中职数学 第1章三角公式及应用.pptx

第第1章章 三角公式及三角公式及应用用本章内容本章内容本章内容本章内容 1.1 两角和与差的三角函数公式两角和与差的三角函数公式 1.2 正弦型函数正弦型函数1.3 正弦定理与余弦定理正弦定理与余弦定理 两角和与两角和与差的正弦差的正弦公式公式1.1 1.1 两角和与差的三角函数公式两角和与差的三角函数公式两角和与差的三角函数公式两角和与差的三角函数公式两角和与两角和与差的余弦差的余弦公式公式1.1.1两角和与两角和与差的正切差的正切公式公式1.1.21.1.3二倍角公二倍角公式式1.1.41.1.1 1.1.1 两角和与差的余弦公式两角和与差的余弦公式两角和与差的余弦公式两角和与差的余弦公式 如图1-1所示，在直角坐标系中，以Ox为始边，分别作角，角 的终边与单位圆相交于点A，角 的终边与单位圆相交于点B，则点A的坐标为 ，点B的坐标为 ，于是向量 ，向量 ，且 ，图1-1因为所以式（1-1）此公式给出了任意角，的正弦、余弦与角 的余弦之间的关系，因此，公式（1-1）称为两角差的余弦公式，简记作 又因为故式（1-2）此公式给出了任意角，的正弦、余弦与角 的余弦之间的关系，因此，公式（1-2）称为两角和的余弦公式，简记作 。

和 统称为两角和与差的余弦公式，简记作 例例题题解析解析例1 不查表，求 ，的值解解（1）（2）例2 已知 ，求 的值解解 因为 ，所以又因为 ，所以 故1.1.2 1.1.2 两角和与差的正弦公式两角和与差的正弦公式两角和与差的正弦公式两角和与差的正弦公式 ，可以实现正弦和余弦之间的转化，因此即式（1-3）此公式给出了任意角，的正弦、余弦与角 的正弦之间的关系，因此，公式（1-3）称为两角和的正弦公式，简记作 将公式 中的 用 代替，可得式（1-4）此公式给出了任意角，的正弦、余弦与角 的正弦之间的关系，因此，公式（1-4）称为两角差的正弦公式，简记作 和 统称为两角和与差的余弦公式，简记作 例例题题解析解析例3 不查表，求 ，的值解解（1）（2）例4 已知 ，求 的值解解 因为 ，所以故1.1.3 1.1.3 两角和与差的正切公式两角和与差的正切公式两角和与差的正切公式两角和与差的正切公式由前面学习的公式可以推导出两角和与差的正切公式：当 时，分子分母同时除以 ，得式（1-5）此公式给出了任意角，的正切与角 的正切之间的关系，因此，公式（1-5）称为两角和的正切公式，简记作 将公式 中的 用代替，可得式（1-6）此公式给出了任意角，的正切与角 的正切之间的关系，因此，公式（1-5）称为两角差的正切公式，简记作 。

和 统称为两角和与差的正切公式，简记作 需要注意的是，如果两角和与差的正切公式成立，那么对任意角，有如下要求：例例例例题题题题解析解析解析解析例5 求 ，的值解解（1）（2）例6 求 的值解解 1.1.4 1.1.4 二倍角公式二倍角公式二倍角公式二倍角公式令 ，即可得到式（1-7）式（1-8）式（1-9）因为 ，所以公式（1-8）还可以变形为式（1-10）（1-7）至（1-10）统称为二倍角的三角函数公式，简称为二倍角公式例例题题解析解析例7 已知 ，求 ，的值解解 因为 ，所以故例8 已知 ，求 的值解解 因为 ，所以又因为 ，所以故例9 计算：解解 1.2 1.2 正弦型函数正弦型函数正弦型函数正弦型函数1.2.11.2.2正弦型正弦型曲线曲线正弦型函正弦型函数的概念数的概念与性质与性质1.2.1 1.2.1 正弦型函数的概念与性正弦型函数的概念与性正弦型函数的概念与性正弦型函数的概念与性质质在物理和工程技术的许多问题中，经常会遇到形如的函数，这类函数被称为正弦型函数例如，在简谐运动中，位移与时间的函数关系就是形如 的函数这个函数与正弦函数 有着密切的关系在正弦型函数 中，令 ，则 因函数 是正弦函数，其定义域为R，最小正周期为2，故函数 的定义域为R，且 这说明函数 也是周期函数，其周期 。

