2021届重庆市高三上学期第一次预测性考试数学试题（解析版）.doc

2021届重庆市高三上学期第一次预测性考试数学试题一、单选题1．设集合，集合，则（ ）A． B．C． D．【答案】A【解析】化简集合，根据补集定义，即可求得答案.【详解】故：又故选：A【点睛】本题主要考查了集合的补集运算，解题关键是掌握补集定义，考查了分析能力和计算能力，属于基础题.2．若复数满足，则下列说法正确的是（ ）A．的虚部为 B．为实数C． D．【答案】C【解析】利用复数的除法运算，可得，即可判断各选项的正误；【详解】由，知：；∴的虚部为1，，；故选：C【点睛】本题考查了复数的运算，利用复数的概念判断选项的正误，属于简单题；3．2020年4月20日重庆市高三年级迎来了疫情后的开学工作，某校当天为做好疫情防护工作，安排甲、乙、丙、丁四名老师在校门口的三个点为到校学生进行检测及其它相关的服务工作，要求每个点至少安排一位老师，且每位老师恰好选择其中一个点，记不同的安排方法数为，则满足不等式的最小正整数的值为（ ）A．36 B．42 C．48 D．54【答案】A【解析】根据分步原理即可知不同的安排方法数，再由解不等式即可求出的范围，进而得到最小正整数；【详解】由题意知：其中有一个点有两名老师；∴安排步骤：1、任选两位老师分配到一个点，另两位老师分别到另两个点，即分成三组，2、将三组任意安排到三个点；∴安排方法：，而知：且，解得：；故选：A【点睛】本题考查了分步计数原理以及求一元二次不等式的解集，由分步原理求出不同的安排方法数，结合已知不等式求参数范围，进而求值；4．《九章算术（卷第五）商功》中有如下问题：“今有冥谷上广二丈，袤七丈，下广八尺，袤四丈，深六丈五尺，问积几何”.译文为：“今有上下底面皆为长方形的墓坑，上底宽2丈，长7丈；下底宽8尺，长4丈，深6丈5尺，问它的容积量是多少？”则该几何体的容积为（ ）（注：1丈尺.）A．45000立方尺 B．52000立方尺 C．63000立方尺 D．72000立方尺【答案】B【解析】对几何体进行分割得到，再利用体积公式计算，即可得到答案.【详解】进行分割如图所示，面面，，，，，连结，面面，故立方尺.故选：B.【点睛】本题考查利用割补法求多面体的体积，考查转化与化归思想，考查空间想象能力、运算求解能力.5．2020年初，新型冠状肺炎在欧洲爆发后，我国第一时间内向相关国家捐助医疗物资，并派出由医疗专家组成的医疗小组奔赴相关国家．现有四个医疗小组甲、乙、丙、丁，和有4个需要援助的国家可供选择，每个医疗小组只去一个国家，设事件A＝“4个医疗小组去的国家各不相同”，事件B＝“小组甲独自去一个国家”，则P（A|B）＝（ ）A． B． C． D．【答案】A【解析】先求出“4个医疗小组去的国家各不相同”且“小组甲独自去一个国家”的概率，再求“小组甲独自去一个国家”的概率，代入条件概率公式计算即可．【详解】事件A＝“4个医疗小组去的国家各不相同”，事件B＝“小组甲独自去一个国家”，则P（AB），P（B），P（A|B），故选：A．【点睛】本题考查了条件概率的计算，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算能力，属于中档题6．习近平总书记亲自谋划和推动全民健身事业，把全民健身作为全面建成小康社会的重要组成部分，人民的获得感、幸福感、安全感都离不开健康.为响应习总书记的号召，某村准备将一块边长为的正三角形空地（记为）规划为公园，并用一条垂直于边的小路（宽度不计）把空地分为两部分，一部分以绿化为主，一部分以休闲健身为主.如图，轴，小路记为直线，小路右侧为健身休闲区，其面积记为，则函数的图像大致为（ ）A． B． C． D．【答案】C【解析】利用已知写出的坐标，可得直线和的方程，分和两种情况，写出面积表达式，结合选项得出答案．【详解】由图可知，，则直线当时，当时，故选：C【点睛】本题考查函数的图象，考查函数的表示方法，考查函数与方程思想，属于中档题．7．已知是圆：的直径，为直线上任意点.则的最小值为（ ）A． B． C．4 D．8【答案】C【解析】根据是圆的直径，为直线上任意点，即可设、、，进而用坐标表示、，利用数量积的坐标表示得到相关函数即可求最小值；【详解】是圆：的直径，若则；为直线上任意点：令且；∴，；即有，而；∴，故的最小值为4；故选：C【点睛】本题考查了利用圆、直线的性质设动点坐标，再用坐标表示向量，然后利用向量数量积的坐标表示得到二次函数求最值；8．若函数，，若有两个零点，则的取值范围为（ ）A． B． C． D．【答案】A【解析】由于有两个零点，可得，令，，利用导数研究其单调性，即可求出的范围，又由时，，时，，进而求解.【详解】由题意，函数，可得，当时，，函数在上单调递减，此时函数最多有一个零点，不满足题意，舍去；当，令，即，可得，解得，所以当时，，函数在上单调递减；当时，，函数在上单调递增，所以当时，函数取得极小值，因为有两个零点，所以，令，，则，所以函数在上单调递增，所以，又由时，，时，，所以满足函数有两个零点，所以实数的取值范围是.故选：A.【点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性、极值与最值，以及函数与方程的综合应用，着重考查了分类讨论，以及推理与运算能力.二、多选题9．已知分别是双曲线的左右焦点，点是双曲线上异于双曲线顶点的一点，且向量，则下列结论正确的是（ ）A．