一阶倒立摆控制系统设计.doc

精品文档，仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除课程设计说明书课程名称： 控制系统课程设计 设计题目：一阶倒立摆控制器设计 院 系： 信息与电气工程学院 班 级： 设 计 者： 学 号： 指导教师： 设计时间：2013年2月25日到2013年3月8号 【精品文档】第 页课程设计（论文）任务书专 业自动化班 级0902101学 生指导教师题 目一阶倒立摆课程设计子 题设计时间2013年 2 月 25 日 至 2013 年 3 月 8 日 共 2 周设计要求设计（论文）的任务和基本要求，包括设计任务、查阅文献、方案设计、说明书（计算、图纸、撰写内容及规范等）、工作量等内容1．建立一阶倒立摆数学模型2．做模型仿真试验（1）给出Matlab仿真程序2）给出仿真结果和响应曲线3．倒立摆系统的PID控制算法设计设计PID控制器，使得当在小车上施加1N的脉冲信号时，闭环系统的响应指标为：（1）稳定时间小于5秒（2）稳态时摆杆与垂直方向的夹角变化小于0.1 弧度并作PID控制算法的MATLAB仿真4．倒立摆系统的最优控制算法设计用状态空间法设计控制器，使得当在小车上施加0.2m的阶跃信号时，闭环系统的响应指标为：（1）摆杆角度和小车位移的稳定时间小于5秒（2）的上升时间小于1秒（3）的超调量小于20度（0.35弧度）（4）稳态误差小于2%。

指导教师签字： 系（教研室）主任签字：2013年 3月 5日目录一、 建立一阶倒立摆数学模型 41. 一阶倒立摆的微分方程模型 42. 一阶倒立摆的传递函数模型 63. 一阶倒立摆的状态空间模型 7二、 一阶倒立摆matlab仿真 9三、 倒立摆系统的PID控制算法设计 13四、倒立摆系统的最优控制算法设计 23五、 总结 28六、 参考文献 29一、 建立一阶倒立摆数学模型　　　首先建立一阶倒立摆的物理模型在忽略空气阻力和各种摩擦之后， 可将直线一级倒立摆系统抽象成小车和匀质杆组成的系统，如图1所示　　　系统内部各相关参数定义如下：　　　M 小车质量 　　　m 摆杆质量 　　　b 小车摩擦系数 　　　l 摆杆转动轴心到杆质心的长度 　　　I 摆杆惯量 　　　F 加在小车上的力 　　　x 小车位置　　　φ 摆杆与垂直向上方向的夹角 θ 摆杆与垂直向下方向的夹角（考虑到摆杆初始位置为竖直向下）1. 一阶倒立摆的微分方程模型对一阶倒立摆系统中的小车和摆杆进行受力分析，其中，N和 P为小车与摆杆相互作用力的水平和垂直方向的分量。

图 1-2 小车及摆杆受力图 分析小车水平方向所受的合力，可以得到以下方程： （1-1）由摆杆水平方向的受力进行分析可以得到下面等式： （1-2）即： （1-3）把这个等式代入式(1-1)中，就得到系统的第一个运动方程：（1-4）为了推出系统的第二个运动方程，我们对摆杆垂直方向上的合力进行分析，可以得到下面方程： （1-5）即： （1-6）力矩平衡方程如下： （1-7）由于所以等式前面有负号合并这两个方程，约去 P和 N，得到第二个运动方程： （1-8）设 ，（φ是摆杆与垂直向上方向之间的夹角），假设φ <<1弧度， 则可以进行近似处理：用u代表被控对象的输入力F，利用上述近似进行线性化得直线一阶倒立摆的微分方程为： （1-9）2. 一阶倒立摆的传递函数模型对式(1-9)进行拉普拉斯变换，得：（2-1）注意：推导传递函数时假设初始条件为 0由于输出为角度φ，求解方程组的第一个方程，可得：（2-2）或 （2-3）如果令，则有： （2-4） （2-5）把上式代入方程组（2-1）的第二个方程，得：整理后得到传递函数：（2-6）其中。

3. 一阶倒立摆的状态空间模型设系统状态空间方程为： （3-1）方程组（2-9）对解代数方程，得到解如下：（3-1）整理后得到系统状态空间方程：（3-2）（3-3）摆杆的惯量为，代入（1-9）的第一个方程为：得：化简得：（3-4）设 则有：（3-5）4.实际系统的传递函数与状态方程实际系统的模型参数如下:M 小车质量 0.5 Kg m 摆杆质量 0.2 Kg b 小车摩擦系数 0 .1N/m/sec l 摆杆转动轴心到杆质心的长度 0.3m I 摆杆惯量 0.006 kg*m*m代入上述参数可得系统的实际模型摆杆角度和小车位移的传递函数：（4-1） （4-2）摆杆角度和小车加速度之间的传递函数为： （4-3）摆杆角度和小车所受外界作用力的传递函数：以外界作用力作为输入的系统状态方程：（4-4）以小车加速度为输入的系统状态方程：（4-5） 二、 一阶倒立摆matlab仿真实际系统参数如下，按照上面给出的例子求系统的传递函数、状态空间方程，并进行脉冲响应和阶跃响应的matlab仿真。

