2021年高考理数真题试卷(全国Ⅲ卷)带答案解析.pdf

2021 年高考理数真题试卷（全国卷）一、选择题：1.已知集合?= ?|? -1 0, ?= 0,1,2，则?=（）A. 0 B. 1 C. 1,2 D. 0,1,22.(1 + ?)(2- ?)=（）A. -3-i B. -3+i C. 3-i D. 3+i 3.中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来，构建的突出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头，若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是（）A. B. C. D. 4.若 sin?=13，则cos2? =（）A. 89B. 79C. - 79D. - 895.(?2+2?)5的展开式中x4的系数为（）A. 10 B. 20 C. 40 D. 80 6.直线 ? + ? + 2 = 0 分别与?轴，?轴交于点?, ? 两点，点?在圆(?-2)2+ ?2= 2 上，则?面积的取值范围是( ) A. 2,6B. 4,8C. 2,3 2D. 2 2, 3 27.函数 ?= -?4+ ?2+ 2 的图像大致为( ) 2 A. B. C. D. 8.某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为?，各成员的支付方式相互独立，设?为该群体的10位成员中使用移动支付的人数，? = 2.4 ， ?(? = 4) 0?，? ? 0 ）的左，右焦点，? 是坐标原点。

过?2作C 的一条渐近线的垂线，垂足为P若|?1| = 6|?|，则? 的离心率为（）A. 5B. 2 C. 3D. 212.设 ?= log0.20.3 ， ?= log20.3 ，则（）A. ? + ? ? 0B. ? ?+ ? 0C. ? + ? 0 ?D. ? 0 0)4 （1）证明 : ? -12（2）设? 为 ? 的右焦点，?为 ?上一点，且? ? ? ? ?+ ? ? ? ? ?+ ? ? ? ?= 0 ，证明 : |? ? ? ? ?|, |? ? ? ? ?|,|? ? ? ?| 成等差数列，并求该数列的公差21.已知函数?(?) = (2 + ? + ?2)ln(1+ ?)- 2?（1）若?= 0 ，证明：当-1 ? 0 时，?(?) 0 时，?(?) 0 ；（2）若?= 0 是 ?(?)的极大值点，求a四、选考题 选修 4-4：坐标系与参数方程 22.在平面直角坐标系?中， ? 的参数方程为?= cos?= sin?( ?为参数 )，过点(0, - 2) 且倾斜角为 ? 的直线?与 ? 交于?,? 两点（1）求?的取值范围（2）求? 中点? 的轨迹的参数方程五、选考题 选修 4-5：不等式选讲 23.设函数?(?) = |2?+ 1| + |?-1|（1）画出?= ?(?)的图像（2）当?0, +) 时，?(?) ? + ?，求? + ?的最小值。

5 答案解析部分一、选择题：1.【答案】C 【考点】 交集及其运算【解析】 【解答】解 : ?= ?|? 1 B= 0，1，2所以? ?= 1,2故答案为： C 【分析】先解出集合A,再取交集 . 2.【答案】D 【考点】 复数代数形式的乘除运算【解析】 【解答】 (1+i)（2-i）=2-i2+i=3+i 故答案为： D 【分析】将等式化简即可. 3.【答案】A 【考点】 简单空间图形的三视图【解析】 【解答】由三视图定义可知选A 【分析】从上往下看，小长方体位于大长方体内，故为虚线. 4.【答案】B 【考点】 二倍角的余弦公式【解析】 【解答】cos2?= 1 - 2sin2?= 1 -29=79故答案为： B 【分析】由余弦倍角公式，转化为一倍角正弦. 5.【答案】C 【考点】 二项式定理【解析】 【解答】(?2+2?)5通式 ?+1= ?5?(?2)5-?2?-?