19781982年高考数学试题全国卷.pdf

河北迁安一中 1978年试题高考数学试题全国 卷 注意事项注意事项: 1.理工科考生要求除作 （一）理工科考生要求除作 （一）--（四）题和 （七）题外（四）题和 （七）题外,再由 （五）、（六） 两题中选作一题 再由 （五）、（六） 两题中选作一题.文科考生要求作（一）文科考生要求作（一）--（四）题（四）题,再由（五）、（六）两 题中选作一题 再由（五）、（六）两 题中选作一题;不要求作第（七）题不要求作第（七）题. 2.考生解题作答时考生解题作答时,不必抄题不必抄题.但须准确地写明题号但须准确地写明题号,例如（一）例如（一） 2、（五）等、（五）等. （一）（一） 1.分解因式:x2-4xy+4y2-4z2. 2.已知正方形的边长为a.求侧面积等于这个正方形的面积、高 等于这个正方形边长的直圆柱体的体积. （二）（二）已知方程kx2+y2=4,其中k为实数.对于不同范围的k值,分 别指出方程所代表图形的类型,并画出显示其数量特征的草图. （三）（三）（如图）AB是半圆的直径,C是半圆上一点,直线MN切半 圆于C点,AMMN于M点,BNMN于N点,CDAB于D点. 求证:1)CD=CM=CN; 河北迁安一中 2)CD2=AMBN. （四）（四）已知log189=a(a2),18b=5.求log3645. （五）（五）（本题和第（六）题选作一题）已知ABC的三内角的大小 成 （六）（六）已知、为锐角,且 3sin2+2sin2=1, 3sin2-2sin2=0. （七）（七）（文科考生不要求作此题） 已知函数y=x2+(2m+1)x+m2-1（m为实数）. 河北迁安一中 (1)m是什么数值时,y的极值是0? (2)求证:不论m是什么数值,函数图象 （即抛物线）的顶点都在同 一条直线l1上.画出m=-1、0、1时抛物线的草图,来检验这个结论. (3)平行于l1的直线中,哪些与抛物线相交,哪些不相交?求证:任 一条平行于l1而与抛物线相交的直线,被各抛物线截出的线段都相 等. 1978年试题答案年试题答案 （一）（一）1.解解:原式=(x2-4xy+4y2)-4z2 =(x-2y)2-(2z)2 =(x-2y-2z)(x-2y+2z). 2.解解:设直圆柱体的底面半径为r.则底面周长2r=a. 3.解解:lg(2+x)0,2+x1. x-1为所求的定义域. 河北迁安一中 （二）解（二）解:（注意（注意:只要求考生作出全面而正确的分析只要求考生作出全面而正确的分析,不要求写 法和本题解完全一致 不要求写 法和本题解完全一致.） ） （三）证明（三）证明: 1)连CA、CB,则ACB=90. ACM=ABC（弦切角等于同弧上的圆周角）, ACD=ABC（同角的余角相等）, ACM=ACD. ACMADC. CM=CD. 同理 CN=CD. CD=CM=CN. 2)CDAB,ACB=90, CD2=ADDB（比例中项定理）. 由1),可知AM=AD,BN=BD, CD2=AMBN. 河北迁安一中 （四）解法一（四）解法一:log189=a,18a=9. 又18b=5, 45=95=18a18b=18a+b, 设log3645=x,则36x=45=18a+b, log1836x=log1818a+b 但36=218=49, log18(218)=log18(229). 即1+log182=2log182+log189=2log182+a. log182=1-a. 以下解法同解法一. （五）解（五）解:A+B+C=180, 又2B=A+C. 3B=180,B=60,A+C=120. 河北迁安一中 以下同证法一. （七）解（七）解:(1)用配方法得 此即各抛物线顶点坐标所满足的方程.它的图形是一条直线, 方 程中不 当m=-1、0、1时,x,y之间的函数关系为 河北迁安一中 分别作出它们的图象P1、P2、P3. 它们的顶点都在直线l1上. (3)设l:x-y=a为任一条平行于l1的直线. 与抛物线y=x2+(2m-1)x+m2-1方程联立求解. 消去y,得x2+2mx+m2-1+a=0. (x+m)2=1-a. 因而当1-a0即a1时,直线l与抛物线相交,而1-a1时,直 线l与抛物线不相交. 即直线l与抛物线两交点横坐标为 因直线l的斜率为1,它的倾斜角为45. 直线l被抛物线截出的线段等于 而这与m无关. 因此直线l被各抛物线截出的线段都相等. _ 河北迁安一中 1979年试题高考数学试题全国卷年试题高考数学试题全国卷 理工农医类 1.若(z-x)2-4(x-y)(y-z)=0,求证:x,y,z成等差数列. 2.化简: 3.甲、乙二容器内都盛有酒精.甲有公斤1公斤，乙有2公斤. 甲中纯酒精与水(重量)之比为m1:n1,乙中纯酒精与水之比为m2:n2. 问将二者混合后所得液体中纯酒精与水之比是多少? 4.叙述并且证明勾股定理. 5.外国般只,除特许者外,不得进入离我海岸线D以内的区城.设 A及B是我们的观测站,A及B间的距离为S,海岸线是过A,B的直线. 一外国船在P点.