高中数学 第二章 平面向量章末复习课课件 北师大版必修4.ppt

章末复习课第二章 平面向量学习目标1.理解向量、零向量、向量的模、单位向量、平行向量、相反向量、相等向量、两向量的夹角等概念.2.了解平面向量基本定理.3.向量加法的平行四边形法则(共起点)和三角形法则(首尾相接).4.了解向量形式的三角形不等式：||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|和向量形式的平行四边形定理：2(|a|2＋|b|2)＝|a－b|2＋|a＋b|2.5.了解实数与向量的乘法(即数乘的意义).6.向量的坐标概念和坐标表示法.7.向量的坐标运算(加、减、实数和向量的乘法、数量积).8.数量积(点乘或内积)的概念：a·b＝|a||b|cos θ＝x1x2＋y1y2，注意区别“实数与向量的乘法，向量与向量的乘法”.题型探究知识梳理内容索引当堂训练知识梳理知识梳理1.向量的运算：设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2).向量运算法则(或几何意义)坐标运算向量的线性运算加法a＋b＝_______________三角形平行四边形(x1＋x2，y1＋y2)向量的线性运算减法a－b＝______________数乘(1)|λa|＝|λ||a|；(2)当λ＞0时，λa的方向与a的方向 ；当λ＜0时，λa的方向与a的方向 ；当λ＝0时，λa＝0λa＝_________三角形(x1－x2，y1－y2)(λx1，λy1)相同相反向量的数量积运算a·b＝|a||b|cos θ(θ为a与b的夹角)，规定0·a＝0，数量积的几何意义是a的模与b在a方向上的射影的积a·b＝_________x1x2＋y1y22.两个定理(1)平面向量基本定理①定理：如果e1，e2是同一平面内的两个 向量，那么对于这一平面内的 向量a，存在唯一对实数λ1，λ2，使a＝ .②基底：把 的向量e1，e2叫作表示这一平面内 向量的一组基底.(2)向量共线定理向量a(a≠0)与b共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使 .不共线任一λ1e1＋λ2e2不共线所有b＝λa3.向量的平行与垂直a，b为非零向量，设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2).a∥b有唯一实数λ使得___________x1y2－x2y1＝0a⊥b___________________b＝λa(a≠0)a·b＝0x1x2＋y1y2＝0题型探究题型探究答案解析类型一　向量的线性运算反思与感悟向量共线定理和平面向量基本定理是进行向量合成与分解的核心，是向量线性运算的关键所在，常应用它们解决平面几何中的共线、共点问题.跟跟踪踪训训练练1　在△ABC中，E为线段AC的中点，试问段AC上是否存在一点D，使得 ，若存在，说明D点位置；若不存在，说明理由.解答类型二　向量的数量积运算解答例例2　已知a＝(cos α，sin α)，b＝(cos β，sin β)，且|ka＋b|＝ |a－kb|(k>0).(1)用k表示数量积a·b；得(ka＋b)2＝3(a－kb)2，∴k2a2＋2ka·b＋b2＝3a2－6ka·b＋3k2b2，∴(k2－3)a2＋8ka·b＋(1－3k2)b2＝0.∴k2－3＋8ka·b＋1－3k2＝0，(2)求a·b的最小值，并求出此时a与b的夹角θ的大小.∴θ＝60°.解答反思与感悟数量积运算是向量运算的核心，利用向量数量积可以解决以下问题：(1)设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a∥b⇔x1y2－x2y1＝0，a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0.(2)求向量的夹角和模的问题①设a＝(x1，y1)，则|a|＝ .②两向量夹角的余弦(0≤θ≤π)跟踪训练跟踪训练2　已知向量 ＝(3，－4)， ＝(6，－3)， ＝(5－m，－(3＋m)).(1)若点A，B，C能构成三角形，求实数m应满足的条件；解答解解　若点A，B，C能构成三角形，则这三点不共线，解答(2)若△ABC为直角三角形，且∠A为直角，求实数m的值.类型三　向量坐标法在平面几何中的应用解答例例3　 已知在等腰△ABC中，BB′，CC′是两腰上的中线，且BB′⊥CC′，求顶角A的余弦值的大小.反思与感悟把几何图形放到适当的坐标系中，就赋予了有关点与向量具体的坐标，这样就能进行相应的代数运算和向量运算，从而解决问题.这样的解题方法具有普遍性.￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿答案解析当堂训练当堂训练1.在菱形ABCD中，若AC＝2，则 · 等于A.2 B.－2C.| |cos A D.与菱形的边长有关答案解析12345√√＝－2＋0＝－2.A.20 B.15C.9 D.6答案解析√√解析解析　▱ABCD的图像如图所示，由题设知，12345123453.已知向量a＝(1， )，b＝(3，m).若向量a，b的夹角为 ，则实数m等于答案解析√√答案解析12345解析解析　由题意可知，△AOB是以O为直角顶点的等腰直角三角形，5.平面向量a＝( ，－1)，b＝ ，若存在不同时为0的实数k和t，使x＝a＋(t2－3)b，y＝－ka＋tb，且x⊥y，试求函数关系式k＝f(t).得a·b＝0，|a|＝2，|b|＝1.由x⊥y，得[a＋(t2－3)b]·(－ka＋tb)＝0，－ka2＋ta·b－k(t2－3)a·b＋t(t2－3)b2＝0，即－4k＋t3－3t＝0，解答123451.由于向量有几何法和坐标法两种表示方法，它的运算也因为这两种不同的表示方法而有两种方式，因此向量问题的解决，理论上讲总共有两个途径，即基于几何表示的几何法和基于坐标表示的代数法，在具体做题时要善于从不同的角度考虑问题.2.向量是一个有“形”的几何量，因此，在研究向量的有关问题时，一定要结合图形进行分析判断求解，这是研究平面向量最重要的方法与技巧.规律与方法本课结束。