双曲线的渐近线方程为 B．以为直径的圆的方程为C．到双曲线的一条渐近线的距离为1 D．的面积为1【答案】ACD【解析】求出双曲线C渐近线方程，焦点，的面积即可判断.【详解】A.代入双曲线渐近线方程得,正确.B.由题意得，则以为直径的圆的方程不是，错误.C.，渐近线方程为，距离为1，正确.D. 由题意得,设，根据，解得，，则的面积为1.正确.故选：ACD.【点睛】考查双曲线的渐近线方程，焦点，以及双曲线上的几何性质.题目涉及知识点较为广泛.10．已知函数，给出下列四个结论，其中正确的结论是（ ）.A．函数的最小正周期是B．函数在区间上是减函数C．函数的图象关于直线对称:D．函数的图象可由函数的图象向左平移个单位得到【答案】BC【解析】先将化简为，再逐个选项判断即可．【详解】A选项，因为，则的最小正周期，结论错误；B选项，当时，，则在区间上是减函数，结论正确；C选项，因为为的最大值，则的图象关于直线对称，结论正确；D选项，设，则，结论错误．故选：BC．【点睛】本题考查三角函数的恒等变换及三角函数的性质，属于中档题.11．设正项等差数列满足，则（ ）A．的最大值为 B．的最大值为C．的最大值为 D．的最小值为【答案】ABD【解析】根据等差数列的性质，求得的关系式，由此结合基本不等式，判断出正确选项.【详解】因为正项等差数列满足，所以，即.①，当且仅当时成立，故A选项正确.②由于，所以，当且仅当时成立，故B选项正确.③，当且仅当时成立，所以的最小值为，故C选项错误.④结合①的结论，有，当且仅当时成立，故D选项正确.故选：ABD【点睛】本小题主要考查等差数列的性质，考查基本不等式求最值，属于中档题.12．下列命题中，正确的命题的是（ ）A．已知随机变量服从二项分布，若，，则；B．将一组数据中的每个数据都加上同一个常数后，方差恒不变；C．设随机变量服从正态分布，若，则；D．某人在10次射击中，击中目标的次数为，，则当时概率最大．【答案】BCD【解析】对于选项A：利用二项分布的期望和方程公式列出关于的方程，解方程即可判断；对于选项B：根据方差的计算公式可知，方差恒不变；对于选项C：利用正态分布图象的对称性即可判断；对于选项D：由独立重复实验的概率计算公式和组合数公式,求出时的概率，通过解不等式求出的范围即可判断.【详解】对于选项A：随机变量服从二项分布，，，可得，，则，故选项A错误；对于选项B：根据公式易知，将一组数据中的每个数据都加上同一个常数后，方差恒不变，一般地，，，故选项B正确；对于选项C：随机变量服从正态分布，则图象关于轴对称，若，则，即，故选项C正确；对于选项D：因为在10次射击中，击中目标的次数为，，当时，对应的概率，所以当时，，由得，，即，因为，所以且，即时，概率最大，故选项D正确．故选：BCD【点睛】本题考查二项分布的期望和方差公式、正态分布的图象的对称性的应用和独立重复实验的概率计算公式；考查分析问题和解决问题的能力；熟练掌握统计的相关知识是求解本题的关键；属于中档题.三、填空题13．直线与圆交于两点，为圆心，若，则_____.【答案】【解析】先由求出，结合余弦定理可得.【详解】由，所以，所以，由余弦定理得，，所以.故答案为：.【点睛】本题主要考查直线和圆的位置关系，向量数量积的转化及余弦定理的使用是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养.14．在中，角A，B，C的对边a，b，c成等差数列，且，则 .【答案】【解析】试题分析：因为成等差数列，所以，又，，所以，由正弦定理可得，，所以，解得，所以．【考点】等差数列的性质及三角恒等变换．15．如图，在三棱锥A﹣BCD中，点E在BD上，EA＝EB＝EC＝ED，BDCD，△ACD为正三角形，点M，N分别在AE，CD上运动（不含端点），且AM＝CN，则当四面体C﹣EMN的体积取得最大值时，三棱锥A﹣BCD的外接球的表面积为_____.【答案】32π【解析】设ED＝a，根据勾股定理的逆定理可以通过计算可以证明出CE⊥ED. AM＝x，根据三棱锥的体积公式，运用基本不等式，可以求出AM的长度，最后根据球的表面积公式进行求解即可.【详解】设ED＝a，则CDa.可得CE2+DE2＝CD2，∴CE⊥ED.当平面ABD⊥平面BCD时，当四面体C﹣EMN的体积才有可能取得最大值，设AM＝x.则四面体C﹣EMN的体积（a﹣x）axax（a﹣x），当且仅当x时取等号.解得a＝2.此时三棱锥A﹣BCD的外接球的表面积＝4πa2＝32π.故答案为：32π【点睛】本题考查了基本不等式的应用，考查了球的表面积公式，考查了数学运算能力和空间想象能力.四、双空题16．斜线与平面成15角，斜足为，为在内的射影，为的中点，是内过点的动直线，若上存在点，使，则则的最大值是_______，此时二面角平面角的正弦值是_______【答案】2 【解析】(1)作图，不妨设，由已知可得点，在以为弦长的圆上，其中为圆心，当直线过圆心时，最大，此时，，然后即可求解(2)作图，利用(1)的条件，由于，斜线与平面成15角，可求出，过点作，是二面角的平面角，然后利用即可求解.【详解】，点，在以为弦长的圆上，其中为圆心，则，如图：不妨设，当直线过圆心时，最大，此时，，的最大值为2，而此时，为等腰三角形，，此时，过点作，，平面，是二面角的平面角，斜线与平面成15角，即在中，， ，如图：，，在中，，可求得，在中，.故答案为：2；.【点睛】本题考查线面角和面面角的运用，。