必修二《6.2平面向量的运算》复习教案与课后作业.docx

《6.2平面向量的运算》复习教案6.2.1　向量的加法运算【基础知识拓展】1．准确理解向量加法的三角形法则和平行四边形法则(1)两个法则的使用条件不同三角形法则适用于任意两个非零向量求和，平行四边形法则只适用于两个不共线的向量求和．(2)当两个向量不共线时，两个法则是一致的．如图所示：＝＋(平行四边形法则)，又因为＝，所以＝＋(三角形法则)．(3)在使用三角形法则时，应注意“首尾连接”，这个方法可推广到多个向量相加的情形；在使用平行四边形法则时，应注意范围的限制及和向量与两向量起点相同．2．向量a＋b与非零向量a，b的模及方向的关系(1)当a与b不共线时，a＋b的方向与a，b的方向都不相同，且|a＋b|＜|a|＋|b|.(2)当a与b同向时，a＋b，a，b的方向相同，且|a＋b|＝|a|＋|b|.(3)当a与b反向时，若|a|≥|b|，则a＋b的方向与a的方向相同，且|a＋b|＝|a|－|b|.若|a|＜|b|，则a＋b的方向与b的方向相同，且|a＋b|＝|b|－|a|.【跟踪训练】1．判一判(正确的打“√”，错误的打“”)(1)两个向量相加结果可能是一个数量．(　　)(2)两个向量相加实际上就是两个向量的模相加．(　　)(3)任意两个向量的和向量不可能与这两个向量共线．(　　)答案　(1)　(2)　(3)2．做一做(1)对任意四边形ABCD，下列式子中不等于的是(　　)A.＋ B.＋＋C.＋＋ D.＋＋(2)如图所示，在正六边形ABCDEF中，若AB＝1，则|＋＋|等于(　　)A．1 B．2C. D.(3)如图所示，已知向量a，b，c不共线，求作向量a＋b＋c.答案　(1)C　(2)B(3)解：a，b，c不共线中隐含着a，b，c均为非零向量，因为零向量与任一向量都是共线的．利用三角形法则或平行四边形法则作图．解法一(三角形法则)：如图①所示，作＝a，＝b，则＝a＋b，再作＝c，则＝＋＝(a＋b)＋c，即＝a＋b＋c.解法二(平行四边形法则)：因为a，b，c不共线，如图②所示．在平面内任取一点O，作＝a，＝b，以，为邻边作▱OADB，则对角线＝a＋b，再作＝c，以，为邻边作▱OCED.则＝a＋b＋c.【核心素养形成】题型一 向量的三角形和平行四边形法则例1　如下图中(1)，(2)所示，试作出向量a与b的和．[解]　如下图中(1)，(2)所示，首先作＝a，然后作＝b，则＝a＋b.1、(1)应用三角形法则求向量和的基本步骤①平移向量使之“首尾相接”，即第一个向量的终点与第二个向量的起点重合．②以第一个向量的起点为起点，并以第二个向量的终点为终点的向量，即为两个向量的和．(2)应用平行四边形法则求向量和的基本步骤①平移两个不共线的向量使之共起点．②以这两个已知向量为邻边作平行四边形．③平行四边形中，与两向量共起点的对角线表示的向量为两个向量的和．【跟踪训练】(1)如图，已知a，b，求作a＋b；(2)如图所示，已知向量a，b，c，试作出向量a＋b＋c.解　(1)如图①，②所示．首先作＝a，然后作＝b，则＝a＋b.(2)作法一：如图1所示，首先在平面内任取一点O，作向量＝a，接着作向量＝b，则得向量＝a＋b；然后作向量＝c，则向量＝(a＋b)＋c＝a＋b＋c即为所求．　作法二：如图2所示，首先在平面内任取一点O，作向量＝a，＝b，＝c，以OA，OB为邻边作▱OADB，连接OD，则＝＋＝a＋b.再以OD，OC为邻边作▱ODEC，连接OE，则＝＋＝a＋b＋c即为所求.　