2021年各地中考数学压轴题精选（新编写）.pdf

1（乐山）如图14，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为（ m，m），点 B 的坐标为（ n，n）， 抛物线经过A、O、B 三点，连结OA、OB、 AB，线段 AB 交 y 轴于点 C已知实数m、 n（mn）分别是方程 2 230 xx的两根 . （1）求抛物线的解析式； （2）若点 P 为线段 OB 上的一个动点（不与点O、 B 重合），直线PC 与抛物线交于D、E 两点 （点 D 在y轴右侧），连结OD、BD. 当 OPC 为等腰三角形时，求点P 的坐标； 求 BOD 面积的最大值，并写出此时点D 的坐标 . 解（ 1）解方程032 2 xx，得3 1 x，1 2 x. nm，1m，3n（1 分） A（- 1，- 1）， B（3，- 3）. 抛物线过原点，设抛物线的解析式为bxaxy 2 . 1, 393 . ab ab 解得 2 1 a， 2 1 b. 抛物线的解析式为xxy 2 1 2 12 . （4 分） （ 2）设直线AB 的解析式为bkxy. 1, 33. kb kb 解得 2 1 k， 2 3 b. 直线 AB 的解析式为 13 22 yx. C 点坐标为（ 0， 2 3 ）.（6 分） 直线 OB 过点 O（0，0）， B（3，- 3）， 直线 OB 的解析式为xy. OPC 为等腰三角形，OC=OP 或 OP=PC 或 OC=PC. 设xP(，)x， （ i）当 OC=OP 时, 22 9 () 4 xx. 解得 4 23 1 x， 2 3 2 4 x（舍去） . P1（ 4 23 ， 4 23 ）. （ ii）当 OP=PC 时，点 P 段 OC 的中垂线上， 2 P( 4 3 ，) 4 3 . 图14 P E D C B A O y x H Q G x y O A B C D E P 图14 （ iii ）当 OC=PC 时，由 4 9 ) 2 3 ( 22 xx， 解得 2 3 1 x，02x（舍去） . P3() 2 3 , 2 3 . P 点坐标为P1（ 4 23 , 4 23 ）或 2 P( 4 3 ,) 4 3 或 P3() 2 3 , 2 3 . （ 9 分） 过点 D 作 DGx 轴，垂足为G，交 OB 于 Q，过 B 作 BHx 轴，垂足为H. 设 Q（x，x）， D(x，xx 2 1 2 12 ). BDQODQBOD SSS=)( 2 1 2 1 2 1 GHOGDQGHDQOGDQ =3) 2 1 2 1 ( 2 1 2 xxx= 16 27 ) 2 3 ( 4 3 2 x， 0 x3， 当 2 3 x时， S取得最大值为 16 27 ，此时 D（ 2 3 ，) 8 3 . （13 分） 2（东营）已知抛物线 36 2 3 2 bxxy经过 A（2， 0）设顶点为点P，与 x 轴的另一交点为点B （1）求 b 的值，求出点P、点 B 的坐标； （2）如图，在直线y=3x 上是否存在点D，使四边形OPBD 为平行四边形？若存在，求出点D 的坐标； 若不存在，请说明理由； （3）在 x 轴下方的抛物线上是否存在点M，使 AMP AMB？如果存在 , 试举例验证你的猜想；如果不 存在，试说明理由 3（黄石）已知抛物线 1 C的函数解析式为 2 3 (0)yaxbxa b，若抛物线 1 C经过点(0, 3)，方程 2 30axbxa的两根为 1 x， 2 x，且 12 4xx。

（1）求抛物线 1 C的顶点坐标 . A P B x y O （第 24 题图） xy3 （2）已知实数 0 x ，请证明： 1 x x 2, 并说明x为何值时才会有 1 2x x . （3）若抛物线先向上平移4 个单位， 再向左平移1 个单位后得到抛物线 2 C，设 1 ( ,)A m y， 2 ( ,)B n y是 2 C 上的两个不同点，且满足： 0 90AOB，0m，0n. 请你用含有m的表达式表示出AOB的面积 S，并求出S的最小值及S取最小值时一次函数OA的函数解析式 （参考公式：在平面直角坐标系中，若 11 (,)P xy， 22 (,)Q xy，则P，Q两点间的距离为 22 2121 ()()xxyy） 解：（ 1）抛物线过（,）点，3a a分 x 2bx x2bx =的两根为x1,x2且 21 x-x 21 2 2121 4)(xxxxxx 且 b b分 x2 x（ x） 抛物线 的顶点坐标为（，）分 （2） x，0) 1 (2 1 x x x x , 2 1 x x显然当 x时，才有,2 1 x x分 （3）方法一：由平移知识易得 的解析式为：y x2 分 (m，m )，B（n，n） AOB 为 Rt OA +OB=AB m mnn（ mn）（ mn） 化简得： m n分 AOB= OBOA 2 1 = 4242 2 1 nnmm m n AOB 2 2221 2 2 1 2 2 1 m mnm 12 2 11 2 1 ) 1 ( 2 1 2 m m m m AOB的最小值为，此时m ,(,)分 直线 OA 的一次函数解析式为x分 方法二：由题意可求抛物线 2 C的解析式为： 2 yx （1 分） 2 (,)A m m， 2 ( ,)B n n 过点A、B作x轴的垂线，垂足分别为C、D，则 AOCBODACDB SSSS 梯形 2222111 ()() 222 mnmnm mn n 1 () 2 mn mn 由BODOAC得 BDOD OCAC 即 2 2 nn mm 1mn （1 分） 1 n m 1 () 2 Smn mn 11 () 2 m m 由（ 2）知： 1 2m m 111 ()21 22 Sm m 当且仅当1m，S取得最小值1 此时A的坐标为（，） （2 分） 一次函数OA的解析式为yx （1 分） 4.（张家界）如同，抛物线23 3 2 2 xxy与x轴交于 C、A 两点，与y 轴交于点B，OB=4 点 O 关 于直线 AB 的对称点为D，E 为线段 AB 的中点 . （1） 分别求出点A、点 B 的坐标 （2） 求直线 AB 的解析式 （3） 若反比例函数 x k y的图像过点D，求k值. （4）两动点P、Q 同时从点A 出发，分别沿AB、 AO 方向向 B、O 移动，点P 每秒移动1个单位，点Q 每秒移动 2 1 个单位，设POQ 的面积为 S，移动时间 为 t,问： S 是否存在最大值？若存在，求出这个最大值， 并求出此时的t 值，若不存在，请说明理由. 5 （泉州） . 如图，点 O为坐标原点， 直线l绕着点 A （0,2 ）旋转，与经过点C （0,1 ）的二次函数hxy 2 4 1 交于不同的两点P、Q. （1）. 求 h 的值； （2）. 通过操作、观察算出POQ 面积的最小值； （3）. 过点 P、C 作直线，与x轴交于点B ，试问：在直线l的旋转过程中四边形AOBQ 是否为梯形，若是，请 说明理由；若不是，请指明其形状. y B(n，n 2) A(m，m 2) O C D y x y x B D P AQ O C 2 P A l Q 图C P O x 解：（ 1）.0,1) 带入二次函数hxy 2 4 1 中，得1h；A (2).操作、观察可知当直线 lx轴时，其面积最小； C Q 将 y=2 带入二次函数1 4 12 xy中，得2x， S 最小=（2 4） 2=4. B （3）由特殊到一般： 一、如图所示，当直线 lx轴时，四边形 AOBQ 为正方形。

