初中数学中点模型的构造应用.docx

中点模型的构造及应用一、遇到以下情况考虑中点模型：? 任意三角形或四边形中点或与中点有关的线段? 出现两个或三个中点考虑三角形中线定理? 已知直角三角形斜边中点，可以考虑构造斜边中线? 已知等边、等腰三角形底边中点，可以考虑与顶角连接用“三线合一”? 有些题目不直接给出中点，我们可以挖掘其中隐含中点，比如等腰三角形、 等边三角形、直角三角形、平行四边形、圆中圆心是直径中点等可以出现中 点的图形通常考虑用中点模型? 三角形中线的交点称为重心，它把中线分的线段比为 2:1二、中点模型辅助线构造方法分类（一）倍长中线法（构造全等三角形，八字全等）当已知条件中出现中线时，常常将此中线倍长构造全等三角形解决问题如图，在 ABC中，D为BC中点，延长AD到E使AD=DE连接BE,则有: ADa EDB作用：转移线段和角二）倍长类中线法（与中点有关线段，构造全等三角形，八字全等）当已知条件中出现类中线时，常常将此类中线倍长构造全等三角形解决问 题如图，在 ABC中，D为BC中点，延长ED至ij F使ED=DF连接CF,则有:BE庐 CFQ作用：转移线段和角三）直角三角形斜边中线法当已知条件中同时出现直角三角形和中点时，常构造直角三角形斜边中线， 然后再利用直角三角形斜边的中线性质解决问题。

如下图，在Rt ABC中， ACB 90 , D为AB中点，则有：CD1 AD BD AB 2（四）等腰三角形三线合一当出现等腰三角形时，常隐含有底边中点，将其与顶角连接，可构成三线 合一在 ABC 中:（1）AC=BC ; （2）CD 平分 ACB ;（3） AD=BD ,（4）CD AB“知二得二”：比如由（2） （3）可得出（1） （4）.也就是说，以上四条语句，任意选择两个作为条件，就可以推出剩下两条 ：（五）中位线法当已知条件中同时出现两个及以上中点时， 常考虑构造中位线；或出现一个 中点，要求证明平行线段或线段倍分关系时也常考虑构造中位线1如图，在 ABC中，D, E分别是AR AC边中点，则有DE PBC , DE=—BC2三、练习（一）倍长中线法1. （2014秋？津南区校级期中）已知：在△ ABC中，AD是BC边上的中线，E是 AD上一点，且BE= AC,延长BE交AC于F,求证：AF= EF.2. (2017?!潭)如图，在？ABCD中，DE= CE,连接AE并延长交BC的延长线于点F.(1)求证：△ AD AFCE(2)若 AB= 2BC, /F= 36 .求/ B 的度数3. (2017江西萍乡，15)如图，在△ ABC中，CD是AB边上的中线，E是CD的 中点，过点C作AB的平行线交AE的延长线于点F,连接BF.(1)求证：C已AD;(2)若CA= CB,试判断四边形CDBF的形状，并说明理由.4. (2014?鄂尔多斯)如图1,在？ABCD中，点E是BC边的中点，连接AE并延 长，交DC的延长线于点F.且/ AEO 2/ABE.连接BF、AC.(1)求证：四边形ABFC的是矩形；(2)在图1中，若点M是BF上一点，沿AM折叠AABM,使点B恰好落 段DF上的点B处(如图2), AB= 13, AO 12,求MF的长.5. (2017?贵阳,24) (1)阅读理解：如图①，在四边形 ABCD中，AB// DC, E是 BC的中点，若AE是/BAD的平分线，试判断AB, AD, DC之间的等量关系.解决此问题可以用如下方法：延长AE交DC的延长线于点F,易证△AE AFEC 得至ij AB= FC,从而把AB, AD, DC转化在一个三角形中即可判断.AB、AD、DC之间的等量关系为;(2)问题探究：如图②，在四边形 ABCD中，AB// DC, AF与DC的延长线交于 点F, E是BC的中点，若AE是/BAF的平分线，试探究AB, AF, CF之间的等量 关系，并证明你的结论.(3)问题解决：如图③，AB// CF, AE与BC交于点E, BE: EO 2: 3,点D段AE上，且/ ED已/BAE,试/U断AR DF、CF之间的数量关系，并证明你的结论.E是BC的中点，点A在DE上，且/BAE(二)倍长类中线法1. (2016秋？江都区期中)已知：如图, = /CDE 求证：AB= CD.2. （2017?重庆，24）在4ABM 中，/ ABM = 45 , AMXBM,垂足为 M,点 C 是BM延长线上一点,连接AC（1）如图1,若AB 3四,BO5,求AC的长；（2）如图2,点D是线段AM上一点，MD=MC,点E是4ABC外一点，EC= AC,连接ED并延长交BC于点F,且点F是线段BC的中点，求证：/ BDF= / CEF3. （2017?山西，17）已知：如图，在?ABCD中，延长AB至点E,延长CD至点F,使得BE= DF.连接EF,与对角线AC交于点O. 求证：OE= OF.（三）直角三角形斜边中线法1. （2016?乌鲁木齐，9）如上图，在RtAABC中，点E在AB上，把这个直角三 角形沿CE折叠后，使点B恰好落到斜边AC的中点。

