新高考数学二轮复习重难点6-1 空间角与空间距离的求解（8题型+满分技巧+限时检测）（解析版）.doc

重难点6-1 空间角与空间距离的求解空间角与空间距离问题一直是高考数学必考点与热点考向通常小题及解答题的第2小问考查，难度中等在高考复习过程中除了掌握空间向量法，还需多锻炼几何法的应用题型1 几何法求异面直线夹角】满分技巧1、求异面直线所成角一般步骤：（1）平移：选择适当的点，线段的中点或端点，平移异面直线中的一条或两条成为相交直线．（2）证明：证明所作的角是异面直线所成的角．（3）寻找：在立体图形中，寻找或作出含有此角的三角形，并解之．（4）取舍：因为异面直线所成角的取值范围是，所以所作的角为钝角时，应取它的补角作为异面直线所成的角．2、可通过多种方法平移产生，主要有三种方法：（1）直接平移法(可利用图中已有的平行线)；（2）中位线平移法；（3）补形平移法(在已知图形中，补作一个相同的几何体，以便找到平行线)．【例1】（2023·宁夏石嘴山·高三石嘴山市第三中学校考期中）在正方体中，，，，分别为，，，的中点，则异面直线与所成角的大小是（ ）A． B． C． D．【答案】C【解析】在正方体中，连接，由分别为的中点，得分别为中点，而分别为的中点，则，，因此或其补角是异面直线与所成的角，在中，，则，所以异面直线与所成角的大小是.故选：C【变式1-1】（2022·全国·高三专题练习）如图，是圆锥的顶点，是底面直径，点在底面圆上．若为正三角形，且，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）A． B． C． D．【答案】A【解析】由已知，所以，设，则，可得，分别取的中点，连接，则，所以或其补角为异面直线与所成角，过点作于，连接，则为中点，与底面垂直，且，在中，，，所以，所以，所以在中，所以异面直线与所成角的余弦值为.故选：A .【变式1-2】（2024·广东·高三校联考开学考试）如图，在直三棱柱中，所有棱长都相等，，，分别是棱，，的中点，则异面直线与所成角的余弦值是（ ）A． B． C． D．【答案】D【解析】连接，因为在直三棱柱中，，分别是棱，的中点，故，即四边形为平行四边形，所以，则即为异面直线与所成角或其补角；直三棱柱中，所有棱长都相等，设其棱长为2，连接，则，而平面，故平面，平面，故，是棱的中点，故，则,而，又，故在中，,由于异面直线所成角的范围为大于，小于等于，故异面直线与所成角的余弦值是，故选：D【变式1-3】（2022·全国·模拟预测）已知正方形的边长为2，把沿折起，使点A与点E重合，若三棱锥的外接球球心O到直线的距离为，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）A． B． C． D．0【答案】A【解析】易得三棱锥的外接球球心O为的中点，连接，则，取的中点H，连接，易知，则为点O到直线的距离，即，取的中点F，连接，得，则或其补角是异面直线与所成角．因为，所以，则异面直线与所成角的余弦值为，故选：A．【变式1-4】（2023·安徽·高三池州市第一中学校联考阶段练习）在正四棱台中，，点是底面的中心，若该四棱台的侧面积为，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）A． B． C． D．【答案】A【解析】由题意知：正四棱台侧面为等腰梯形，连接：，，，，，，作，如下图所示，因为棱台侧面积为，即：，得：，所以：侧棱长，因为：，得：，又因为：，所以：四边形是平行四边形，所以：，（或其补角）是异面直线与所成的角，根据余弦定理可知：，故A项正确.故选：A.【题型2 向量法求异面直线夹角】满分技巧异面直线所成角：若分别为直线的方向向量，为直线的夹角，则.【例2】（2023·山东德州·高三德州市第一中学校考阶段练习）如图，在直三棱柱中，，且，，分别是棱，的中点，则异面直线与所成角的正弦值是（ ）A． B． C． D．【答案】A【解析】如图所示：以为轴建立空间直角坐标系，设，则，，，，，，，异面直线与所成角的正弦值是.故选：A.【变式2-1】（2023·安徽·高三校联考期末）已知是圆锥底面的直径，为底面圆心，为半圆弧的中点，，分别为线段，的中点，，，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）A． B． C． D．【答案】B【解析】因为为半圆弧的中点，则，如图，建立空间直角坐标系，因为，，为半圆弧的中点，，分别为线段，的中点，则,，所以，设异面直线与所成角的角为，则，故选：B.【变式2-2】（2024·江西·高三统考期末）已知圆柱的底面半径为1，高为2，，分别为上、下底面圆的直径，四面体的体积为，则直线与所成角的余弦值为（ ）A． B． C． D．【答案】D【解析】如图，找底面圆心，作与底面垂直，//，，故以为原点，建立空间直角坐标系，规定，，设，，易知底面圆方程为，则，，故，，故，设到面的距离为，设面的法向量，故有，，解得，，，故，由点到平面的距离公式得，已知四面体的体积为，故得，解得(负根舍去)，易得，故，，，，设直线与所成角为，故有.