高考数学一轮复习 函数的奇偶性与周期性讲义.docx

专题3.3 函数的奇偶性与周期性1.理解函数的奇偶性，会用基本初等函数的图象分析函数的奇偶性，凸显直观想象、逻辑推理的核心素养；2.会判断、应用简单函数的周期性，考察函数性质综合应用，凸显数学抽象、逻辑推理的核心素养.1．函数的奇偶性1.奇偶性的概念奇偶性定义图象特点偶函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)是偶函数关于y轴对称奇函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)是奇函数关于原点对称2.奇偶性的判断（1）定义法：①判断定义域是否关于原点对称；②若不对称，为非奇非偶函数；若对称，判断f−x与fx的关系：f−x=−fx或f−x=fx；③结论；（2）图象法：奇函数图象关于原点对称；偶函数图象关于y轴对称；（3）性质法：设fx,gx的定义域分别是D1,D2，那么在它们的公共定义域上：奇+奇=奇，奇奇=偶，偶+偶=偶，偶偶=偶，奇偶=奇.3. 奇、偶函数的性质（1）具有奇偶性的函数，其定义域关于原点对称，即函数为奇函数或偶函数的必要条件是其定义域关于原点对称；（2）若奇函数的定义域包含0，则fx=0； （3）奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称；（4）奇函数：f−x=−fx；偶函数：f−x=fx；（5）奇函数在对称区间上的单调性相同，偶函数在对称区间上的单调性相反．2．函数的周期性1.周期性的概念（1）周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期.（2）最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期.2.函数周期性常用结论对fx定义域内任一自变量x：（1）若fx+a=−fx，则T=2aa>0；（2）若fx+a=1fx，则T=2aa>0；（3）若fx+a=−1fx，则T=2aa>0；（4）若fx+a=fx−a，则T=2aa>03.函数图象的对称性（1）若函数y＝f(x＋a)是偶函数，即f(a－x)＝f(a＋x)，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称．（2）若对于R上的任意x都有f(2a－x)＝f(x)或f(－x)＝f(2a＋x)，则y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称．（3）若函数y＝f(x＋b)是奇函数，即f(－x＋b)＋f(x＋b)＝0，则函数y＝f(x)关于点(b，0)中心对称．（4）对称性与周期性：周期为两对称轴（或两对称中心）的距离的2倍，为一对称轴和一对称中心距离的4倍.函数奇偶性的判断【方法储备】1.判断函数的奇偶性，首先看函数的定义域是否关于原点对称；2.在函数的定义域关于原点对称的条件下，要说明一个函数是奇(偶)函数，必须证明f−x=fx ( f−x=−fx)对定义域中的任意x都成立；而要说明一个函数是非奇非偶函数，则只须举出一个反例就可以了．或者结合图象、奇偶性性质即可判断.3.分段函数指在定义域的不同子集有不同对应关系的函数，分段函数奇偶性的判断，要分别从x＞0或x＜0来寻找等式f−x=fx或f−x=−fx成立，只有当对称的两个区间上满足相同关系时，分段函数才具有确定的奇偶性．【精研题型】1.（多选）下列函数中，既是偶函数又在（0，+∞）上单调递减的函数是A.y=x3 B.y=|x| C.y=-x2+1 D.y=2.写出一个最小正周期为2的偶函数fx = .3.（多选）已知函数fx，gx的定义域都为R，且fx是奇函数，gx是偶函数，则下列结论正确的是A.f(x)|g(x)|是奇函数 B.|f(x)|g(x)是奇函数C.f(x)g(x)是偶函数 D.|f(x)g(x)|是偶函数【思维升华】4.已知函数f(x)为增函数，当x，y∈R时，恒有f(x+y)＝f(x)+f(y)．（1）求证：f(x)是奇函数；（2）是否存在m，使f(2(log2x)2-4)+f(4m-2log2x)＞0对于任意x∈[1，2]恒成立？若存在，求出实数m的取值范围；若不存在，说明理由．【特别提醒】1.若函数fx的图象是由函数fx的y轴右侧图象翻折到y轴左侧，函数fx是偶函数；2.二次函数fx=ax2+bx+ca≠0 为偶函数⇔b≠0；3.三次函数fx=ax3+bx2+cx+da≠0为奇函数时⇔b=d=0;4.既是奇函数又是偶函数的函数只有一种类型，即f(x)＝0，x∈D，其中定义域D是关于原点对称的非空集合；5.函数根据奇偶性可分奇函数、偶函数、既奇又偶函数、非奇非偶函数．函数奇偶性的应用【方法储备】1.求函数的值：利用奇偶性将待求值转化为已知区间上的函数值求解2.