高中数学 第一章 三角函数 4.4 单位圆的对称性与诱导公式(一)课件 北师大版必修4.ppt

第一章　§4　正弦函数和余弦函数的定义与诱导公式4.4　单位圆的对称性与诱导公式(一)学习目标1.了解三角函数的诱导公式的意义和作用.2.理解诱导公式的推导过程.3.能运用有关的诱导公式解决一些三角函数的求值、 化简和证明问题.问题导学达标检测题型探究内容索引问题导学知识点　2kπ±α，，－－α，，π±α的诱导公式思思考考1　　设α为任意角，则2kπ＋α，π＋α，－α，2kπ－α，π－α的终边与α的终边有怎样的对应关系？答案　答案　它们的对应关系如表：相关角终边之间的对称关系2kπ＋α与α终边相同π＋α与α关于原点对称－α与α关于x轴对称2π－α与α关于x轴对称π－α与α关于y轴对称思思考考2　　2kπ＋α，π＋α，－α，2kπ－α，π－α终边和单位圆的交点与α的终边和单位圆的交点有怎样的对称关系？试据此分析角α与－α的正弦函数、余弦函数的关系.答案　答案　它们交点间对称关系如表：相关角终边与单位圆的交点间对称关系2kπ＋α与α重合π＋α与α关于原点对称－α与α关于x轴对称2π－α与α关于x轴对称π－α与α关于y轴对称设角α与角－α终边与单位圆的交点分别为P和P′，因为P和P′关于x轴对称，所以点P和P′ 的横坐标相等， 纵坐标的绝对值相等且符号相反， 即sin(－α)＝－sin α， cos(－α)＝cos α.梳理　梳理　对任意角α，有下列关系式成立：sin(2kπ＋α)＝sin α，　 cos(2kπ＋α)＝cos α　　　　　(1.8)sin(－α)＝－sin α，　cos(－α)＝cos α　　　　　(1.9)sin(2π－α)＝－sin α， cos(2π－α)＝cos α　　　　　(1.10)sin(π－α)＝sin α，　cos(π－α)＝－cos α　　　　　(1.11)sin(π＋α)＝－sin α，　 cos(π＋α)＝－cos α　　　　　(1.12)公式1.8～1.12叫作正弦函数、余弦函数的诱导公式.这五组诱导公式的记忆口诀是“ ”.其含义是诱导公式两边的函数名称 ，符号则是将α看成 时原角所在象限的正弦函数、余弦函数值的符号.函数名不变，符号看象限一致锐角[思考辨析￿￿判断正误]1.sin(α－π)＝sin α.(　　)提示　提示　sin(α－π)＝sin[－(π－α)]＝－sin(π－α)＝－sin α.3.诱导公式对弧度制适用，对角度制不适用.(　　)提示　提示　在角度制和弧度制下，公式都成立.××√答案提示题型探究类型一　给角求值问题例例1　　求下列各三角函数式的值.(1)cos 210°；解答(4)cos(－1 920°).解　解　cos(－1 920°)＝cos 1 920°＝cos(5×360°＋120°)解答反思与感悟　反思与感悟　利用诱导公式求任意角三角函数值的步骤(1)“负化正”：用公式1.9来转化.(2)“大化小”：用公式1.8角化为0°到360°间的角.(3)“角化锐”：用公式1.10或1.11将大于90°的角转化为锐角.(4)“锐求值”：得到锐角的三角函数后求值.解　解　方法一方法一　sin 1 320°＝sin(3×360°＋240°)跟踪训练跟踪训练1　　求下列各三角函数式的值.(1)sin 1 320°；方法二方法二　sin 1 320°＝sin(4×360°－120°)＝sin(－120°)解答解答类型二　给值(式)求值问题例例2　　(1)已知sin(π＋α)＝－0.3，则sin(2π－α)＝ .解析　解析　∵sin(π＋α)＝－sin α＝－0.3，∴sin α＝0.3，∴sin(2π－α)＝－sin α＝－0.3.－0.3答案解析反反思思与与感感悟悟　　解决给值(式)求值问题的关键是抓住已知角与所求角之间的关系，从而灵活选择诱导公式求解，一般可从两角的和、差的关系入手分析，解题时注意整体思想的运用.解析　解析　由cos(α＋β)＝－1，得α＋β＝2kπ＋π(k∈Z)，则α＋2β＝(α＋β)＋β＝2kπ＋π＋β(k∈Z)，√√答案解析类型三　利用诱导公式化简解答引申探究引申探究解　解　当n＝2k时，当n＝2k＋1时，综上，原式＝1.解答反反思思与与感感悟悟　　利用诱导公式进行化简，主要是进行角的转化，最终达到角的统一，能求值的要求出值.解答达标检测1.sin 585°的值为√√答案解析12453√√答案解析124533.如果α＋β＝180°，那么下列等式中成立的是A.cos α＝cos β B.cos α＝－cos βC.sin α＝－sin β D.sin α＝cos β√√12453答案4.sin 750°＝ .解析　解析　∵sin θ＝sin(k·360°＋θ)，k∈Z，∴sin 750°＝sin(2×360°＋30°)＝sin 30°＝ .12453答案解析12453解答规律与方法1.明确各诱导公式的作用诱导公式作用公式1.8将角转化为0～2π之间的角求值公式1.12将0～2π内的角转化为0～π之间的角求值公式1.9将负角转化为正角求值公式1.11将角转化为0～ 之间的角求值2.诱导公式的记忆这四组诱导公式的记忆口诀是“函数名不变，符号看象限”.其含义是诱导公式两边的函数名称一致，符号则是将α看成锐角时原角所在象限的三角函数值的符号，α看成锐角，只是公式记忆的方便，实际上α可以是任意角.。