由于函数 的最大值为1，最小值为1，故 的最大值为A，最小值为A，即正弦型函数 ，的最大值为A，最小值为A综上所述 正弦型函数 的定义域为R，最小正周期为2，最大值为A，最小值为A例例题解析解析例1 求函数 的周期解解 由公式（1-3）可知，故函数的周期 例2 求函数 的周期，并指出当x为何值时，函数取得最大值和最小值解解 函数的周期 ，令 ，则当 ，即 时，函数 有最大值2当 ，即 时，函数 有最大值2由此可知，当 时，函数 取得最大值2，当 时，函数 取得最小值21.2.2 1.2.2 正弦型曲正弦型曲正弦型曲正弦型曲线线正弦型函数的图像叫做正弦型曲线下面用“五点法”作出函数 在一个周期内的图像首先首先首先首先我们知道常数3不影响这个函数的周期；其次其次其次其次为了求出图像上五个关键点的横坐标，可设 ，分别令 ，则能求出对应的x的值当 时，；当 时，；当 时，；当 时，；当 时，由此可见，当u 从0 变化到2，即x 从 变化到 时，函数 完成一个周期的变化过程上述过程可以通过列表求值反映出来按五个关键点列表求值，如表1-1所示表1-1 描点连线，得到函数 在一个周期内的图像，如图1-2所示。

图1-2 由此可知，要用“五点法”作正弦型函数 的图像，首先应求出五个关键点的横坐标，即令 ，得 ；令 ，得 ；令 ，得 ；令 ，得 ；令 ，得 然后计算出对应的函数值，就找到了五个点，将这五个点用平滑曲线连接起来，一个周期的图像就画出来了对于物理学和电工学等学科中所涉及的正弦型函数 （其中A，是常数），A称为振幅，称为相位，称为初相，为周期，称为频率例例题解析解析例3 用“五点法”作出函数 在一个周期内的图像解解 分析分析函数 的周期 要求五个关键点的坐标，可设 ，分别令 ，就能求出对应的x的值按五个关键点列表求值，如表1-2所示表1-2描点连线，得到函数在一个周期内的图像，如图1-3所示图1-3例4 已知一个周期的正弦型曲线如图1-4所示，求函数的解析式图1-4解解 由图1-4可知，A=2由于所以函数的周期为4，故 设函数解析式为 ，将坐标 代入上式，得解得故函数解析式为例5 如图1-5所示单摆，小球偏离铅垂线方向的角度为 ，a 作为时间 的函数，满足函数解析式 1）最初时 的值是多少？（2）单摆摆动的频率是多少？（3）经过多长时间单摆摆完5次完整摆动？图1-5解解（2）因为单摆摆动的周期所以单摆摆动的频率（3）因为单摆完成1次完整的摆动的时间就是一个周期T，即 s，所以单摆完成5次完整的摆动需要的时间是5 s。