处，若BO3,则折痕CE 的长为（） 上百A. 3 B, 2.3 C, 3.3 D,6 "A E B2. （2015?乌鲁木齐，9）如图，将斜边长为4的直角三角板放在直角坐标系 xOy 中，两条直角边分别与坐标轴重合，P为斜边的中点.现将此三角板绕点 顺时 针旋转120后点P的对应点的坐标是（）a.（瓜 1） b.（1, -V3）C. （2石，2） D. （2, -2百3. (2017?新疆，22)如图，AC为的直径，B为上一点，/ AC况30 延长CB至点D,使得CB= BD,过点D作DH AC 垂足E在CA的延长线上, 连接BE.(1)求证：BE是的切线；(2)当BE= 3时，求图中阴影部分的面积4. (2017?北京，22)如图，在四边形 ABCD中，BD为一条对角线，AD// BC,AD= 2BC, /ABD= 90 , E为 AD 的中点，连接 BE.(1)求证：四边形BCDE为菱形；(2)连接AC,若AC平分/ BAD, BO 1 ,求AC的长.5. (2015北京东城，23)如图，ZXABC中，/ BCA= 90 , CD是边AB上的中 线，分别过点C, D作BA, BC的平行线交于点E,且DE交AC于点0,连接AE.(1)求证：四边形ADCE是菱形；(2)若 AC= 2DE,求 sin/ CDB的值(四)等腰三角形三线合一1. (2017?荆州)如图，在△ ABC中，AB= AC, / A= 30. , AB的垂直平分线l交AC于点D,则/ CBD的度数为( ) 入A.300 B.450 \C.5O0 D.750 ; \2. （2017?陕西，9）如图，4ABC是。

的内接三角形，/C= 30 ,的半径 为5,若点P是上的一点，在^ ABP中，PB= AB,则PA的长为（）A.5B.UC. 5 2 D. 5 , 33. （2017?呼和浩特，18）如图，等腰三角形ABC中, 线.（1）求证：BD= CE（2）设BD与CE相交于点点M , N分别为线段 的重心到顶点A的距离与底边长相等时，判断四边形 理由.BD, CE分别是两腰上的中BO和CO的中点，当AABCDEMN的形状，无需说明（五）中位线法1. （2015?郑州）如图，D 是△ ABC内一点，BDCD, AD= 12, BD= 8, CD= 6,E、F、G、H分别是AR AC、CD BD的中点，则四边形 EFGH的周长是（A.14 B.18 C.20 D.222. （2013?乌鲁木齐，15）如图，ZXABC中，AD是中线，aEb角平分线,F AE于F, AB= 5, AO2,则DF的长为3. （2017?遵义）如图，4ABC的面积是12,点D、E、CE的中点，则4 AFG的面积是（）A.4.5 B.5 C.5.5 D.6F、G 分别是 BG AD、BE4. （2017?天津，17）如图，正方形ABCD和正方形EFCG勺边长分别为3和1, 点F, G分别在边BC, CD上，P为AE的中点，连接PG,则PG的长为 .5. （2014春？研口区期末）如图，已知△ ABC的中线BD、CE相交于点O、M、N 分别为OR OC的中点.（1）求证：MD和NE互相平分；（2）若 BD，AC, EM=2”，OD+C又 7,求AOCB的面积.6. （2017?云南，20）如图，ZXABC是以BC为底的等腰三角形，AD是边BC上的 高，点E、F分别是AR AC的中点.（1）求证：四边形AEDF是菱形；（2）如果四边形AEDF的周长为12,两条对角线的和等于7,求四边形AEDF的面积S.7. （2017?长春）【再现】如图①，在^ ABC中，点D, E分别是AB, AC的中点，1 一可以得到：DE// BC,且DE 1BC （不需要证明）【探究】如图②，在四边形 ABCD中，点E, F, G, H分别是AB, BC, CD, DA的中点，判断四边形EFGH的形状，并加以证明.【应用】在（1）【探究】的条件下，四边形 ABCD中，满足什么条件时，四边 形EFGH^菱形？你添加的条件是： :（只添加一个条件）（2）如图③，在四边形 ABCD中，点E, F, G, H分别是AB, BC, CD, DA的中点，对角线AC, BD相交于点O.若AO=OC,四边形ABCD面积为5,则阴影 部分图形的面积和为 .8. (2015?巴东县模拟)如图，在四边形 ABCD中，AB= DC, E、F分别是AD、BC 的中点，G、H分别是对角线BD、AC的中点.(1)求证：四边形EGFH菱形；5(2)若AB=-,则当/ ABC+ /DCB= 90 时，求四边形EGFH的面积.4 口。