渐近线相关（讲义）2024高考总复习压轴题.pdf

专题1 0渐近线相关知识点一、双曲线的渐近线的基本原理1*2.2 入 尤 V Y 21.双曲线二4二几(；10)的渐近线方程亦为y=九,即一；=0,就是 4=0.a b a a b a b2 2 2 22.双曲线，多=4(4 00)的右焦点为尸，过点尸且与渐近线y=-X垂直的直线分别交a b a两条渐近线于P,Q两点.情 形1.如 下 图.若 丽=0,21).第 1 页 共 2 0 页y2 2 2 2设&,%）,为），则P,Q坐标均满足与-M=o，与-得=o.a b a b又 FP=(%-G%),EQ=(%-c,y2)(凌晨讲数学)则 由 而=2万0,可得:Xy-C 2(/-C)石一 2 =C(1 2)=7 1 =仅 1%=狗2给式乘不再相减得:2 2a-五=0a2 b1(占一疝2)(再+疝2)(也)2 (仅 了 _ J2 7,2 -0+也），仪）=0（凌 晨 讲 数 学）b_ c(l-2)xt-2 x2=c(l-2)”2-.c(2-l)a2 2 2 2,*、故 ,八 二 -1、.由 二 n e-=(*)j i +A x,=0 _ c(A 1)2 2 c A l“2 2情形2.如下图.若Q E =2 F P(0 2 5a2 b2 u 一(%一 回)(+办G _ c-o U2 2与-与=0_ n a-2 j 2I a b第2页 共2 0页_ c-(2+l)%2 疝 1=0 _ 22-.c-(2+l)a2 32 223 4 9A.y=x B.y=-x C.y=x D.y=x3 2 9 4【答案】B【详解】由题意可知，双曲线的焦点在y轴上，所以“2=9涉2=4,即。

3*=2,所以双曲 线?=-1的渐近线方程为y=土;X.故选：Bn ，由-=e =-x?+疝1 =c (4+1)_ c(A+1)2 c A+1 一 ”=提升必考题型归纳题 型【一】、已知方程求双曲线的渐近线方程丫2例1、（2022吉林,辽源市第五中学校高二期末）已知双曲线C:3-y 2=i,则（）A.双曲线C的离心率为正2B.双曲线的焦点到渐近线的距离为1C.双曲线C的渐近线方程y=D.双曲线C左支上的点到右焦点的最短距离为4【答案】ABC【分析】根据双曲线的基本几何量运算即可.丫2L【详解】解：双曲线 C:3-y 2=l 中，a2=4,b2=l,所以2=“2+2=5,则 0=2,6=1,0=百所以双曲线C的离心率为 =9，故A正确；a 2双曲线的焦点为卜石,0）到渐近线V=土;X的距离为=1,故B正确，C正确;双曲线C左支上的点尸到右焦点尸2的距离为|尸囚2君+2,故最短距离为 +2,故D不正确.故选：ABC.r2 v2例2、（2022江苏海安高级中学高二开学考试）双曲线土2L=1的渐近线方程为（）4 9第3页 共2 0页例3、（2 0 2 2辽宁实验中学高二阶段练习）若三个点（-3,1）,（-2,3）,（3,-1）中恰有两个点在双曲线C：-9=1（。

0）上，则双曲线C的渐近线方程为.【答案】y =土变x3【详解】因为三个点（-3,1）,（-2,3）,（3,-1）中恰有两个点在双曲线C:=-y 2=l（a 0）上，a又双曲线的图象关于原点对称，2所以点（一3,1）,（3,-1）在双曲线 C：3-y2=i（a o）上，a所以2-1=1,解得”逑，/2一1 一 包所以其渐近线方程为：y-中一丁.故答案为：y=-x.3小试石712 21.（2 02 2 湖北沙市中学高二期末）设双曲线，-与=1（8 0）,其左焦点为尸，过P作双曲线一条渐近a b线的垂线，垂足为点N,且 与 另 一 条 渐 近 线 交 于 点若M N =N F，则 双 曲 线 的 渐 近 线 方 程 为.【答案】y=土有x【分析】求双曲线的渐近线方程转化为求NMOE，利用FNLON和双曲线的两条渐近线关于丁 对称，可得Z F O N =Z M O E =Z N O M ,即可求出答案.【详解】因为M N =N F，所以N是 的 中 点，第4页 共2 0页因为引0 _ L O N,所以N 垂直平分F N,所以Z F O N =Z N O M ,因为双曲线的两条渐近线关于y 对称，所以N F O N =N M O E,因为 Z F O N+Z M O E+Z N O M=1 8 0,所以 Z F O N =Z M O E =Z N O M =60,所以双曲线的渐近线方程为y=tan 60。