= ?5?10-3?2?令 10-3r=4 ?r=2 所以 ?4的系数是?52?22=40故答案为： C 【分析】先由二项式定理的通式求出x 的指数，用r 表示，再令其指数为4 即可解出r. 6.【答案】A 【考点】 点到直线的距离公式，解三角形【解析】 【解答】令x=0 所以 B（ 0，-2），令 y=0，则 A（-2,0），所以|?| = 2 2又因为 P到直线距离?=4 2= 2 2所以 2 ?3 2则 ?2,6故答案为： A 6 【分析】由点到直线距离求出高，两点间距离公式求边. 7.【答案】D 【考点】 函数的单调性及单调区间，函数奇偶性的判断，导数的几何意义【解析】 【解答】?= -?4+ ?2+ 2 ? ?= -4?3+ 2?= -2?( 2?+ 1)( 2?- 1)因为 y 是偶函数，则只需考虑? 0当 ? 0 时，2?(2?+ 1) 0则 ? 22? 0,0 ? 0故答案为： D 【分析】先由函数奇偶性判断出只需考虑? 0 情形，再由导数可知，函数先增后减. 8.【答案】B 【考点】 一元二次不等式，极差、方差与标准差，二项式定理，二项式定理的应用【解析】 【解答】由题意可知x 服从二项分布?(10,?)则 ?(?)= 10?(1- ?)= 2.4 ? ?=25或?=35又 ?(? = 4) = ?104?4?(1 -?)612所以? =35=0.6 故答案为： B 【分析】由题可知x 服从二项分布，由二项分布方差求出P，再由?(? = 4) 0,b = log20.3 0 则 a+b0 故答案为： B 【分析】由对数定义，对数运算法则，判断出ab,a+b 的正负二、填空题13.【答案】12【考点】 向量的共线定理，平面向量的坐标运算【解析】 【解答】解：因为2?+ ? ?= 2(1,2) + (2, -2)= (4,2)又 ?= (1, ?)且?(2? ?+ ? ?)所以4?=2 ? ?=12则?=12【分析】由向量坐标运算得到2?+ ? ?坐标，再由共线可求出.14.【答案】-3 【考点】 导数的几何意义，利用导数求闭区间上函数的最值【解析】 【解答】解：?= (? + 1)? ?= ?+ (? + 1)?= (? + 1 + ?)?所以?|?= 0 = 1 + ?= -2? ?= -3【分析】先求导，再求出x=0处导数值，即可得到答案15.【答案】3 【考点】 余弦函数的图象8 【解析】 【解答】?(?) = cos(3?+?6)，因为0 ?63?+?63?+?6则 3?+?6=?2,3?2,5?2? ?=?9,4?9,7?9共三个零点，填3 【分析】先求出3?+?6整体范围，再在该范围内余弦值为零的零点共三个. 16.【答案】2 【考点】 平面向量的基本定理及其意义，抛物线的应用【解析】 【解答】设?:?= ?(? - 1)?2= 4? ?2?2- (2?2+ 4)?+ ?2= 0设 ?(?1,?1), ?(?2,?2) 所以?1+ ?2=2?2+4?2,?1?2= 1又? = 90所以?= 0 ? (?1+ 1, ?1- 1) ?(?2+ 1,?2- 1) = 0? (?1+ 1)(?2+ 1) + (?1- 1)(?2- 1) = 0 ? ?= 2【分析】直线与抛物线联立方程组，再将垂直用向量转化为坐标之间的关系，代入韦达定理即可. 三、解答题17.【答案】（1）解：因为?1= 1 ，a5=4a3q4=4q2 q= 2 ?= 2?-1或 ?= (-2)?-1（2）解：?= 1 ?2?-12-1= 2?- 1又 ?= 63 ? 2?- 1 = 63 ? 2?= 64 ? ?= 6【考点】 等比数列，等比数列的前n 项和【解析】 【分析】由等比数列定义求出q，再由等比数列求和公式得到?再解出 m. 18.【答案】（1）解：第二种生产方式效率更高，因为第二组多数数据集中在70min80min 之间，第一组多数数据集中在80min90min ，所以第一组完成任务的平均时间大于第二组，?1=t120?=120= 84 ，?2=t120?=120= 74.4 E1?1?则第二种生产方式的效率更高。

