高数线性代数 20 矩阵特征值估计.doc

第二十讲第二十讲 矩阵特征值估计矩阵特征值估计特征值计算较困难，希望找到简便的特征值界限或分布范围的估计方法 一、一、特征值界的估计特征值界的估计定理 1. 设，为 A 的任意特征值，则有n nAR        n n1ImM2   其中，ijji1 i,j naaMmax2    证明：设 x 为 A 的属于特征值的单位特征向量，即 ，，则Axx   Hx x1 Hx Ax       HHHHHx Axx Axx A x            HHHT2jImxAAxxAAx            将 x 写成  T12nx,,,      L L    nn HT iijjij i 1 j 1xAAxaa                nniijjij i 1 j 1nniijjij i 1 j 12 Imaaaa                 n ' ijijji i,j 1aa       （表示不含 i＝j）' n ' ij i,j 12M         2n22' ij i,j 1ImM               n22' ij i,j 1M n n1         n222' ij i,j 1M n n1      nnnnn2222424' ijijiii i,j 1i,j 1i 1i 1i 1                       n22ii i 11       不妨写为：      n2222221122ii i 3111                         222222 n112222ii i 311 122                                       1 2 取等号的条件为，但，所以其它22121 2     2x1 2i0       n n1ImM2   定理 2. 设，为 A 的任意特征值，则有n nAR   n        Ren       Imns  其中，，，ij1 i,j nmax a      ijji1 i,j nmax aa       ijji1 i,j nsmax aa     二、二、盖尔圆法盖尔圆法定义：设,由方程   n n ijn nAaC    niiiij j 1 i jzaRa       所确定的圆称为 A 的第 i 个盖尔圆，称为盖尔圆iR的半径。

定理 3：矩阵 A 的所有特征值均落在它的所有盖尔圆的并集之中证明：设，为 A 的某一个特征值，   n n ijn nAaC     x 为相应的特征向量，将 x 写成，设  T12nx,,,      L L0iimax   由，考虑行Axx   0i00ni jji j 1a          0 000n ' i iii jj j 1aa           0ji 0 000000nn jj'' i ii ji ji j 1j 1iiaaaR              对于 A 的特征值，一定存在，使落在 0i  01in   A 的第 个盖尔圆中，对于每个特征值都有相同的结0i论定理 4. 将矩阵 A 的全体盖尔圆的并集按连通部分分成若干个子集， （一个子集由完全连通的盖尔圆组成，不同子集没有相连通的部分） ，对每个子集，若它恰好由 K 个盖尔圆组成，则该子集中恰好包含 A 的 K个特征值。

说明：盖尔圆相互重叠时重复计算，特征值相重时也重复计算证明：设，111n n nn1nnaa AC aa               L L MMO OMM L L令   1112131n2122232n3132333nn1n2n3nnauauaua uaauaua B uuauaauauauauaa                        L L L L L L MMMMMMO OMM L L，，0u1       1122nnB 0diag aaa L L   B 1A 的特征多项式是 u 的多项式，其特征值是   B uu 的连续函数，观察 u（）变化的过程中0u1  特征值的变化，特征值只能在盖尔圆连通的子   B u集内变动，而不能跨出连通子集由此可见，由 K 个盖尔圆组成的连通子集恰好包含 K 个特征值应该注意到：连通的这些盖尔圆中，有些盖尔圆可能包含两个或多个特征值，而其它盖尔圆中可能无特征值。

推论 1. 孤立盖尔圆中恰好包含一个特征值推论 2. 实矩阵的孤立盖尔圆恰好包含一个实特征值推论 3. 盖尔圆方法中盖尔圆半径可以按列求和 （因为方阵转置后特征值不变）推论 4. 盖尔圆半径变为，两个盖尔圆n 'i iij j 1jRa     定理仍然成立说明如下：相似矩阵与 A 具有相同的特征值，1P AP 取   12nPdiag    L L  i0   1 121 2ijnn1001 BP APa010                                                  O OO Oi ij ja           根据推论 4，选取适当的使盖尔圆变大或变小，i 可以对特征值进行隔离但有时这种隔离特征值的方法会失效，如对于那些对角线上由相同元素的矩阵，此时盖尔圆的圆心相同。

作业作业：P261 2，3，4。