尤=土 氐.故答案为：y=y/3x2 22.（2022湖北沙市中学高二阶段练习）设双曲线多-2=1（080）,其左焦点为尸，过尸作双曲线一a b条渐近线的垂线，垂足为点N,且 与 另 一 条 渐 近 线 交 于 点若 M N =N F，则双曲线的渐近线方程为【答案】y=y/x【详解】因为M N =N F，所以N 是 F N 的中点，因为9 _ L O W,所以QV垂直平分尸A f,所以/F O N =Z N O M ,因为双曲线的两条渐近线关于 对称，所以N F O N =Z M O E,因为 N F O N+Z M O E+Z N O M=1 8 0,所以 Z F O N =Z M O E =Z N O M=60,所以双曲线的渐近线方程为y=tan 6尤=土&.故答案为：y=23.（2022北京二中高二阶段练习）已知双曲线C:尤 2-乙=1经过点（3,2）,则它的渐近线方程为离心率为.【答案】y=2x 亚2【详解】由题知，双曲线C：-2 L =i 经过点（应,2）,4所以2-=1,解得m=4,m2所以双曲线方程为V-2 1=1,4第5页 共2 0页所以双曲线焦点在x 轴上，a=l,b=2,c=y5,所以它的渐近线方程为=2%,离心率为 e=下,故答案为：y =2 x；加.题 型【二】、根据求双曲线的渐近线求标准方程丫2 V2 2例4、（2 02 2 福建三明高二期末）已知双曲线C：工-2 _ =1 的渐近线方程是=土；x,则机=（）m 4 3A.3 B.6 C.9 D.9【答案】C【分析】根据双曲线的渐近线求得加的值.【详解】依题意可知相0,丫2丫2,.2 4 0双曲线L-2L=1 的渐近线为二一 =0,;/=3/,=售 X，m 4 m 4 m 7 m所以 4 m=3,m =9 .故选：C例 5、（2 02 2 江西赣州高三期末（文）1r2已知双曲线C的一条渐近线方程为y =,且与椭圆j+V=1 有2 6公共焦点，则双曲线。

的标准方程为（ATC.6x2_=132=1V2 r2B.-=16 3,2 X2 1D.y-=14【答案】Cb2r2 2【分析】由题意设双曲线方程为/方=1（0,1 0）,则，aa2+Z?2=6-1,求出力的值，从而可得双曲线方程【详解】由题意设双曲线方程为1-=1（0,8 0）,a b1 f因为双曲线C的一条渐近线方程为y=x,且与椭圆三+y2=l 有公共焦点,2 6b _ 1 r _0所以 2 ,解 得 7 1,a2z +b7 2=6右 -11 ib=l所以双曲线C的标准方程为-y2=l,4 .故选：C第6页 共2 0页小试薪I1.(2 02 3 上海高二专题练习)与双曲线V 一 丁=1 有相同的渐近线，且过点(1,2)的双曲线的标准方程为【答案】-=13 3【分析】根据给定条件，设出所求双曲线的方程，利用待定系数法求解作答.【详解】依题意，设双曲线方程为：x2-y2=2(2 0),于是得X=F-2 2=-3,则有尤2-丁=_ 3,2 2所以双曲线的标准方程为2-土=1.3 3v2 f故答案为：二-工=13 32.(2 02 2 全国,高二期末)与双曲线会-方=1 有共同的渐近线，且经过点卜5,2 厉)的 双 曲 线 方 程 为.尤2 V2【答案】土-匕=11 0 4 0【分析】由题设得渐近线为y =2 x,设所求双曲线为4 x 2-y 2=&4eR,将已知点代入求参数几，即可得双曲线方程.【详解】由题设，渐近线方程为y =2 x,令所求双曲线方程为4 Y -a e R,又卜5,2 厉)在双曲线上，贝 I 2 =4 x(-5)2 -(2 岳=1 00-6 0=4 0.2 2所求双曲线方程为土-上=1 0 4 0故答案为：土r2-匕v2=11 0 4 0题 型【三】、根据a b c 的齐次式求双曲线的渐近线2 2例 6、(2 02 2 浙江高二期末)已知F是双曲线C：-1=1 (0,60)的右焦点，过/作 与 x 轴垂4 b直的直线与双曲线交于A,8两点，过厂作一条渐近线的垂线，垂足为P,若|AB|=V E P|,则6=()A.1 B.&C.g D.3【答案】B【分析】设尸(C,。