故选：D【变式2-3】（2024·湖南长沙·高三长沙一中校考开学考试）三棱锥中，平面，，.，点是面内的动点（不含边界），，则异面直线与所成角的余弦值的取值范围为（ ）A． B． C． D．【答案】A【解析】由平面平面，得，又平面，则平面，平面，则，又，平面，因此平面，而平面，则，如图，以为坐标原点，的方向为轴正方向建立空间直角坐标系，则，设，，由，得，，设异面直线与所成角为，则，令，则，显然函数在上单调递增，此时，，所以异面直线与所成角的余弦值的取值范围为.故选：A【变式2-4】（2023·广东汕头·高三潮阳实验学校校考阶段练习）正四棱锥的侧棱长为，底面的边长为，E是的中点，则异面直线与所成的角为（ ）A． B． C． D．【答案】C【解析】连接，交于点O，连接，以为x轴，为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系，正四棱锥的侧棱长为，底面的边长为，E是的中点，，，，，设异面直线与所成的角为，则，，异面直线与所成的角为．故选：C.【题型3 几何法求直线与平面夹角】满分技巧1、垂线法求线面角（也称直接法）：（1）先确定斜线与平面，找到线面的交点B为斜足；找线在面外的一点A，过点A向平面做垂线，确定垂足O；（2）连结斜足与垂足为斜线AB在面上的投影；投影BO与斜线AB之间的夹角为线面角；（3）把投影BO与斜线AB归到一个三角形中进行求解（可能利用余弦定理或者直角三角形）。

3、公式法求线面角（也称等体积法）：用等体积法，求出斜线PA在面外的一点P到面的距离，利用三角形的正弦公式进行求解公式为：，其中是斜线与平面所成的角，是垂线段的长，是斜线段的长方法：已知平面内一个多边形的面积为S，它在平面内的射影图形的面积为，平面和平面所成的二面角的大小为，则.这个方法对于无棱二面角的求解很简便例3】（2022·全国·高三专题练习）在正方体中，棱的中点分别为，，则直线与平面所成角的正弦值为（ ）A． B． C． D．【答案】C【解析】连接，在正方体中，平面，棱的中点为，则平面，而平面，故，则即为直线与平面所成角，设正方体棱长为2，则，则，故，故选：C【变式3-1】（2024·山西运城·高三统考期末）已知四棱锥的底面是边长为4的正方形，，，则直线与平面夹角的正弦值为（ ）A． B． C． D．【答案】B【解析】如图，由题意可知，，中，根据余弦定理可知，则，过点作平面，，连结，，连结，因为平面，平面，所以，且平面所以平面，平面，所以，又因为，所以，同理，中，，则，根据等面积公式，，所以，，又，所以，则，直线与平面夹角的夹角为，.故选：B【变式3-2】（2024·黑龙江哈尔滨·高三哈尔滨市第六中学校校联考期末）过正四棱锥的高的中点作平行于底面的截面，若四棱锥与四棱台的表面积之比为，则直线与底面所成角的余弦值为（ ）A． B． C． D．【答案】A【解析】依题意过正四棱锥的高的中点作平行于底面的截面，则，，，分别为，，，的中点，设正方形的边长为，，所以正方形的面积为，正方形的面积为，正四棱锥的侧面积为，四棱台的侧面积为，所以正四棱锥的表面积为，四棱台的表面积为，所以，解得，由平面，所以为直线与底面所成角，所以，又，，所以.故选：.【变式3-3】（2023·全国·高三校联考阶段练习）如图，在三棱台中，平面，，，.（1）求证：平面平面；（2）求与平面所成角正弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】（1）由，得，由平面，平面，则，又平面，所以平面，因为平面，所以平面平面．（2）将棱台补全为如下棱锥，由，，，易知，，由平面，平面，则，，，所以，，可得，设到平面的距离为h，又，则，可得，设与平面所成角为，，则.【变式3-4】（2023·河北沧州·高三泊头市第一中学校联考阶段练习）如图，在四棱锥中，，，，，，，．（1）求证：平面平面；（2）若为上一点，且，求直线与平面所成角的正弦值．【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】（1），，，，，平面，平面，平面，平面平面；（2）取的中点．连接、，由（1）知平面，平面，，如图，过点作，，，，，，，，，，由勾股定理可知，，平面，平面，，为的中点，，又，，平面，为直线与平面所成角，由（1）知，又，，，，，则，，，，直线与平面所成角的正弦值为．【题型4 向量法求直线与平面夹角】满分技巧直线与平面所成角：设是直线的方向向量，是平面的法向量，直线与平面的夹角为.则.【例4】（2023·福建福州·高三校联考期中）正四棱柱中，，四面体体积为，则与平面所成角的正弦值为（ ）A． B． C． D．【答案】C【解析】设，因为四面体体积为，所以，解得，建立如图所示空间直角坐标系：则 ，所以，设平面的一个法向量为，则，即 ，令 ，则 ，所以 ，设与平面所成的角为 ，所以，故选：C【变式4-1】（2023·上海嘉定·高三校考期中）在正方体中，是中点，点段上，若直线与平面所成的角为，则的取值范围是（ ）A． B． C． D．【答案】。