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　题型二 向量的加法运算例2　如图，在△ABC中，O为重心，D，E，F分别是BC，AC，AB的中点，化简下列三式：(1)＋＋；(2)＋＋；(3)＋＋.[解]　(1)＋＋＝＋＝.(2)＋＋＝(＋)＋＝＋＝.(3)＋＋＝＋＋＝＋＝.2、解决向量加法运算时应关注的两点(1)可以利用向量的几何表示，画出图形进行化简或计算．(2)要灵活应用向量加法运算律，注意各向量的起、终点及向量起、终点字母的排列顺序，特别注意勿将0写成0.【跟踪训练】化简或计算：(1)＋＋；(2)＋＋＋＋.解　(1)＋＋＝(＋)＋＝＋＝.(2)＋＋＋＋＝(＋)＋(＋)＋＝＋＋＝＋＝0.题型三 利用向量加法证明几何问题例3　已知四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，且＝，＝.求证：四边形ABCD是平行四边形．[证明]　＝＋，＝＋，又∵＝，＝，∴＝，∴AB＝DC且AB∥DC，∴四边形ABCD为平行四边形．3、怎样用向量方法证明几何问题用向量方法证明几何问题，首先要把几何问题中的边转化成相应的向量，通过向量的运算及其几何意义得到向量间的关系，然后再还原成几何问题．【跟踪训练】如图所示，在平行四边形ABCD的对角线BD的反向延长线及延长线上取点E，F，使BE＝DF，求证：四边形AECF是平行四边形．证明　∵＝＋，＝＋，又＝，＝，∴＝，即AE与FC平行且相等．∴四边形AECF是平行四边形.题型四 向量加法的实际应用例4　在水流速度为向东10 km/h的河中，如果要使船实际航行的速度的大小为10 km/h，方向垂直于对岸渡河，求船行驶速度的大小与方向．[解]　如图所示，表示水速，表示船实际航行的速度，表示船速，由＝＋，易知||＝||＝10，又∠OBC＝90，所以||＝20，所以∠BOC＝30，所以∠AOC＝120，即船行驶速度为20 km/h，方向与水流方向的夹角为120.4、应用向量解决平面几何和物理学问题的基本步骤【跟踪训练】在某地抗震救灾中，一救护车从A地按北偏东35的方向行驶800 km到达B地接到受伤人员，然后又从B地按南偏东55的方向行驶800 km送往C地医院，求这辆救护车行驶的路程及两次位移的和．解　如图所示，设，分别表示救护车从A地按北偏东35方向行驶800 km，从B地按南偏东55的方向行驶800 km.则救护车行驶的路程指的是||＋||；两次行驶的位移的和指的是＋＝.依题意，有||＋||＝800＋800＝1600(km)．又α＝35，β＝55，∠ABC＝35＋55＝90.所以||＝＝＝800(km)．其中∠BAC＝45，所以方向为北偏东35＋45＝80.从而救护车行驶的路程是1600 km，两次行驶的位移和的大小为800 km，方向为北偏东80.【课堂达标训练】1．下列等式错误的是(　　)A．a＋0＝0＋a＝aB.＋＋＝0C.＋＝0D.＋＝＋＋答案　B解析　对于A，根据0加任何向量都等于原向量，且向量加法满足交换律，所以A正确；对于B，根据向量的三角形加法运算可得＋＝，故原式等于＋≠0.故B错误；对于C，可知与共线且方向相反，所以＋＝0，所以C正确；对于D，可知＋＋＝＋＝0，又＋＝0，可知D正确．故选B.2．设P是△ABC所在平面内一点，且＋＝＋，则(　　)A.＋＋＝0 B.＋＝0C.＋＝0 D.＋＝0答案　C解析　因为P是△ABC所在平面内一点，＋＝＋，所以P是AC的中点，所以＋＝0.3．若a等于“向东走8 km”，b等于“向北走8 km”，则|a＋b|＝________，a＋b的方向是________．