微分方程-习题课.pptx

微分方程-习题课目录微分方程基本概念与性质一阶常微分方程求解方法高阶常微分方程求解方法目录偏微分方程简介与求解方法微分方程组求解方法习题课内容安排与注意事项01微分方程基本概念与性质描述未知函数与其导数之间关系的方程根据方程中未知函数的最高阶导数的阶数，可分为一阶、二阶、高阶微分方程；根据方程中是否显含未知函数，可分为显式和隐式微分方程微分方程定义及分类分类微分方程定义未知函数及其各阶导数均为一次的方程，形如y+p(x)y+q(x)y=f(x)线性微分方程不满足线性微分方程定义的方程，如含有未知函数的高次项、根号、三角函数等非线性微分方程线性与非线性微分方程解的存在性定理在一定条件下，微分方程的解是存在的如皮亚诺存在性定理和柯西存在性定理解的唯一性定理在一定条件下，微分方程的解是唯一的如皮亚诺唯一性定理和柯西唯一性定理这些定理给出了保证解唯一性的充分条件，如方程的系数和初值满足一定条件时，解就是唯一的解的存在性与唯一性定理02一阶常微分方程求解方法010405060302变量分离法的基本思想：通过适当的变换，将微分方程中的自变量和未知函数分离，从而得到两个易于求解的方程变量分离法的适用条件：适用于形如$y=f(x)g(y)$的一阶微分方程，其中$f(x)$和$g(y)$分别是$x$和$y$的函数。

变量分离法的求解步骤1.将原方程改写为$fracdydx=f(x)g(y)$；2.对两边同时积分，得到$intfracdyg(y)=intf(x)dx+C$；3.解出$y$，得到通解变量分离法形如$fracdydx=f(fracyx)$的微分方程称为齐次方程齐次方程的基本形式通过令$u=fracyx$，将齐次方程转化为关于$u$和$x$的可分离变量的微分方程，然后利用变量分离法求解齐次方程的求解方法齐次方程求解法齐次方程的求解步骤1.令$u=fracyx$，则$y=ux$，$fracdydx=u+xfracdudx$；2.将原方程改写为$fracdudx=fracf(u)-ux$；齐次方程求解法3.对两边同时积分，得到$intfracduf(u)-u=intfracdxx+C$；4.解出$u$，得到通解齐次方程求解法形如$fracdydx+P(x)y=Q(x)$的微分方程称为一阶线性微分方程一阶线性微分方程的基本形式通过构造一个适当的积分因子，将原方程转化为一个易于求解的全微分方程一阶线性微分方程的求解方法一阶线性微分方程求解法一阶线性微分方程的求解步骤1.构造积分因子$mu(x)=eintP(x)dx$；2.将原方程两边同时乘以$mu(x)$，得到$mu(x)fracdydx+mu(x)P(x)y=mu(x)Q(x)$；一阶线性微分方程求解法3.对左边进行合并，得到$fracd(mu(x)y)dx=mu(x)Q(x)$；4.对两边同时积分，得到$mu(x)y=intmu(x)Q(x)dx+C$；5.解出$y$，得到通解。

一阶线性微分方程求解法03高阶常微分方程求解方法线性微分方程的定义及性质高阶线性微分方程的通解结构通解中待定系数的确定方法高阶线性微分方程通解结构常系数线性微分方程的特征方程特征方程的根与通解的关系重根和共轭复根的处理方法常系数线性微分方程求解法03恰当方程和积分因子的应用01可降阶的高阶微分方程02欧拉方程和伯努利方程的求解方法特殊类型高阶微分方程求解法04偏微分方程简介与求解方法定义偏微分方程是包含未知函数及其偏导数的方程分类根据方程中未知函数及其偏导数的最高次数，可分为线性偏微分方程和非线性偏微分方程；根据方程中是否包含未知函数的非局部项，可分为局部偏微分方程和非局部偏微分方程偏微分方程定义及分类对应齐次方程的通解可通过分离变量法、特征线法等方法求得特解可通过待定系数法、变分法等方法求得二阶线性偏微分方程的通解可表示为特解与对应齐次方程通解之和二阶线性偏微分方程通解结构 特殊类型偏微分方程求解法一阶偏微分方程可通过特征线法将偏微分方程转化为常微分方程求解高阶偏微分方程可通过降阶法将高阶偏微分方程转化为低阶偏微分方程求解非线性偏微分方程可通过变量代换、变换等方法将非线性偏微分方程转化为线性偏微分方程求解，或者通过数值方法求解。

05微分方程组求解方法通过对方程组进行线性组合，消去一个未知数，得到一个关于另一个未知数的方程，进而求解消元法拉普拉斯变换法特征根法利用拉普拉斯变换将微分方程组转化为代数方程组，求解后再进行反变换得到原方程的解对于形如y+py=q的一阶常系数线性微分方程，可以通过求解特征方程得到特征根，进而得到通解030201一阶常系数线性微分方程组求解法通过适当的变量代换，将高阶常系数线性微分方程组转化为一阶常系数线性微分方程组，进而利用一阶方程组的求解方法进行求解变量代换法对于形如y+py+qy=0的高阶常系数线性微分方程，可以通过求解特征方程得到特征根，进而得到通解若特征根为复数，则通解中含有三角函数或指数函数特征方程法对于某些特殊形式的高阶常系数线性微分方程，可以通过降阶的方法将其转化为一阶或二阶方程进行求解降阶法高阶常系数线性微分方程组求解法欧拉法01通过逐步逼近的方式求解非线性微分方程组，每一步的增量由当前点的函数值和步长决定欧拉法具有一阶精度，适用于对精度要求不高的场合龙格-库塔法02一种高精度的数值解法，通过多步迭代和加权平均的方式提高计算精度龙格-库塔法具有高阶精度，适用于对精度要求较高的场合。

有限差分法03将微分方程组离散化为差分方程组进行求解的一种方法有限差分法适用于连续型微分方程组，可以通过调整步长和差分格式来控制计算精度和稳定性非线性微分方程组数值解法简介06习题课内容安排与注意事项通过简单的例子回顾微分方程的定义、分类和基本解法，为后续习题的解答打下基础回顾微分方程的基本概念和解法选取具有代表性的习题，详细讲解解题思路和方法，引导学生掌握解题技巧讲解典型习题提供一定数量的习题供学生自主练习，巩固所学知识，提高解题能力学生自主练习鼓励学生提出问题和疑惑，通过课堂讨论和答疑环节解决学生的困惑课堂讨论与答疑习题课内容安排提前预习认真听讲积极思考独立完成练习习题课注意事项01020304要求学生提前预习相关知识点，了解微分方程的基本概念和解法，为习题课做好准备要求学生认真听讲，注意理解老师的讲解思路和解题方法，做好笔记鼓励学生积极思考，主动提出问题和疑惑，与老师和同学进行交流和讨论要求学生独立完成自主练习，认真检查解题过程和结果，及时纠正错误学生自主练习与讨论环节学生根据老师提供的习题进行自主练习，巩固所学知识，提高解题能力学生分组进行讨论，交流解题思路和方法，互相帮助解决问题。

学生可以随时向老师提问或提出疑惑，老师会及时给予解答和指导鼓励学生分享自己的解题思路和成果，展示自己的学习成果和进步自主练习分组讨论提问与答疑分享与展示感谢观看THANKS。