2）解：由题意?=79+812= 80超过 m 不超过 m 第一种生产方式15 5 第二种生产方式5 15 9 （3）解：?2=40?(152-52)220?20?20?20= 10 6.635有 99%的把握认为两种生产方式的效率有差异【考点】 众数、中位数、平均数，独立性检验【解析】 【分析】第一问是算平均数，第二三问是列出连表，算独立性检验. 19.【答案】（1）解：因为? ?，平面 ABCD半圆 CD，所以 BC面半圆 CD 又 DM ?半圆弧 CD，所以 BCDM，又 DC是直径，所以DMMC 又 ? ? = ? 即 ?面? 又 DMC ?面 AMD 所以平面 ? 平面?（2）解： ABC的面积为定值，要使三棱锥M-ABC 体积最大，则三棱锥的高最大, 此时 M 为圆弧的中点，建立以 0 为坐标原点 ,如图所示的空间直角坐标系如图正方形 ABCD的边长为2，A (2,-1, 0)，B(2,1,0)，M(0,0,1) , 则平面 MCD 的法向量?= ( 1 , 0, 0) , 设平面 MAB 的法向量为?= (x ,y,z) 则?= (0, 2,0) ,?= (-2,1, 1)，由?.?=2y=0 , ?.?=-2x+y+z=0 , 令 x=1 则 y=0， z=2 ,即?= (1 ,0,2)，则 cos=?|?|?|=11 1+4=1 510 则面 MAB 与面 MCD 所成二面角的正弦值sin = 1 -(1 5)2=255【考点】 平面与平面垂直的判定，与二面角有关的立体几何综合题【解析】 【分析】由线面垂直，得到面面垂直，第二问由二面角定义，做出二面角即可20.【答案】（1）解：设?:?= ?（? - 1）+ ?3?2+ 4?2= 12? 3?2+ 4(? + ?- ?)2= 12? (3 + 4?2)?2+ 8?(?- ?)? + 4(? - ?)2-12 = 0设 A（x1,y1）B（x2,y2）所以= 8?(?-?)2-4(3 + 4?2)4(? - ?)2- 12 0? ?2- 3?2- 2? -3 0又 ?1+ ?2= 2 ?8?(?-?)3+4?2= 2 ? ? =-34代入所以942?2-3?2+32- 3 0? ?214? 0所以? 0)即 ?(1,-32) ? 2|? ? ? ? ?| = 3|? ? ? ? ?|? ? ? ?|? ? ? ? ?|又|? ? ? ? ?| = (?1- 1)2+ ?2=(?1-1)2+12-3?124= 2 -?12同理|? ? ? ?| = 2 -?22所以|? ? ? ? ?| + |? ? ? ?| = 4 -?1+?22= 3所以2|? ? ? ? ?| = |? ? ? ? ?| + |? ? ? ?|所以|? ? ? ? ?|,|? ? ? ? ?|, |? ? ? ?| 为等差数列2d= |? ? ? ? ?| - |? ? ? ?|= |?-?1- ? +?1| = ?|?1- ?2|= 12 (?1+ ?2)2-4?1?2= 124 -17=3 2114d= 3 2128【考点】 等差数列的性质，椭圆的标准方程，椭圆的应用11 【解析】 【分析】（ 1）联立方程解，利用M 在椭圆内部得到m 范围，再由k， m 关系，得到k 范围 ; （2）由向量运算，将P坐标用 m 表示，在椭圆上求出m，再由两点间距离公式，得到|FA| 、|FB| 用韦达定理表示，得到d. 21.【答案】（1）证明：当a=0 时 ?(?) = (2 + ?)?ln(1 + ?)- 2? ?(?)=11 + ?-1(1 + ?)2=?(1 + ?)2= ln(1 + ?)+-?1 + ?设函数 g（ x）=f（ x）= ln(1 + ?)+-?1+?则 g（ x）=?(1+?)2当-1x0 时， g(x)0 时， g(x)0.故当 x-1 时， g(x) g(0)=0且仅当 x=0 时， g（x） =0 从而 f（ x）0 ，当且仅当x=0 时， f（x）。