分类讨论在中考中的应用.doc
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分类讨论”在数学中考中的应用惠阳一中 周银燕分类讨论的思想是解题的一种常用思想方法，它有利于培养和发展学生思维的条理性、缜密性、灵活性，使学生学会完整地考虑问题、化整为零地解决问题，学生只有掌握了分类的思想方法，在解题中才不会出现漏解的情况利用分类讨论思想和方法解决的问题大概分成两类，一类是涉及代数式或函数或方程中，根据字母不同的取值情况，分别在不同的取值范围内讨论解决问题；一类是根据几何图形的点和线出现不同位置的情况，逐一讨论解决问题分类讨论的一般步骤：①确定分类对象；②进行合理分类；③逐类进行讨论；④归纳作出结论.近几年来，“分类讨论”在各地中考命题中频频出现，此类题综合性强，难度较大，对考生的能力要求较高，具有选拔性，考生在做此类题时，常常感到很困难，答不完整，易丢分，因此针对这种题型的特点和重要性，结合一些中考题，对一些常见的分类讨论的思想做如下简单的总结一、与代数式有关的分类讨论例1. 已知两数4和8，试写出第三个数，使这三个数中，其中一个数是另外两个数的比例中项，求第三个数 分析：这是一道开放性题目，它需分几种情况讨论不妨设第三个数为x，由可得； 由得； 由可得。
故第三个数为2，或16，或例2.某旅行杜拟在暑假期间面向学生推出“林州红旗渠一日游”活动，收费标准如下：人数m0
分析：（1）首先根据题意求出C点的坐标，然后根据中点坐标公式求出D点坐标，由反比例函数（x＞0，k≠0）的图象经过线段BC的中点D，D点坐标代入解析式求出k即可；（2）分两步进行解答，①当D在直线BC的上方时，即0＜x＜1，如图1，根据S四边形CQPR=CQ•PD列出S关于x的解析式S四边形CQPR=CQ•PD=x•（﹣2）=2﹣2x（0＜x＜1），②当D在直线BC的下方时，即x＞1，如图2，依然根据S四边形CQPR=CQ•PD列出S关于x的解析式S四边形CQPR=CQ•PD=x•（2﹣）=2x﹣2（x＞1）．解：（1）∵正方形OABC的边OA、OC分别在x轴、y轴上，点B的坐标为（2，2），∴C（0，2），∵D是BC的中点，∴D（1，2），∵反比例函数（x＞0，k≠0）的图象经过点D，∴k=2；（2）当D在直线BC的上方时，即0＜x＜1，如图1，∵点P（x，y）在该反比例函数的图象上运动，∴y=，∴S四边形CQPR=CQ•PD=x•（﹣2）=2﹣2x（0＜x＜1），如图2，同理求出S四边形CQPR=CQ•PD=x•（2﹣）=2x﹣2（x＞1），综上S=．评析：函数的分类讨论主要是通过变量之间的关系建立函数关系式，然后根据实际情况进行分类讨论或在有实际意义的情况下的讨论，在讨论问题的时候要注意特殊点的情况.四、与三角形有关的分类讨论例6. 一个等腰三角形两边的长分别为4和5，那么这个三角形的周长是（ ）。
A．13 B．14 C．15 D．13或14分析：等腰三角形两边的长分别为4和5，若以4为腰，则底边为5，因为，满足三角形任意两边之和大于第三边，此时这个三角形周长为4+4+5=13，若以5为腰，则底边为4，因为，满足三角形任意两边之和大于第三边，所以此时这个三角形的周长为5+5+4=14，所以这个等腰三角形的周长为13或14，故选D.例7．如图，以矩形OABC的顶点O为原点，OA所在的直线为x轴，OC所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系．已知OA＝3，OC＝2，点E是AB的中点，在OA上取一点D，将△BDA沿BD翻折，使点A落在BC边上的点F处．（1）直接写出点E、F的坐标；（2）设顶点为F的抛物线交y轴正半轴于点P，且以点E、F、P为顶点的三角形是等腰三角形，求该抛物线的解析式；解析：①解决翻折类问题，首先应注意翻折前后的两个图形是全等图，找出相等的边和角．其次要注意对应点的连线被对称轴（折痕）垂直平分．结合这两个性质来解决．在运用分类讨论的方法解决问题时，关键在于正确的分类，因而应有一定的分类标准，如E为顶点、P为顶点、F为顶点．在分析题意时，也应注意一些关键的点或线段，借助这些关键点和线段来准确分类．这样才能做到不重不漏．③解决和最短之类的问题，常构建水泵站模型解决．解：（1）；．（2）在中，， ．设点的坐标为，其中， 顶点，设抛物线解析式为．①如图①，当时，，．解得（舍去）；．． ．解得．抛物线的解析式为②如图②，当时，，．解得（舍去）．③当时，，这种情况不存在．综上所述，符合条件的抛物线解析式是．五、与四边形有关的分类讨论例8.已知：在平面直角坐标系中，以点A（2,1）、B（5,1）、C（4,3）、D为顶点的四边形是平行四边形，求顶点D的坐标。
