2016年北京高考数学真题及答案(理科).pdf

数学（理）（北京卷）第 1 页（共11 页） 绝密启封并使用完毕前 2016 年普通高等学校招生全国统一考试 数学（理）（北京卷） 本试卷共5 页， 150 分考试时长120 分钟考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作 答无效考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回 第一部分（选择题共 40 分） 一、选择题共8 小题，每小题5 分，共 40 分在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要 求的一项 （1）已知集合| |2Axx， 1,0,1,2,3B，则 ABI （A） 0,1（B） 0,1,2 （C） 1,0,1 （D） 1,0,1,2 （2）若, x y满足 20, 3, 0, xy xy x 则 2xy 的最大值为 （A）0（B）3 （C）4（D）5 （3）执行如图所示的程序框图，若输入的a 值为 1，则输出的k值为 （A） 1 （B）2 （C）3 （D）4 1kk 1 1 a a 开始 结束 输入 a 输出 k 是 ab 0,kba 否 数学（理）（北京卷）第 2 页（共11 页） （4）设,a b是向量则“ |ab ”是“ |abab ”的 （A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件 （C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件 （5）已知,Rx y，且0 xy，则 （A） 11 0 xy （B） sinsin0 xy （C） 11 0 22 xy （D） lnln0 xy （6）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为 （A） 1 6 （B） 1 3 （C） 1 2 （D）1 （7）将函数 sin(2) 3 yx图象上的点 (, ) 4 Pt向左平移 s (0)s个单位长度得到点P 若 P 位 于函数sin 2yx 的图象上，则 （A） 1 2 t ， s的最小值为 6 （B） 3 2 t ， s的最小值为 6 （C） 1 2 t， s的最小值为 3 （D） 3 2 t， s的最小值为 3 （8）袋中装有偶数个球，其中红球、黑球各占一半甲、乙、丙是三个空盒每次从袋中任 意取出两个球，将其中一个球放入甲盒，如果这个球是红球，就将另一个球放入乙盒， 否则就放入丙盒重复上述过程，直到袋中所有球都被放入盒中，则 （A）乙盒中黑球不多于丙盒中黑球（B）乙盒中红球与丙盒中黑球一样多 （C）乙盒中红球不多于丙盒中红球（D）乙盒中黑球与丙盒中红球一样多 第二部分（非选择题共 110 分） 1 1 1 1 俯视图 正（主）视图侧（左）视图 数学（理）（北京卷）第 3 页（共11 页） 二、填空题共6 小题，每小题5 分，共 30 分。

（ 9 ）设aR若复数 (1i)(i)a在复平面内对应的点位于实轴上，则a （10）在 6 (12 )x的展开式中， 2 x 的系数为 （用数字作答） （11）在极坐标系中，直线cos3 sin10 与圆2cos交于,A B 两点，则 |AB （12）已知 n a为等差数列， n S 为其前 n项和若 1 6a， 35 0aa，则 6 S （13）双曲线 22 22 1(0,0) xy ab ab 的渐近线为正方形OABC的边,OA OC 所在的直线， 点B为该双曲线的焦点若正方形OABC的边长为2，则 a （14）设函数 3 3 , ( ) 2 ,. xxxa f x xxa 若0a，则( )fx 的最大值为； 若( )f x 无最大值，则实数a 的取值范围是 数学（理）（北京卷）第 4 页（共11 页） P D A B C 三、解答题共6 小题，共80 分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程 （15） （本小题13 分） 在ABC中， 222 2acbac （）求B的大小； （）求2coscosAC 的最大值 （16） （本小题13 分） A, B, C 三个班共有100名学生，为调查他们的体育锻炼情况，通过分层抽样获得了部分 学生一周的锻炼时间，数据如下表（单位：小时）： A 班 66.577.58 B 班6789101112 C班34.567.5910.51213.5 （）试估计C班的学生人数； （）从A班和C班抽出的学生中，各随机选取一人，A班选出的人记为甲，C班选出的人记 为乙假设所有学生的锻炼时间相互独立，求该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长的概率； （）再从A, B, C 三个班中各随机抽取一名学生，他们该周的锻炼时间分别是7, 9, 8.25（单 位：小时）这3个新数据与表格中的数据构成的新样本的平均数记为 1，表格中数据 的平均数记为 0 ，试判断 0 和 1的大小（结论不要求证明） （17） （本小题14 分） 如图，在四棱锥PABCD-中，平面PAD平面ABCD，PAPD，PAPD，ABAD， 1AB，2AD，5ACCD （）求证：PD平面PAB； （）求直线PB与平面PCD所成角的正弦值； （）在棱PA上是否存在点M，使得/BM平面PCD？ 