《复变函数与积分变换答案(马柏林、李丹横、晏华辉)修订版习题2》.pdf

习题二习题二1. 求映射下圆周的像求映射下圆周的像.1wzz| 2z 解：设则i ,izxywuv 2222221iiiii()ixyxyuvxyxyxyxyxyxyxy 因为,所以224xy53i44uivxy所以 ,54ux34vy 5344,uvxy所以即，表示椭圆. 2253442uv 222253221uv2. 在映射下，下列在映射下，下列 z 平面上的图形映射为平面上的图形映射为 w 平面上的什么图形，设或平面上的什么图形，设或2wzeiw.iwuv （1）；）； （2）;02,4r02,04r (3) x=a, y=b.(a, b 为实数为实数)解：设222i()2iwuvxiyxyxy所以22,2.uxyvxy(1) 记，则映射成 w 平面内虚轴上从 O 到 4i 的一段，即eiw02,4r04,.2(2) 记，则映成了 w 平面上扇形域，即eiw0,024r04,0.2(3) 记，则将直线 x=a 映成了即是以原点为焦wuiv22,2.uayvay2224().vaau点，张口向左的抛物线将 y=b 映成了22,2.uxb vxb 即是以原点为焦点，张口向右抛物线如图所示.2224()vb bu3. 求下列极限求下列极限. (1) ;21lim1zz解：令,则.1zt,0zt 于是.22201limlim011zttzt(2) ;0Re( )limzzz解：设 z=x+yi，则有Re( )izxzxy000Re( )1limlimi1izxy kxzxzxkxk显然当取不同的值时 f(z)的极限不同所以极限不存在.（3） ；2lim(1)zizizz解：=.2lim(1)zizizz11limlim()()()2ziziziz iz ziz iz （4） .2122lim1zzzzzz解：因为222(2)(1)2,1(1)(1)1zzzzzzzzzzz所以.2112223limlim112zzzzzzzzz4. 讨论下列函数的连续性：讨论下列函数的连续性：(1) 22,0,( )0,0;xyzxyf zz解：因为,220( , )(0,0)lim( )limzx yxyf zxy若令 y=kx,则,222( , )(0,0)lim1x yxykxyk因为当 k 取不同值时，f(z)的取值不同，所以 f(z)在 z=0 处极限不存在.从而 f(z)在 z=0 处不连续，除 z=0 外连续.(2) 342,0,( )0,0.x yzf zxyz解：因为,33422022xyxx yxyxy所以342( , )(0,0)lim0(0)x yx yfxy所以 f(z)在整个 z 平面连续.5. 下列函数在何处求导？并求其导数下列函数在何处求导？并求其导数.(1) (n 为正整数)；1( )(1)nf zz解：因为 n 为正整数，所以 f(z)在整个 z 平面上可导.1( )(1)nfzn z(2) .22( )(1)(1)zf zzz解：因为 f(z)为有理函数，所以 f(z)在处不可导.2(1)(1)0zz从而 f(z)除外可导.1,izz 2222232222(2) (1)(1)(1)(1)(1)( )(1) (1)2543(1) (1)zzzzzzfzzzzzzzz(3) .38( )57zf zz解：f(z)除外处处可导，且.7=5z223(57)(38)561( )(57)(57)zzfzzz (4) .2222( )ixyxyf zxyxy解：因为.2222222i()ii(i )(i )(1i)(1i)1i( )xyxyxyxyxyzf zxyxyxyzz所以 f(z)除 z=0 外处处可导，且.2(1i)( )fzz 6. 试判断下列函数的可导性与解析性试判断下列函数的可导性与解析性.(1) ;22( )if zxyx y解：在全平面上可微.22( , ), ( , )u x yxyv x yx y22,2,2,yuvvyxyxyxxyxy所以要使得， , uvxyuvyx 只有当 z=0 时,从而 f(z)在 z=0 处可导，在全平面上不解析.(2) .22( )if zxy解：在全平面上可微.22( , ), ( , )u x yx v x yy2 ,0,0,2uuvvxyxyxy只有当 z=0 时,即(0,0)处有,.uvxyuvyy 所以 f(z)在 z=0 处可导，在全平面上不解析.(3) ;33( )23if zxy解：在全平面上可微.33( , )2, ( , )3u x yx v x yy226,0,9,0uuvvxyxyxy所以只有当时，才满足 C-R 方程.23xy 从而 f(z)在处可导，在全平面不解析.230 xy(4) .2( )f zz z解：设，则izxy23232( )(i ) (i )i()f zxyxyxxyyx y3232( , ), ( , )u x yxxyv x yyx y22223,2,2,3uuvvxyxyxyyxxyxy所以只有当 z=0 时才满足 C-R 方程.从而 f(z)在 z=0 处可导，处处不解析.7. 证明区域证明区域 D 内满足下列条件之一的解析函数必为常数内满足下列条件之一的解析函数必为常数.(1) ;( )0fz证明：因为，所以,.( )0fz0uuxy0vvxy所以 u,v 为常数，于是 f(z)为常数.(2) 解析.( )f z证明：设在 D 内解析,则( )if zuv()uvuvxyxy ()uvvyxy ,uvuvxyyx 而 f(z)为解析函数，所以,uuuvxyyx 所以即,vvvvxxyy 0uuvvxyxy从而 v 为常数，u 为常数，即 f(z)为常数.(3) Ref(z)=常数.证明：因为 Ref(z)为常数，即 u=C1, 0uuxy因为 f(z)解析，C-R 条件成立。