分析：先在平面直角坐标中描出点A、B、C的位置，然后分三种情况讨论：以AB为对角线，则可求出点D的坐标为（3，-1）；以BC为对角线，则可求出点D的坐标为（7，3）；以AC为对角线，则可求出点D的坐标为（1，3）；综上所述，点DD的坐标为：（3，-1）、（7,3）或（1,3）六、与圆有关的分类讨论例9.如图，已知⊙O的半径为6 cm，射线PM经过点O，OP＝10 cm，射线PN与⊙O相切于点Q.A、B两点同时从点P出发，点A以5 cm/s的速度沿射线PM方向运动，点B以4 cm/s的速度沿射线PN方向运动．设运动时间为t (s)．(1)求PQ的长；(2)当t为何值时，直线AB与⊙O相切 图1图2 总之，分类讨论是中学数学中常用的一种数学思想方法之一，在研究此类问题的解法时，需认真审题，全面考虑，对可能存在的各种情况进行讨论，做到不重、不漏、条理清晰．同学们在做题时要注意以下几点：1.熟知直角三角形的直角，等腰三角形的腰与角以及圆的对称性，根据图形的特殊性质，找准讨论对象，逐一解决在探讨等腰或直角三角形存在时，一定要按照一定的原则，不要遗漏，最后要综合。
2.讨论点的位置，一定要看清点所在的范围，是在直线上，还是在射线或者线段上 3.图形的对应关系多涉及到三角形的全等或相似问题，对其中可能出现的有关角、边的可能对应情况加以分类讨论 4.代数式变形中如果有绝对值、平方时，里面的数开出来要注意正负号的取舍 5.考查点的取值情况或范围这部分多是考查自变量的取值范围的分类，解题中应十分注意性质、定理的使用条件及范围6.函数题目中如果说函数图象与坐标轴有交点，那么一定要讨论这个交点是和哪一个坐标轴的哪一半轴的交点7.由动点问题引出的函数关系，当运动方式改变后比如从一条线段移动到另一条线段是，所写的函数应该进行分段讨论 由于考试题目千变万化，上面所列的项目不一定全面，所以还需要同学们在平时做题的时候多多积累 考点3：在实际应用中代数分类讨论问题【巩固练习】1.两个不相等的无理数，它们的乘积为有理数，这两个数可以是 ．2. 已知α、β是方程x2+x+a=0的两个实数根求 a的取值范围；⑵试用a表示|α|+|β|3.当m是什么整数时，关于x的方程：x2－2(m+1)x+m2+2=0，与方程⑵：x2+(2m－3)x+m2－7=0的根都是整数？4.已知直线y=－x+8和双曲线。
⑴k满足什么条件时，这两个函数在同一直角坐标系中的图象有两个交点？⑵设⑴中的两个交点为A、B，试比较∠AOB的度数与90°的大小5.已知抛物线y＝－5mx+4m2 (m为常数). (1)求证：此抛物线与x轴一定有交点； (2)是否存在正数m，使已知抛物线与x轴两个交点的距离等于？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由.6.某市在道路改造过程中，需要铺设一条长为1000米的管道，决定由甲、乙两个工程队来完成这一工程.已知甲工程队比乙工程队每天能多铺设20米，且甲工程队铺设350米所用的天数与乙工程队铺设250米所用的天数相同.（1）甲、乙工程队每天各能铺设多少米？（2）如果要求完成该项工程的工期不超过10天，那么为两工程队分配工程量（以百米为单位）的方案有几种？请你帮助设计出来.【达标演练】1． 已知α、β是方程x2+x+a=0的两个实数根求 a的取值范围；⑵试用a表示|α|+|β|2． 一次函数的图象分别与x轴、y轴交于A、B两点，点C（a，0）（a<0）使△ABC为等腰三角形，求经过B、C两点的一次函数的解析式3． 已知矩形的长大于宽的2倍，周长为12，从它的一个顶点作一条射线，将矩形分成一个三角形和一个梯形，且这条射线与矩形一边所成的角的正切值等于，设梯形的面积为S，梯形中较短的底的长为x，试写出S与x的函数关系式，并求出自变量x的取值范围。
4．已知抛物线y＝－5mx+4m2 (m为常数). (1)求证：此抛物线与x轴一定有交点；(2)是否存在正数m，使已知抛物线与x轴两个交点的距离等于？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由.5．在直角。