答案　8 km　北偏东45解析　如图所示，设＝a，＝b，则＝a＋b，且△ABC为等腰直角三角形．则||＝8，∠BAC＝45.4．在菱形ABCD中，∠DAB＝60，|A|＝1，则|＋|＝________.答案　1解析　由题意知△ABD为等边三角形，∴|＋|＝||＝1.5．如图，在正六边形OABCDE中，＝a，＝b，试用向量a，b将，，表示出来．解　设正六边形的中心为P，则四边形ABPO，AOEP，ABCP，OPDE均为平行四边形，由向量加法的平行四边形法则得＝＋＝a＋b.∵＝＝，∴＝＝a＋b.在△AOB中，根据向量加法的三角形法则得＝＋＝a＋a＋b.同理，在△OBC中，＝＋＝a＋a＋b＋b，在△OED中，＝＋＝＋＝b＋a＋b.《6.2.1　向量的加法运算》课后作业基础巩固训练一、选择题1．在平行四边形ABCD中，下列式子：①＝＋；②＝＋；③＋＝；④＋＝；⑤＝＋＋；⑥＝＋.其中不正确的个数是(　　)A．1 B．2 C．4 D．6答案　A解析　＋＝，故⑥不正确；其他都正确．2．设a＝(＋)＋(＋)，b是任一非零向量，则在下列结论中，正确的是(　　)①a∥b；②a＋b＝a；③a＋b＝b；④|a＋b|<|a|＋|b|；⑤|a＋b|＝|a|＋|b|.A．①② B．①③ C．①③⑤ D．②④⑤答案　C解析　a＝(＋)＋(＋)＝＋＋＋＝0，易知①③⑤正确．故选C.3．已知D，E，F分别是△ABC的边AB，BC，CA的中点，则下列等式中不正确的是(　　)A.＋＝B.＋＋＝0C.＋＝D.＋＝答案　D解析　由向量加法的平行四边形法则可知，＋＝≠.4．已知四边形ABCD是菱形，则下列等式中成立的是(　　)A.＋＝ B.＋＝C.＋＝ D.＋＝答案　C解析　由四边形ABCD是菱形知C＝B，则A＋B＝A＋C＝A.故选C.5．已知△ABC的三个顶点A，B，C及平面内一点P满足＋＝，则下列结论中正确的是(　　)A．P在△ABC的内部B．P在△ABC的边AB上C．P在AB边所在的直线上D．P在△ABC的外部答案　D解析　由＋＝可得四边形PBCA为平行四边形，所以点P在△ABC的外部．二、填空题6．根据图示填空．(1)＋＝________；(2)＋＋＝________；(3)＋＋＝________.答案　(1)　(2)　(3)解析　由三角形法则知(1)＋＝＋＝.(2)＋＋＝＋＝.(3)＋＋＝＋＝.7．已知＝a，＝b，＝c，＝d，＝e，则a＋b＋c＋d＝________.答案　e解析　a＋b＋c＋d＝＋＋＋＝＝e.8．若P为△ABC的外心，且＋＝，则∠ACB＝________.答案　120解析　如图，因为＋＝，则四边形APBC是平行四边形．又P为△ABC的外心，所以||＝||＝||.因此，∠ACB＝120.三、解答题9．已知矩形ABCD中，宽为2，长为2，＝a，＝b，＝c，试作出向量a＋b＋c，并求出其模的大小．解　如图，作＝，则a＋b＋c＝，a＋b＋c＝＋＋＝2＝2c，∴|a＋b＋c|＝|2|＝2＝8.能力提升训练1．在某地大地震后，一架救援直升飞机从A地沿北偏东60方向飞行了40 km到B地，再由B地沿正北方向飞行40 km到达C地，此时直升飞机位于A地________方向，与A地的距离为________km.答案　北偏东30　40解析　如图所示，设，分别是直升飞机两次位移，则表示两次位移的合位移，即＝＋.在Rt△ABD中，||＝20 km，||＝20 km，在Rt△ACD中，||＝＝40 km，∠CAD＝60，即此时直升飞机位于A地北偏东30，与A地的距离为40 km.2．已知船在静水中的速度为20 m/min，水流的速度为10 m/m。