故即 u=C20uuxy从而 f(z)为常数.(4) Imf(z)=常数.证明：与（3）类似，由 v=C1得0vvxy因为 f(z)解析，由 C-R 方程得,即 u=C20uuxy所以 f(z)为常数.5. |f(z)|=常数.证明：因为|f(z)|=C，对 C 进行讨论.若 C=0，则 u=0,v=0,f(z)=0 为常数.若 C0，则 f(z) 0,但，即 u2+v2=C22( )( )f zf zC则两边对 x,y 分别求偏导数，有220,220uvuvuvuvxxyy利用 C-R 条件，由于 f(z)在 D 内解析，有uvuvxyyx 所以 所以00uvuvxxuvvuxx0,0uvxx即 u=C1,v=C2,于是 f(z)为常数.(6) argf(z)=常数.证明：argf(z)=常数，即,arctanvCu于是222222222()()( / )01( / )()()vuvuuuvuuvv uyyxxv uuuvuuv 得 C-R 条件 00vuuvxxvuuvyy 00vuuvxxvuuvxx 解得，即 u,v 为常数，于是 f(z)为常数.0uvuvxxyy8. 设设 f(z)=my3+nx2y+i(x3+lxy2)在在 z 平面上解析，求平面上解析，求 m,n,l 的值的值.解：因为 f(z)解析，从而满足 C-R 条件.222,3uunxymynxxy223,2vvxlylxyxyuvnlxy3,3uvnlmyx 所以.3,3,1nlm 9. 试证下列函数在试证下列函数在 z 平面上解析，并求其导数平面上解析，并求其导数.(1) f(z)=x3+3x2yi-3xy2-y3i证明：u(x,y)=x3-3xy2, v(x,y)=3x2y-y3在全平面可微,且222233,6,6,33uuvvxyxyxyxyxyxy 所以 f(z)在全平面上满足 C-R 方程，处处可导，处处解析.22222( )i336i3(2i)3uvfzxyxyxyxyzxx(2) .( )e ( cossin )ie ( cossin )xxf zxyyyyyxy证明：处处可微，且( , )e ( cossin ),( , )=e ( cossin )xxu x yxyyyv x yyyxye ( cossin )e (cos )e ( cossincos )xxxuxyyyyxyyyyxe (sinsincos )e (sinsincos )xxuxyyyyxyyyyye ( cossin )e (sin )e ( cossinsin )xxxvyyxyyyyxyyxe (cos( sin )cos )e (cossincos )xxvyyyxyyyyxyy所以, uvxyuvyx 所以 f(z)处处可导，处处解析.( )ie ( cossincos )i(e ( cossinsin )e cosie sin(e cosie sin )i (e cosie sin )eei ee (1)xxxxxxxxzzzzuvfzxyyyyyyxyyxxyyxyyyyyxyz10. 设设 333322i,0.0.0.xyxyzf zxyz求证：求证：(1) f(z)在在 z=0 处连续处连续(2)f(z)在在 z=0 处满足柯西黎曼方程处满足柯西黎曼方程(3)f(0)不存在不存在证明.(1)0,0,0lim( )lim,i,zx yf zu x yv x y而3322,0,0,0,0lim,limx yx yxyu x yxy3322221xyxyxyxyxy3322302xyxyxy3322,0,0lim0 x yxyxy同理3322,0,0lim0 x yxyxy ,0,0lim00 x yf zff(z)在 z=0 处连续(2)考察极限 0( )0limzf zfz当 z 沿虚轴趋向于零时，z=iy，有 3200111ilimi0lim1iiiyyyfyfyyy 当 z 沿实轴趋向于零时，z=x，有 01lim01ixf xfx 它们分别为i,iuvvuxxyy ,uvuvxyyx 满足 C-R 条件(3)当 z 沿 y=x 趋向于零时，有33300i0,01i1iilimlimi21i1ix yx yf xxfxxxxx 不存在即 f(z)在 z=0 处不可导0limzfz11. 设区域设区域 D 位于上半平面，位于上半平面，D1是是 D 关于关于 x 轴的对称区域，若轴的对称区域，若 f(z)在区域在区域 D 内解析，求证在区域内解析，求证在区域 D1内解析内解析 F zf z证明：设 f(z)=u(x,y)+iv(x,y)，因为 f(z)在区域 D 内解析所以 u(x,y),v(x,y)在 D 内可微且满足 C-R 方程，即,uvuvxyyx ，得 ,iv,i,f zu xyxyx yx y,u xyxx,u xyu xyyyy ,v xyxx,v xyv xyyyy 故 (x,y),(x,y)在 D1内可微且满足 C-R 条件,xyyx 从而在 D1内解析 f z13. 计算下列各值计算下列各值(1) e2+i=e2ei=e2(cos1+isin1)(2)2222i3333313eeeecosisinei3322i(3)2222222222ii222222Re eRe eeRe ecosisinecosxyxyxyxyxyxxyxxyyyxyxyyxy(4)i 2i2ii22i2eeeeeexyxyxyx14. 设设 z 沿通过原点的放射线趋于点，试讨论沿通过原点的放射线趋于点，试讨论 f(z)=z+ez的极限的极限解：令 z=rei，对于，z时，r故iieiisicnoslimeelimeerrrrrr 所以 limzf z 15. 计算下列各值计算下列各值(1)3ln23i =ln 13iarg23iln 13i arctan2 (2)ln 33iln2 3iarg 33iln2 3iln2 3i66(3)ln(ei)=ln1+iarg(ei)=ln1+i=i(4)ln ielneiarg ie1i2 16. 试讨论函数试讨论函数。