求函数解析式：①将所求解析式自变量的范围转化为已知解析式中自变量的范围；②将转化后的自变量代入已知解析式；③利用函数的奇偶性求出解析式．3.求参数值①在定义域关于原点对称的前提下，根据奇函数满足f(－x)＝－f(x)或偶函数满足f(－x)＝f(x)列等式，根据等式两侧对应相等确定参数的值．②若能够确定奇函数的定义域中包含0，可以根据f(0)＝0列式求解，若不能确定则不可用此法．③从特殊入手，得出参数所满足条件，再验证其充分性得出结果．4.奇、偶函数图象对称性的应用：①已知y轴一侧的单调区间，得出另一侧的单调区间；②奇函数若有最值，则最大值与最小值之和为0. 【精研题型】5.已知fx=ax2+bx是定义在a−1,2a上的偶函数，那么a+b的值是A. B. C. D.6.已知函数fx是定义在R上的偶函数，当x≤0时，fx=x3−x2，则当x>0时，fx的解析式为 ．7.设函数fx是定义在R上的奇函数，且，则gf−8＝A.－1 B.－2 C.1 D.28.已知偶函数fx和奇函数的定义域都是,且在上的图象如图所示，则关于的不等式的解集是 ．【思维升华】9.函数fx=+()+1在区间[-3,0)(0,3]上的最大值和最小值分别为M、N,则M+N = .10.函数fx，gx分别是定义在R上的偶函数、奇函数，且fx+2gx=ex，若关于x的方程f2x−mgx=0在区间（0，2]内有解，则实数m的最小值为A.4 B.4 C.8 D.8函数的周期性与应用【方法储备】1．证明函数是周期函数：证明f(x＋T)＝f(x)(T≠0)，且周期为T，则kT(k∈Z且k≠0)也是函数的周期；2.求函数周期的方法：①形如y＝Asin(ωx＋φ)，用公式T＝计算；②递推法：若f(x+a)＝－f(x)，则f(x+2a)＝f[(x+a)+a]＝－f(x+a)＝f(x)，所以周期T＝2a；③换元法：若f(x+a)＝f(x－a)，令x－a＝t，x＝t＋a，则f(t)＝f(t+2a)，所以周期T＝2a．3.准确区分题干条件是得到周期性，还是得对称性.【精研题型】11.函数fx=2sin2x−πcos2x+π是A.周期为π4的奇函数B.周期为π4的偶函数C.周期为π2的奇函数D.周期为π2的偶函数12. 设定义在上的函数满足,若f1=2,则A.13 B. C. D.13.已知定义在R上的函数f(x)，对任意实数x有f(x+5)=−f(x)+5，若函数f(x−1)的图象关于直线x=1对称，f(−1)=2，则f(2021)= A.5B.-2C.1D.2【思维升华】14.已知偶函数f(x)满足，且在时，fx=log2x−1，则f−2−1= A.log27-2 B.1 C.log23-2 D.log27-115.(多选)对于函数fx=2sinxcosx，下列关于说法中正确的是A.图像关于直线对称 B.在上单调递增C.最小正周期为π D.在(0，π)上有两个极值点 函数性质的综合应用【方法储备】函数性质综合应用问题的常见类型及解题策略：（1）函数单调性与奇偶性的综合：①奇函数在其关于原点对称的区间上单调性相同，偶函数在其关于原点对称的区间上单调性相反，借助奇偶性可以只研究y轴一侧的单调性，通过对称得出另一侧的性质；②解fa+fb>0类型的不等式，一般函数为奇函数，即可转化为fa>f−b，借助单调性比较大小；（2）周期性与奇偶性的综合：此类问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行变换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解；（3）单调性、奇偶性与周期性的综合：解决此类问题通常先利用周期性转化自变量所在的区间，然后利用奇偶性和单调性求解．【精研题型】16.定义在R上的函数fx满足f−x=−fx，fx−2=fx+2，且x∈−1,0时，fx=2x+15，则flog220= ．17.已知定义在上的偶函数在上单调递增，则A.B.C.D.18.已知函数fx+3为奇函数,且对任意不相等的实数a,b,都有成立,则不等式f3x+1+f−x+6>0的解集为A. B. C. D.19.已知函数fx是定义在[1−2b，b]上的偶函数，且在[0，b]上为单调函数，则方程fx2−18=f2x−98的解集为A.1 B.12,−52 C. 1,12 D. 1,12,−52【思维升华】20.设函数fx=sinx+ex−e−x−x+1,则满足fx+f3−2x<2的x取值范围是A.（3，+∞） B.（1，+∞） C.（-∞，3） D.（-∞，1）21.（多选）已知fx为偶函数，当x1，x2∈(−∞，0]时，恒成立，若对任意的x∈R，都有f(2ax)＜f(2x2+1)，则a的可能取值为A. B.-1 C.1 D.22. 设fx是定义在R上的奇函数,且当,若对任意的,不等式恒成立,则实数t的取值范围是．23.（多选）已知定义域为的函数对任意的实数满足，，并且当时，，则下列选项中正确的是A.函数是奇函数 B.函数在上单调递增C.函数是以2为周期的周期函数 D.。