在A站测得 BAP=,同时在B站测得ABP=.问及满足什么简单的三角 函数值不等式,就应当向此未经特许的外国船发出警告,命令退出 我海城? 河北迁安一中 6.设三棱锥V-ABC中,AVB=BVC=CVA=直角. 求证:ABC是锐角三角形. 7.美国的物价从1939年的100增加到四十年后1979年的500.如 果每年物价增长率相同,问每年增长百分之几?(注意:自然对数1nx 是以e=2.718为底的对数.本题中增长率x13.2 因k是自然数,所以k=14,即数列前14项的和最大. 取 k=14. 前14项的和 解法二解法二:这数列的第k项(任意项)为 河北迁安一中 时,S有最大值. 因k表示项数,是自然数,在此, =2-1.95650, 由此可知这数列的前14项都是正数,从第15项起以后各项都是 负数. 所以应取k=14,即数列前14项的和为最大,其值为 10.解法一解法一:(1)设坐标系如图，点P的坐标为(x,y).由题设x0. 直线OA的方程为y=xtg, 直线OB的方程为y=-xtg, 直线AB的方程为x=h. 又因为P点在AOB内,于是 由条件PDPF=PE2得x2sin2-y2cos2=(h-x)2,(1) 即 x2cos2-2hx+y2cos2+h2=0. 除以cos2(0)得 河北迁安一中 (2)由条件PD+PE=PF得 xsin-ycos+h-x=xsin+ycos, 即x+2ycos=h. () 由(1),()得 x2sin2-y2cos2=4y2cos2 5y2cos2=x2sin2, 由 PD+PEPF可知y0,所以这里右端取正号.代入() 得 解法二解法二:设OP与正x轴的夹角为,则 PD=OPsin(-)=OP(sincos-cossin) =xsin-ycos, PF=OPsin(+)=OPsincos+cossin 河北迁安一中 =xsin+ycos. 以下与上面的解法一相同。

河北迁安一中 1980年试题高考数学试题全国卷年试题高考数学试题全国卷 (理工农医类理工农医类) 一、一、将多项式x5y-9xy5分别在下列范围内分解因式: (1)有理数范围; (2)实数范围(3)复数范围. 二、半径为1、2、3的三个圆两两外切.证明:以这三个圆的圆心 为顶点的三角形是直角三角形. 三、用解析几何方法证明三角形的三条高线交于一点. (a、b、N都是正数,a1,b1) 五、五、直升飞机上一点P在地平面M上的正射影是A.从P看地平 面上一物体B(不同于A),直线PB垂直于飞机窗玻璃所在的平面N(如 图).证明:平面N必与平面M相交,且交线l垂直于AB. 河北迁安一中 (1)写出f(x)的极大值M、极小值m与最小正周期T; (2)试求最小的正整数k,使得当自变量x在任意两个整数间(包 括整数本身)变化时,函数f(x)至少有一个值是M与一个值是m. 七、CD为直角三角形ABC中斜边AB上的高,已知ACD、 CBD、ABC的面积成等比数列,求B(用反三角函数表示). 九、九、抛物线的方程是y2=2x,有一个半径为1的圆,圆心在x轴上 运动.问这个圆运动到什么位置时,圆与抛物线在交点处的切线互 相垂直. 附加题附加题 河北迁安一中 问a、b应满足什么条件,使得对于任意m值来说,直线(L)与椭圆 (E)总有公共点. 1980年试题年试题(理工农医类理工农医类)答案答案 二、证明二、证明:设O1、O2、O3的半径分别为1、2、3. 因这三个圆两两外切,故有 O1O2=1+2=3, O2O3=2+3=5, O1O3=1+3=4, 根据勾股弦定理的逆定理,或余弦定理,O1O2O3为直角三角 形. 三、证明:取ABC最长的一边BC所在的直线为x轴,经过A的 高线为y轴,设A、B、C的坐标分别为A(0,a)、B(b,0)、C(c,0), 根据所选坐标系,如图,有a0,b0. 解(1)、(2),得:(b-c)x=0. b-c0,x=0. 这就是说,高线CE、BD的交点的横坐标为0,即交点在高线AO 上. 河北迁安一中 因此,三条高线交于一点. 四、证法一:令logbN=x,根据对数定义, bx=N. 两端取以a为底的对数, logabx=logaN, xlogab=logaN. b1,logab0, 证法二证法二:令logbN=x,根据对数定义, N=bx =(alogab)x=axlogab, xlogab=logaN. b1,logab0, 五、证明五、证明:用反证法.假如平面N与平面M平行,则PA也垂直于 N,因此PA与PB重合,B点与A点重合,但这与题设矛盾,所以平面N与 平面M相交. 设平面N与平面M的交线为l. PA平面M,PAl. 又PB平面N,PBl. l平面PAB,lAB. 六、解六、解:(1)M=1,m=-1, 河北迁安一中 (2)f(x)在它的每一个周期中都恰好有一个值是M与一个值是 m. 而任意两个整数间的距离都1.因此要使任意两个整数间函 数f(x)至少有一个值是M与一个值是m,必须且只须使f(x)的周期1. 可见,k=32就是这样的最小正整数. 七、解法一七、解法一:设CD=h,AB=。