O 可知 BO=AQ=2 ； AOB=90 ，故四边形AOBQ 为正方形 二、如图二，当直线l不平行与x轴时，四边形AOBQ 为梯形 连接 BQ ，设 P（1 4 1 , 2 aa），Q(1 4 1 , 2 bb);(ba0) 直线 BC ：1 1x ky过低点 P,即11 4 1 1 2 aka，得ak 4 1 1 ； 1 4 1 ay；点 B为(0, 4 a ); 同理直线l：2 2x ky； 21 4 1 2 2 aka；21 4 1 2 2 bkb；得 b= a 4 ； 所以点 Q、P同横坐标，即为AC BQ ，且 AQ不与 OB平行； 故四边形AOBQ 为梯形 6（荆门）如图甲，四边形OABC 的边 OA、OC 分别在 x 轴、 y 轴的正半轴上，顶点在B 点的抛物线交x 轴于 点 A、D，交 y 轴于点 E，连结 AB、AE、BE已知 tanCBE 1 3 ，A(3，0)，D( 1，0)，E(0，3) (1)求抛物线的解析式及顶点B的坐标； (2)求证： CB 是 ABE 外接圆的切线； (3)试探究坐标轴上是否存在一点P，使以 D、E、P 为顶点的三角形与ABE 相似，若存在，直接写出 点 P 的坐标；若不存在，请说明理由； (4)设 AOE 沿 x 轴正方向平移t 个单位长度 (0t3)时， AOE 与 ABE 重叠部分的面积为s，求 s与 t 之 间的函数关系式，并指出t 的取值范围 (1)解：由题意，设抛物线解析式为ya(x3)(x1) 将 E(0，3)代入上式，解得：a 1 图甲 A E D C B y x O 图乙 (备用图 ) A E D C B y x O y x 22x3 则点 B(1，4)2 分 (2)如图 6，证明：过点B 作 BMy 于点 M，则 M(0，4) 在 RtAOE 中， OAOE3， 1 245 ，AE 22 OAOE32 在 RtEMB 中， EM OMOE1BM， MEB MBE 45 ，BE 22 EMBM2 BEA180 1 MEB 90 AB 是 ABE 外接圆的直径3 分 在 RtABE 中， tanBAE BE AE 1 3 tanCBE， BAE CBE 在 RtABE 中， BAE 390 ， CBE 390 CBA90 ，即 CB AB CB 是 ABE 外接圆的切线5 分 (3)P1(0，0)，P2(9，0)，P3(0， 1 3 )8 分 (4)解：设直线AB 的解析式为ykxb 将 A(3，0)，B(1，4)代入，得 30, 4. kb kb 解得 2, 6. k b y 2x6 过点 E 作射线 EFx 轴交 AB 于点 F，当 y 3时，得 x 3 2 ， F( 3 2 ，3) 9 分 情况一：如图7，当 0t 3 2 时，设 AOE 平移到 DNM 的位置， MD 交 AB 于点 H，MN 交 AE 于点 G 则 ONADt，过点 H 作 LKx 轴于点 K，交 EF 于点 L 由 AHD FHM ，得 ADHK FMHL 即 33 2 tHK HK t 解得 HK 2t S阴SMNDSGNASHAD 1 2 33 1 2 (3t) 21 2 t 2t 3 2 t 23t 11 分 情况二：如图 8， 当 3 2 t3时， 设 AOE 平移到 PQR的位置，PQ 交 AB 于点 I， 交 AE 于点 V 由 IQA IPF， 得 AQIQ FPIP 即 3 33 2 IQ t IQ t 解得 IQ2(3 t) S阴SIQASVQA 1 2 (3t)2(3t) 1 2 (3t) 21 2 (。