小车质量 1.096Kg 摆杆质量 0.109Kg 小车摩擦系数 0.1 N/m/sec 摆杆转动轴心到杆质心的长度 0.25m 摆杆惯量 0.0034 kg*m*m 采样时间 0.005秒1. 传递函数法Matlab程序如下： M=1.096;m=0.109;b=0.1;I=0.0034;g=9.8;L=0.25;q=(M+m)*(I+m*L^2)-(m*L)^2;num=[m*L/q 0 0]den=[1 b*(I+m*L^2)/q -(M+m)*m*g*L/q -b*m*g*L/q 0];[r,p,k]=residue(num,den);s=p;得到传递函数的分子：num = 2.3566 0 0以及传递函数分母:den = 1.0000 0.0883 -27.8285 -2.3094 0开环极点：s = -5.2780 5.2727 -0.0830 0由此可知，系统传递函数的多项式表达式为： （2-1）系统的开环极点为（s):、、、，由于有一个开环极点位于平面的右半部，开环系统并不是稳定的。

系统的脉冲响应如下，由图也可见，系统并不稳定图2.1 开环系统脉冲响应2. 状态空间法状态空间法可以进行单输入多输出系统设计，因此在这个实验中，我们将尝试同时对摆杆角度和小车位置进行控制为了更具挑战性，给小车加一个阶跃输入信号 我们用 Matlab 求出系统的状态空间方程各矩阵，并仿真系统的开环阶跃响应在这里给出一个state.m文件，执行这个文件，Matlab将会给出系统状态空间方程的A，B，C和D矩阵，并绘出在给定输入为一个0.2 N的阶跃信号时系统的响应曲线state.m程序如下： p=I*(M+m)+M*m*L^2;>> A = [0 1 0 0; 0 -(I+m*L^2)*b/p (m^2*g*L^2)/p 0;0 0 0 1;0 -(m*L*b)/p m*g*L*(M+m)/p 0]A = 0 1.0000 0 0 0 -0.0883 0.6293 0 0 0 0 1.0000 0 -0.2357 27.8285 0>> B=[0; (I+m*L^2)/p; 0; m*L/p]B = 0 0.8832 0 2.3566>> C=[1 0 0 0; 0 0 1 0]D=[0; 0]C = 1 0 0 0 0 0 1 0D = 0 0matlab仿真的开环阶跃响应曲线如下图所示，系统并不稳定。

图2.2 系统开环阶跃响应曲线三、 倒立摆系统的PID控制算法设计1. 实验要求与目的l 要求：设计PID控制器，使得当在小车上施加1N的脉冲信号时，闭环系统的响应指标为：（1）稳定时间小于5秒（2）稳态时摆杆与垂直方向的夹角变化小于0.1 弧度并作PID控制算法的MATLAB仿真l 目的：进一步熟悉PID控制器的设计方法，步骤，以及P、I、D三参数的调节方法2. 理论分析l PID控制原理在模拟控制系统中，控制器最常用的控制规律是PID控制常规PID控制系统原理框图如下图所示系统由模拟PID控制器KD(S)和被控对象G(S)组成PID控制器是一种线性控制器，它根据给定值与实际输出值构成控制偏差 将偏差的比例(P)、积分(I)和微分(D)通过线性组合构成控制量，对被控对象进行控制，故称PID控制器其控制规律为或写成传递函数的形式式中：——比例系数；——积分时间常数；——微分时间常数在控制系统设计和仿真中，也将传递函数写成式中：——比例系数；——积分系数；——微分系数简单说来，PID控制器各校正环节的作用如下：（1）比例环节：成比例地反映控制系统的偏差信号，偏差一旦产生，控制器立即产生控制作用，以减少偏差。

2）积分环节：主要用于消除稳态误差，提高系统的型别积分作用的强弱取决于积分时间常数，越大，积分作用越弱，反之则越强3）微分环节：反映偏差信号的变化趋势（变化速率），并能在偏差信号值变得太大之前，在系统中引入一个有效的早期修正信号，从而加快系统的动作速度，减小调节时间l 摆杆角度控制这个控制问题和我们以前遇到的标准控制问题有些不同，在这里输出量为摆杆的位置，它的初始位置为垂直向上，我们给系统施加一个扰动，观察摆。