高中数学复习 均值不等式及不等式综合（原卷版）.docx

均值不等式及不等式综合 目录题型一：公式直接用 1题型二：公式成立条件 2题型三：对勾型凑配 3题型四：“1”的代换：基础代换型 4题型五：“1”的代换：有和有积无常数型 4题型六：“1”的代换：有和有积有常数型 5题型七：分母构造型：分母和定无条件型 5题型八：分母构造型：分离型型 6题型九：分母构造型：一个分母构造型 7题型十：分母构造型：两个分母构造型 7题型十一：分离常数构造型 8题型十二：换元构造型 9题型十三：分母拆解凑配型 9题型十四：万能“K”型 10题型十五：均值不等式应用比大小 11题型十六：利用均值不等式求恒成立参数型 12题型十七：因式分解型 12题型十八：三元型不等式 13题型一：公式直接用基本不等式：≤；(1) 基本不等式成立的条件：a>0，b>0； (2) (2)等号成立的条件：当且仅当a＝b.(3) 基本不等式的变形：①a＋b≥2，常用于求和的最小值；②ab≤2，常用于求积的最大值；1．（22-23高三·北京·阶段练习）若，且，则在下列四个选项中，最大的是（     ）A． B． C． D． 2．（22-23高三·全国·课后作业）若，则下列不等式中不成立的是（    ）A． B．C． D． 3．（22-23高一下·黑龙江佳木斯·开学考试）设，，且，则的最小值为（    ）A．18 B．9 C．6 D．3 4．（23-24高一下·河南·开学考试）设，则（    ）A． B．C． D． 5．（2024·重庆·模拟预测）设且，则的最大值为 题型二：公式成立条件利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.1．（23-24高三·辽宁本溪·开学考试）下列函数中，最小值为2的是（    ）A． B．C． D． 2．（23-24高三·安徽六安·开学考试）设，，则“”是“”的 （    ）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（23-24高三·西藏林芝·期中）下列命题中正确的是（    ）A．若，且，则B．若，则C．若，则D．对任意，均成立. 4．（多选）（23-24高三·四川眉山·期中）下列结论正确的是（    ）A．若，则 B．若，则C．若且，则 D．若，则 5．（多选）（23-24高三·重庆南岸·期中）下列说法正确的是（    ）A．函数的最大值是 B．函数的最小值是2C．函数的最小值是6 D．若，则的最小值是8 6．（多选）（23-24高三·贵州贵阳·阶段练习）下列命题中正确的是（    ）A．当时，B．若，则函数的最小值等于C．若，则的取值范围是D．的最大值是 题型三：对勾型凑配1.对勾型结构： 容易出问题的地方，在于能否“取等”,如，2.对勾添加常数型对于形如，则把转化为分母的线性关系：可消去。