若存在，求 AM AP 的值；若不存在，说明理由 数学（理）（北京卷）第 5 页（共11 页） （18） （本小题13 分） 设函数( )e ax f xxbx ，曲线( )yf x 在点 (2,(2)f处的切线方程为(e1)4yx （）求,a b的值； （）求( )f x 的单调区间 （19） （本小题14 分） 已知椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 的离心率为 3 2 ，( ,0)A a，(0, )Bb ，(0,0)O，OAB的 面积为 1 （）求椭圆C的方程； （）设 P是椭圆C 上一点，直线 PA与y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N 求证： | |ANBM为定值 （20） （本小题13 分） 设数列 12:,NAaaaL(2)N 如果对小于(2)nnN的每个正整数k都有knaa ， 则称 n 是数列A的一个“G时刻” 记()G A 是数列A的所有“G时刻”组成的集合 （）对数列:2, 2,1, 1, 3A，写出()G A 的所有元素； （）证明：若数列A中存在 n a 使得1 n aa ，则()G A； （）证明：若数列A满足 1 1 nn aa(2,3,)nNL，则()G A 的元素个数不小于1Naa （考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效） 绝密考试结束前 数学（理）（北京卷）第 6 页（共11 页） 2016 年普通高等学校招生全国统一考试 数学（理）（北京卷） 参考答案 一、选择题（共8 小题，每小题5 分，共 40 分） （ 1）C （2）C （3） B （4）D （ 5）C （6）A （7） A （8）B 二、填空题（共6 小题，每小题5 分，共 30 分） （ 9 ）1（10）60 （11）2（12） 6 （13） 2 （14）2(,1) 三、解答题（共6 小题，共80 分） （15） （共 13 分） 解： （）由余弦定理及题设得 222 2 cos 22 acbac B acac 2 2 又因为 0B， 所以 4 B （）由（）知 3 4 AC 2 coscosAC 3 2coscos() 4 AA 22 2 coscossin 22 AAA 22 cossin 22 AA cos() 4 A 因为 3 0 4 A， 所以当 4 A时，2 coscosAC 取得最大值 1 数学（理）（北京卷）第 7 页（共11 页） （16） （共 13 分） 解： （）由题意知，抽出的20 名学生中，来自 C班的学生有8名根据分层抽样方法， C班的学生人数估计为 8 10040 20 （）设事件 i A 为“甲是现有样本中A班的第 i 个人”，1,2, ,5iL， 事件 j C 为“乙是现有样本中C班的第 j 个人”，1,2, ,8jL 由题意可知， 1 (),1,2, 5 5 i P AiL； 1 (),1,2,8 8 j P CjL 111 ()()() 5840 ijijP ACP A P C，1,2,5iL，1,2,8jL 设事件 E 为“该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长”由题意知， 1112212223313233 EACACA CA CA CACACA CUUUUUUU 414243 A CA CA CUUU 51525354 A CA CACACUUUU. 因此 1112212223()()()()()()P EP ACP ACP A CP A CP AC 313233 ()()()P ACP ACP AC 414243 ()()()P A CP A CP AC 51525354()()()()P ACP ACP ACP AC 13 15 408 （） 10 （17） （共 14 分） 解： （）因为平面PAD平面ABCD，ABAD， 所以AB平面PAD 所以ABPD 又因为PAPD， 所以PD平面PAB （）取AD的中点O，连结,PO CO 因为PAPD， 所以PO AD 又因为PO平面PAD，平面PAD平面ABCD， 所以PO平面ABCD 数学（理）（北京卷）第 8 页（共11 页） 因为CO平面ABCD， 所以PO CO 因为ACCD， 所以COAD 如图建立空间直角坐标系Oxyz-由题意得，(0,1,0)A，(1,1,0)B，(2,0,0)C， (0, 1,0)D，(0,0,1)P 设平面PCD的法向量为( , , )x y zn，则 0, 0, PD PC n n 即 0, 20. yz xz 令2z，则1x，2y 所以(1, 2,2)n 又(1,1, 1)PB ，所以 3 cos, 3 | PB PB PB n n n 所以直线PB与平面PCD所成角的正弦值为 3 3 （）设 M是棱PA上一点，则存在0,1 使得 AMAP 因此点(0,1, )M，( 1,)BM 因为BM平面PCD，所以/BM平面PCD当且仅当0BM n， 即 ( 1, ) (1, 2,2)0 解得 1 4 所以在棱PA上存在点M使得/BM平面PCD，此时 1 4 AM AP P D A B C z yO M x 数学（理）（北京卷）第 9 页（共11 页） （18） （共 13 分） 解： （）因为( )e ax f xxbx ，所以( )(1)e a x fxx b 依题设， (2)2e2, (2)e1, f f 即 2 2 2e22e2, ee1. a a b b 解得2a，eb （）由（）知 2 ( )ee x f xxx 由 21 ( )e(1e) xx fxx及 2 e0 x 知，( )fx 与 1 1e x x同号 令 1 ( )1e x g xx，则 1 ( )1e x gx 所以，当(,1)x时，( )0gx，( )g x 在区间 (,1)上单调递减； 当(1,)x时，( )0g x，( )g x 在区间 (1,) 上单调递增 故(1)1g是( )g x 在区间 (,) 上的最小值， 从而( )0g x，(,)x 综上可知，( )0fx，(,)x故( )f x 的单调递增区间为(, ) （19） （共 14 分） 解： （）由题意得 222 3 , 2 1 1, 2 , c a ab abc 解得2a，1b 所以椭圆C的方程为 2 2 1 4 x y （）由（）知，(2,0)A，(0,1)B 设 00 (,)P xy，则 22 00 44xy 当 0 0 x时， 直线PA的方程为 0 0 (2) 2 y yx x 令0 x，得 0 0 2 2 M y y x ，从而 0 0 2 |1|1 2 M y BMy x 数学（理）（北京卷）第 10 页（共11 页） 直线PB的方程为 0 0 1 1 y yx x 令0y，得 0 0 1 N x x y ，从而 0 0 | |2|2 1 N x ANx y 所以 00 00 2 | |21 12 xy ANBM yx 22 000000 0000 44484 22 xyx yxy x yxy 0000 0000 4488 22 x yxy x yxy 4 当 0 0 x时， 0 1y， |2BM， |2AN， 所以 。