人教版八年级数学上册习题：12.三角形全等之截长补短(习题及答案).pdf

三角形全等之截长补短（习题）例题示范例 1：如图，在四边形 ABCD 中，ADBC，BDCD 且 BD=CD，DBC=45 过点 C 作 CEAB于 E，交对角线 BD 于 F，连接 AF求证： CF=AB+AFFEDCBA【思路分析】题目中出现了线段的和差倍分（所求为一条线段是另外两条线段之和），所以考虑截长补短 考虑截长的方法，如图所示：ABCDEFH段 CF 上截取 CH=AB，连接 DH，只需证明 AF=HF 即可结 合 题 目 条 件 ， 先 证 明 A B D H C D ， 再 证 明 A D F HDF，从而得到 AF=HF，证明成立 考虑补短的方法，如图所示：FEDCBAH延长 BA 交 CD 的延长线于点 H，只需证明 BH=CF，AH=AF 即可可结合题目条件，先证明CDFBDH，再证明 ADFADH，从而得到 BH=CF，AH=AF，证明成立【过程书写】（截长的方法）段 CF 上截取 CH=AB，连接 DHABCDEFHBDCD，BECE BEF=FDC=90EBF+EFB=90FCD+DFC=90EFB=DFCEBF=FCD在ABD 和HCD 中，ABHCABDHCDBDCDABDHCD（SAS）AD=HD，ADB=HDCADBCADB=DBC=45HDC=45HDF=BDC- HDC=45ADB=HDF在ADF 和HDF 中，ADHDADFHDFDFDFADFHDF（SAS）AF=HFCF=CH+HF=AB+AF巩固练习1.如图，在 ABC 中， BAC=60 ，ABC=80 ，AD 是BAC的平分线求证： AC=AB+BDABCDABCD2.如图， AC 平分BAD，CEAB 于 E，B+D=180 求证： AE=AD+BE3.如图，在 ABC 中， A=100 ，ABC=40 ，BD 是ABC的平分线，延长BD 至 E，使 DE=AD，连接 EC求证： BC=AB+CECDBAECDBAEBEADCBEADC4.已知：如图，四边形ABCD 是正方形， FAD=FAE求证： BE+DF=AE思考小结1.证明线段或角相等时，可以考虑把线段或角放到两个三角形中证明全等如果题目中没有可能全等的三角形，往往考虑通过添加辅助线，构造全等三角形来证明常见构造辅助线的方法：_ ：当已知条件中有中线（中点）时，往往考虑延长中线构造全等三角形_：当题目中出现线段的和差倍分时，往往考虑把多条线段间的数量关系转化为两条线段的等量关系来处理2.利用“截长补短”我们就可以证明直角三角形中非常重要的一个定理：30角所对的直角边是斜边的一半FEDCBA已知：如图，在 RtABC中， C=90 ，A=30 求证： BC12AB【参考答案】巩固练习1.证明略提示：方法一：在 AC上截取 AE=AB，连接 DE，证明 ABDAED，再证明 CE=DE；方法二：延长 AB 到 E，使 BE=BD，连接 DE，证明 ADEADC2.证明略提示：在 AE 上截取 AF=AD，证明 CDACFA，再证明BE=FE3.证明略提示：在 BC 上截取 BF=BA，连接 DF，证明 ABDFBD，再证明 DFCDEC4.证明略30CBA提示：延长 CB 至点 G，使 BG=DF，连接 AG，证明 ABGADF，再证明 AE=GE 即可思考小结1.倍长中线，截长补短2.证明略提示：延长 BC 到 D，使 BD=BA，得到 ABC 为等边三角形， AD=AB，根据三线合一，可得BC=12BD，所以 BC=12AB。