(D)PY2X11二、填空题(9-14小题,每题4分,共24分,请将答案写在答题纸指定地点上.)(9)微分方程xyy0满足条件y11的解是y.(10)曲线sinxylnyxx在点0,1处的切线方程为.(11)已知幂级数anx2n在x0处收敛,在x4处发散,则幂级数anx3n的n0n0收敛域为.(12)设曲面是z4x2y2的上侧,则xydydzxdzdxx2dxdy.(13)设A为2阶矩阵,α1,α2为线性没关的2维列向量,Aα10,Aα22α1α2,则A的非零特色值为.(14)设随机变量X遵从参数为1的泊松分布,则PXEX2./1三、解答题(15－23小题,共94分.请将解答写在答题纸指定的地点上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)(15)(本题满分10分)(17)(本题满分10分)求极限limsinxsinsinxsinxx2y22z20,求曲线C距离XOY面最远的点和近来的点.x4.已知曲线C:y3z5x0x(16)(本题满分10分)计算曲线积分一段.sin2xdx2x21ydy,此中L是曲线ysinx上从点0,0到点,0的L(18)(本题满分10分)设fx是连续函数,(1)利用定义证明函数Fxx.ftdt可导,且Fxfx0(2)当fx是以2为周期的周期函数时,证明函数Gx2x2f(t)dtxf(t)dt也是以200为周期的周期函数.2(19)(本题满分10分)n1fx1x2(0x),用余弦级数睁开,并求1n1n2的和.(20)(本题满分11分)ATT,T为的转置,T为的转置.证明:βααββααβ(1)r(A)2.(2)若线性相关,则r(A)2.αβ,3(3)a为什么值,方程组有无量多解,求通解.(21)(本题满分11分)2a1设矩阵Aa22aO,现矩阵A满足方程AXB,其中OO1a22annXx1,L,xnT,B1,0,L,0,(1)求证An1an.(2) a为什么值,方程组有独一解,求x1.4(22)(本题满分11分)设随机变量X与Y互相独立,X的概率分布为PXi1i1,0,1,Y的概率密度3为fYy10y1,记ZXY,0其余(23)(本题满分11分)1X(1)求PZ0.设X1,X2,L,Xn是整体为N(,2)的简单随机样本.2(2)求Z的概率密度.1nS21n2,TX212记XXi,n(XiX)Sni11i1n(1)证明T是2的无偏预计量.(2)当0,1时,求DT.52009年全国硕士研究生入学一致考试数学(一)试卷一、选择题(1-8小题,每题4分,共32分,以下每题给出的四个选项中,只有一项吻合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.)(1)当x0时,fxxsinax与gxx2ln1bx等价无量小,则1(B)a1(A)a1,b1,b66(C)a1(D)a11,b1,b66(2)如图,正方形x,yx1,y1被其对角线划分为四个地域Dkk1,2,3,4,Ikycosxdxdy,则maxIk1k4Dk(A)I1(B)I2(C)I3(D)I4(3)设函数yfx在区间1,3上的图形为f(x)O-2023x1-1则函数Fxxftdt的图形为0f(x)f(x)11-2023x-2023x11(A)-1(B)-1f(x)f(x)11-103x-203x1212(C)(D)-1(4)设有两个数列an,bn,若liman0,则n(A)当bn收敛时,anbn收敛.(B)当bn发散时,anbn发散.n1n1n1n1(C)当。