不必记忆，直接根据结构转化1．（2023·湖南岳阳·模拟预测）已知函数，则当时，有（    ）A．最大值 B．最小值C．最大值 D．最小值 2．（23-24高三 ·陕西西安·阶段练习）函数的最小值为（    ）A．2 B．5 C．6 D．7 3．（21-22高二上·陕西咸阳·期中）已知函数的定义域为，则的最大值为（    ）A．5 B． C．1 D． 4．（23-24高三·吉林·阶段练习）已知，则的最小值是（    ）A．6 B．8 C．10 D．12 5．（23-24高三·广东佛山·模拟）函数，的最小值为（    ）A．1 B．2 C．3 D．5 题型四：“1”的代换：基础代换型“1”的代换.利用常数代换法多称之为“1”的代换1．（2022高三上·全国·专题练习）若，，且，则的最小值为（    ）A．2 B．3 C．4 D．5 2．（23-24高三·贵州黔南·阶段练习）已知且，则的最小值为（　　）A． B．8 C．9 D．10 3．（23-24高三·河南南阳·阶段练习）若，，则的最小值是（   ）A．2 B．4 C．3 D．8 4．（22-23高一下·湖南邵阳·阶段练习）设，，若，则的最小值为（    ）A． B．4 C．9 D． 5．（22-23高三·内蒙古呼和浩特·期中）已知x，y为正实数，且，则的最小值是（    ）A．2 B．4 C．8 D．16 题型五：“1”的代换：有和有积无常数型有和有积无常数形如，可以通过同除ab，化为构造“1”的代换求解1．（23-24高三上·江苏连云港·阶段练习）若，，且，则的最小值为（    ）A． B． C．6 D． 2．（23-24高二上·陕西西安·期中）已知且，则的最小值为（    ）A． B．10 C．9 D． 3．（2022·四川乐山·一模）已知，，且，则的最小值为（    ）A． B． C． D．4．（21-22高三·山西太原·阶段练习）已知，，，则的最小值为（    ）A．2 B．3 C． D． 5．（23-24高一下·广西·开学考试）已知，，且，则的最小值是（    ）A． B． C． D． 题型六：“1”的代换：有和有积有常数型有和有积有常数形如求型，可以对“积pxy”部分用均值，再解不等式，注意凑配对应的“和”的系数系数，如下：1．（23-24高三·广西·模拟）已知，则的最大值为（    ）A．2 B．4 C．8 D． 2．（23-24高三·甘肃·模拟）若正数a，b满足，则ab的取值范围是（    ）A． B．C． D． 3．（23-24高三·江苏·模拟）已知正实数，满足，则的最小值是（    ）A．8 B．6 C．4 D．2 4．（23-24高三·安徽阜阳·模拟）已知正实数满足，记的最小值为；若且满足，记的最小值为.则的值为（    ）A．30 B．32 C．34 D．36 5．（23-24高三·福建莆田·模拟）已知，，，则的最小值是（    ）A． B． C． D． 题型七：分母构造型：分母和定无条件型无条件分母和定型型，满足（定值），则可以构造 1．（2020高三·全国·专题练习）的最小值为（   ）A．2 B．16 C．8 D．12 2．（21-22高三·福建莆田·期末）当时，的最小值为（    ）A． B． C．6 D． 3．（2024·山西临汾·三模）若，则的最小值是（    ）A．1 B．4 C． D． 4．（22-23高三·江苏南通·模拟）函数（）的最小值是（　　）A． B． C． D． 5．（23-24高三·四川成都·期中）若，则的最小值为（   ）A．12 B． C． D． 题型八：分母构造型：分离型型对勾分离常数型（换元型）型，可以通过换元分离降幂，转化为对勾型 1．（21-22高三·辽宁沈阳·模拟）若不等式在区间上有解，则实数a的取值范围是（    ）A． B． C． D． 2．（23-24高三·海南海口·阶段练习）若函数在是增函数，则实数的取值范围是（    ）A． B．C． D． 3．（2020高三·河北石家庄·阶段练习）已知，则 的最大值是（    ）A． B． C．2 D．7 4．（20-21高三·辽宁大连·模拟）“”是“关于的不等式（）有解”的（     ）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 5．（20-21高三·浙江绍兴·期中）若 ，则有（    ）A．最大值 B．最小值 C．最大值 D．最小值 题型九：分母构造型：一个分母构造型单分母形如，求型，则可以凑配，再利用“1”的代换来求解。

其中可以任意调换a、b系数，来进行变换凑配1．（23-24高三·浙江温州·模拟）已知非负实数满足，则的最小值为（    ）A． B．2 C． D． 2．（23-24高一下·福建南平·期中）已知，，，则的最小值为（    ）A．2 B．1 C． D． 3．（23-24高三下·江苏扬州·开学考试）已知实数，，满足，则的最小值为（    ）A． B． C． D． 4．（23-24高三·浙江·模拟）已知，，且，则的最小值为（    ）A．4 B．6 C．8 D．9 5．（23-24高三·广东肇庆·模拟）已知，，，则的最小值为（    ）A．15 B．16 C．17 D．18 题型十：分母构造型：两个分母构造型双分母形如，求型，则可以凑配，再利用“1”的代换来求解其中可以任意调换a、b系数，来进行变换凑配1．（2024·全国·模拟预测）设正实数a，b满足，则的最小值为（    ）A． B． C． D． 2．（23-24高三·浙江·期中）已知，且，则的最小值为（    ）A．1 B． C．9 D． 3．（23-24高三·江苏徐州·阶段练习）已知正实数满足，不等式恒成立，则实数m的取值范围是（    ）A． B． C． D． 4．（23-24高三上·江苏南京·阶段练习）已知非负实数，满足，则的最小值为（    ）A． B． C． D． 5．（23-24高三·湖北·阶段练习）若，且，则的最小值为（    ）A．3 B． C． D． 题型十一：分离常数构造型对于分式型不等式求最值，如果分子上有变量，可以通过常数代换或者分离常熟，消去分子上变量，转化为分式型常数代换或者分式型分母和定来求解分离常数技巧： 1．（23-24高三·广东佛山·阶段练习）已知正数，满足，则的最小值是（    ）A． B． C． D． 2．（23-24高三上·广东东莞·期中）已知a，b为正实数，且，则的最小值为（    ）A． B． C． D． 3．（23-24高三·全国·期末）已知，，且，则的最小值为（    ）A．4 B． C． D．5 4．（23-24高三·湖北武汉·模拟）已知且，则的最小值为（    ）A． B． C．1 D． 5．（22-23高一下·云南·阶段练习）已知，，，则的最小值为（    ）A． B． C． D． 题型十二：换元构造型若已知（定值），型，则可通过线性换元，令，反解出代入条件等式中，换元为简单的条件不等式1．（23-24高三上·四川巴中·开学考试）已知且，则的最小值为（    ）A．10 B．9 C．8 D．7 2．（23-24高三上·山东·阶段练习）已知实数x，y满足，且，则的最小值为（    ）A．3 B．4 C．5 D．6 3．（21-22高三·河南洛阳·阶段练习）。