1）当 时，；1.3 1.3 正弦定理与余弦定理正弦定理与余弦定理正弦定理与余弦定理正弦定理与余弦定理1.3.3 正正、余弦定、余弦定理应用举例理应用举例1.3.2 余弦余弦定理定理1.3.1 正弦正弦定理定理1.3.1 1.3.1 正弦正弦正弦正弦定理定理定理定理 在 中，已知 所对的边长为a，所对的边长为b，所对的边长为c，如图1-8所示下面我们研究 ，a，b，c 之间的数量关系图1-8 三角形可分为直角三角形、锐角三角形和钝角三角形，因此，可以分三种情况讨论1）若 为直角三角形，如图1-9所示图1-9根据正弦函数的定义，可知故又因为 ，所以即因此（1）若 为锐角三角形，如图1-10所示图1-10 过点A作 于D，在 和 中，根据正弦函数的定义，可知则即同理，可得因此，当 为锐角三角形时，等式 仍然成立1）若 为钝角三角形，如图1-11所示图1-11 过点A作 ，交BC 的延长线于点D，在 和 中，根据正弦函数的定义，可知则又因为故即同理，可得因此，当 为钝角三角形时，等式 仍然成立于是，可以得到这样的定理：正弦正弦定理定理（law of sines）在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即式（1-11）一般地，把三角形的三个角 ，和它们的对边a，b，c 叫做三角形的元素。

已知三角形的几个元素，求其他元素的过程叫做解三角形1）已知三角形的任意两个角和一条边，求其他两边和第三角；（2）已知三角形的两边和其中一边的对角，求其他两角和第三边例题解析例1 在 中，已知 ，解三角形解解因为 ，所以由正弦定理得例2 在 中，已知 ，解三角形解解 由正弦定理得则或 因为 ，所以故因此由正弦定理得例 3 在 中，已知 ，解三角形解解 由正弦定理得则或（1）当 时，（2）当 时，1.3.2 1.3.2 余弦定理余弦定理余弦定理余弦定理 以 A 为原点，以线段AC 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系，如图1-12所示，这时点 A，B，C的坐标分别为 ，图1-12由平面内两点间距离公式有两边平方，得同理，可得于是，我们可以得到这样的定理：余弦余弦定理定理（law of cosines）三角形任意一边的平方等于其他两边的平方和减去这两边与它们夹角余弦的积的二倍，即式（1-12）由余弦定理，还可以得到以下推论式（1-13）（1）（2）已知三角形的两边及其夹角，求第三边和其他两角已知三角形的三边，求三个角例例例例题题题题解析解析解析解析例 4 在 中，已知 解三角形解解由余弦定理得解得或（舍）因为所以例 5 在 中，已知 解三角形。

解解由余弦定理得所以1.3.3 1.3.3 正、余弦定理正、余弦定理正、余弦定理正、余弦定理应应用用用用举举例例例例例例题题解析解析图1-13例6 如图1-13所示，一艘船以15 km/h的速度向东航行，船在A处看到一灯塔M在北偏东 方向，行驶4 h后，船到达B处，看到这个灯塔在北偏东 方向，这时船与灯塔的距离为多少？解解由题意得在 中，由正弦定理得即解得因此，这时船与灯塔的距离为 例7 如图1-14所示，要测底部不能到达的烟囱AB的高，在与烟囱底部同一水平面的C，D两处测得烟囱顶端的仰角分别为 和 ，C，D间的距离为12m已知测角仪器高为1.5m，求烟囱的高精确到 0.1m）解解图1-14由题意可知，由正弦定理得即由正弦函数定义得因此，烟囱高约为29.9m解解图1-15在 中，由余弦定理得即因此，隧道AB的长度为409m例8 建筑道路需挖掘隧道，在山的两侧是隧道口A和B，如图1-15所示在平地上选择适合测量的点C，测得 AC=350m，BC=450m，试计算隧道AB的长度精确到1 m）例9 某公园有一块三角形的池塘，现为便于游客观赏池中景物，准备修一架小桥，桥的两端要分别架在A点和BC边的中点D上，如图1-16所示。

已知AB=60m，BC=70m，AC=50m，试求桥AD的长度精确到0.01 m）解解图1-16在 中，由余弦定理得由于D是BC的中点，所以即因此，桥AD的长度为42.72m在 中，由余弦定理得Thank You!。