),分别求出|四|=从 和|即=,即可求出.第7页 共2 0页【详解】设 GO）.过歹作与X轴垂直的直线与双曲线交于A,8两点，则 了 一%=1,解得：ALyKL-yl所以x=c JAB=b2.丫2 J b由双曲线三一=1可得渐近线为y=：x.4 b 2由对称性可知，尸到任一渐近线的距离均相等，不妨求尸到渐近线乐-2 y=0的距离，,.bc所 以FP卜=扬+4因为|明=有 印，所 以 =疯,，解得：b=粗.故选：B2 2例7、（2022四川省成都市新都一中高二期末（文）已知双曲线，-斗=1（0,60）的左，右焦点分别a b为k F2,若双曲线的左支上存在一点尸，使得P&与双曲线的一条渐近线垂直于点Q,且|尸局=引耳Q|,则双曲线的渐近线方程为（）3 4 2 3A.y=?%B.y=x C.y=x D.y=+-x4 3 3 2【答案】D b b【分析】不妨设P在第三象限，尸鸟与渐近线y=尤 垂直，写出直线尸 方程，与方程y=联立求得a a点坐标，再根据|Pg|=3|乙得向量的关系，从而得尸点坐标，尸点坐标代入双曲线方程变形可得：，得渐近线方程.【详解】8（0）,不妨设尸在第三象限，尸为与渐近线y=-2尤垂直，的斜率为，直线尸工方程为y=f（x-c）,abby=xI a设由户段=3 Q|知尸月=一3月Q,即（C一,-%）=-3（一0,一丈）,C C所以与=a竺/-20，y3ab0=-,P（%,%）在双曲线上，c C第8页 共2 0页所以（工 一 加 i，化简得4 c 2=13 1,斗=旦-L。

4b1 _c2-a2 _9 2 _ g2 /4，2 所以渐近线方程是y =9 x.故选：D.例 8、已知双曲线C:、-=l（a 0 力 0）的左顶点为A,右焦点为尸，以歹为圆心的圆与双曲线C的一条渐近线相切于第一象限内的一点5.若直线A3的斜率为g,则双曲线C的离心率为【解析】尸解,0）,4-0）,hb由题意设B(x,2 x),则/Q ,解得=Q-X-=-1x-c a 口 口 A/ab一，即5(,),ab所以=不 2b=a+c,3 c 之 一 2 一 5 a 2=0，3/-2 2-5 =0,a 2-ac解得e =1 或 e =-l (舍去).故答案为：.小试薪I2 21 .已知双曲线二-2=1（0,0）的离心率为2,则该双曲线的渐近线方程为_ _ _ _ _ _ _ _a b【解析】因为双曲 线=工=1 的离心率为2,则2=1 +阳，解得2 =收故双曲线的渐近线方程为y =土 瓜.故答案为：y =3x.2 .（2 0 1 7 天津市红桥区教师发展中心高三期末（文）已知双曲线乃 0）的两条渐近线与抛物a b线 y 2=2 p x（p 0）的准线分别交于点A、B,为坐标原点，若双曲线的离心率为2,三角形A O B 的面积为则 P=()第9页 共2 0页A.1C.2D.3【答案】C【分析】根据双曲线及抛物线的基本性质，求得A 5的坐标，表示出三角形A 0 3的面积，从而求得参数.【详解】由双曲线的离心率为2知，）=上,渐近线方程为y=土6 x,a又抛物线的准线方程为尤=-光，则设渐近线与准线的交点为A（4-浮），B（-g野,三角形A 0 3的面积为:义（*+冬 =6，（p 0）解得。

2,故选：C2 23.（2022全国高二期末）已知月，尸?是双曲线E：-与=l（a 0,b 0）的左。