人教新课标版（2013教材）初中八上第15章分式知识梳理.doc

人教新课标版（2013教材）初中八上第15章分式知识梳理本章知识结构图一、分式的概念当两个整数不能整除时，出现了分数；类似的当两个整式不能整除时，就出现了分式．一般地，如果，表示两个整式，并且中含有字母，那么式子叫做分式．整式与分式统称为有理式．在理解分式的概念时，注意以下三点：⑴分式的分母中必然含有字母；⑵分式的分母的值不为0；⑶分式必然是写成两式相除的形式，中间以分数线隔开．二、与分式相关的几个“条件”1、分式有意义的条件：两个整式相除，除数不能为0，故分式有意义的条件是分母不为0，当分母为0时，分式无意义．如：分式，当时，分式有意义； 2、分式无意义的条件：与分式有意义的条件相反，当分母为0时，分式无意义．如：分式，当时，分式无意义．3、分式的值为零：分式的值为零时，必须满足分式的分子为零，且分式的分母不能为零，注意是“同时”．4、分式值为正的条件：当分式的分子、分母同号时，分式值为正．如：分式，当或时，；5、分式值为负的条件：当分式的分子、分母异号时，分式值为负．如：分式，当或时，；注意：在解决分式值为“正”或“负”的问题时，注意分类讨论．三、分式的基本性质：分式的基本性质：分式的分子与分母同时乘(或除以)一个不等于0的整式，分式的值不变．上述性质用公式可表示为：，()．注意：①在运用分式的基本性质时，基于的前提是；②强调“同时”，分子分母都要乘以或者除以同一个“非零”的数字或者整式；③分式的基本性质是约分和通分的理论依据．四、分式的基本运算1、比例的性质⑴ 比例的基本性质：，比例的两外项之积等于两内项之积.⑵ 更比性（交换比例的内项或外项）：⑶ 反比性（把比例的前项、后项交换）：⑷ 合比性：，推广：（为任意实数）⑸ 等比性：如果，那么（）2、基本运算确定最简公分母的方法：①最简公分母的系数，取各分母系数的最小公倍数；②最简公分母的字母因式取各分母所有字母的最高次幂.确定最大公因式的方法：①最大公因式的系数取分子、分母系数的最大公约数；②取分子、分母相同的字母因式的最低次幂.分式的乘法：分式的除法：乘方：(为正整数)整数指数幂运算性质：⑴(、为整数)⑵(、为整数)⑶(为整数)⑷(，、为整数)负整指数幂：一般地，当是正整数时，()，即()是的倒数零指数幂：分式的加减法法则：同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减，异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式再加减，分式的混合运算的运算顺序：先算乘方，再算乘除，后算加减，如有括号，括号内先算．结果以最简形式存在.五、分式的化简求值1、化简后直接代入求值如：已知，其中2、条件等式化简求值（1）直接换元求值如：已知：（），求的值．（2）设参辅助求值如：已知，则___________．（3）整体置换如：已知，求的值．（4）其它条件等式化简求值如：已知，求下面代数式的值：六、分式的运算技巧1、分式的换元化简如：化简：提示：设，则．2、利用乘法公式或者因式分解法化简如：计算：3、分式的递进通分如：计算： (为自然数)4、分式的裂项如：若，且，求的值．提示：利用进行裂项，化繁为简.5、分式配对如：已知：，求的值.七、分式方程（1）定义：分母中含有未知数的方程叫做分式方程．（2）常规解法：通过去分母（方程两边都乘以最简公分母），将分式方程转化为整式方程；解整式方程；验根．（3）特殊解法：换元法、拆项法等．（4）增根问题：①增根的产生：分式方程本身隐含着分母不为0的条件，当把分式方程转化为整式方程后，方程中未知数允许取值的范围扩大了，如果转化后的整式方程的根恰好使原方程中分母的值为0，那么就会出现不适合原方程的根——增根；②验根：因为解分式方程可能出现增根，所以解分式方程必须验根．（5）增根的性质：①增根可以使分式方程的最简公分母值为0；②增根不是原分式方程的根，但增根是分式方程转化所得整式方程的根.提示：利用好增根的性质，可以解决有关“当参数取何值时，分式方程会产生增根”的问题.八、分式方程与应用题列分式方程解应用题时，应抓住“找等量关系、恰当设未知数、确定主要等量关系、用含未知数的分式或整式表示未知量”等关键环节，从而正确列出方程，并进行求解．另外，还要注意从多角度思考、分析和解决问题，注意检验、解释结果的合理性．。