11.2.1三角形的内角和(优质课)获奖PPT精品文档.ppt

三角形的内角和三角形的内角和1 1同学们，你们知道同学们，你们知道““三角形三角形内角和等于内角和等于180180度度””这个结论这个结论最早是谁提出的吗？最早是谁提出的吗？数数学学史史话话帕斯卡帕斯卡：：（（16231623——16621662））法国著法国著名的数名的数学家学家2 2方法：度量、剪拼、折叠方法：度量、剪拼、折叠 　　　　问题问题1　在小学我们已经知道任意一个　在小学我们已经知道任意一个三角形三个内角的和等于三角形三个内角的和等于180°°，你还记，你还记得是怎么发现这个结论的吗？请大家利得是怎么发现这个结论的吗？请大家利用手中的三角形纸片进行探究．用手中的三角形纸片进行探究． 实验操作，探究新知实验操作，探究新知3 3BAC任意画一个三角形，测量三角形的三个内任意画一个三角形，测量三角形的三个内角并求和，你有什么发现？角并求和，你有什么发现？三角形三个内角的和是三角形三个内角的和是180̊4 45 512BAC6 6 已知：如图已知：如图 , ,△△ABC.ABC. 求证：求证：求证：求证：∠∠∠∠A+A+∠∠∠∠B+B+∠∠∠∠C=180°C=180° 证明：作证明：作证明：作证明：作BCBC的延长线的延长线的延长线的延长线CDCD，，，， 过点过点过点过点C C作射线作射线作射线作射线CECE∥∥∥∥BABA，，，， 则则则则 ∠∠∠∠2=2=∠∠∠∠A A （（（（两直线平行，内错角相等），两直线平行，内错角相等），两直线平行，内错角相等），两直线平行，内错角相等）， ∠∠∠∠1=1=∠∠∠∠B B （（（（两直线平行，同位角相等）。

两直线平行，同位角相等）两直线平行，同位角相等）两直线平行，同位角相等） ∵∠∵∠∵∠∵∠1+1+∠∠∠∠2+2+∠∠∠∠ACB=180°ACB=180°（（（（1 1平角平角平角平角=180°=180°），），），）， ∴∠∴∠∴∠∴∠A+A+∠∠∠∠B+B+∠∠∠∠ACB=180° ACB=180° （（（（等量代换）等量代换）等量代换）等量代换）BAC12DE7 7 ①过三角形一个顶点，用构造平角将三个角化归为平角来证明定理 那这个点是任意的吗？请同学们思考然后分那这个点是任意的吗？请同学们思考然后分小组讨论小组讨论1）思维能力训练21ABCDE三角形的边上 三角形内部 三角形外部 归纳结论8 8 已知：如图已知：如图 , ,△△ABC.ABC. 求证：求证：求证：求证：∠∠∠∠A+A+∠∠∠∠B+B+∠∠∠∠C=180°C=180° 证明：过点证明：过点证明：过点证明：过点A A作射线作射线作射线作射线DEDE∥∥∥∥BCBC，，，， 则则则则 ∠∠∠∠2=2=∠∠∠∠C C （（（（两直线平行，内错角相等），两直线平行，内错角相等），两直线平行，内错角相等），两直线平行，内错角相等）， ∠∠∠∠1=1=∠∠∠∠B B （（（（两直线平行，内错角相等）。

两直线平行，内错角相等）两直线平行，内错角相等）两直线平行，内错角相等） ∵∠∵∠∵∠∵∠1+1+∠∠∠∠2+2+∠∠∠∠BAC=180°BAC=180°（（（（1 1平角平角平角平角=180°=180°），），），）， ∴∠∴∠∴∠∴∠A+A+∠∠∠∠B+B+∠∠∠∠BAC=180° BAC=180° （（（（等量代换）等量代换）等量代换）等量代换）21ABCDE9 9 ②这个点在三角形的边上如何？C21AB3EFD1010 已知：已知：△△ABCABC求证：求证：∠∠A A＋＋∠∠B B＋＋∠∠C=180̊C=180̊证明：在证明：在△△ABCABC边上任取一点边上任取一点D D，过点，过点D D做直线做直线DFDF∥∥AB, DEAB, DE∥∥AC; AC; ∵∵ABAB∥∥DF (DF (已知）已知） ∴∠∴∠B=B=∠∠1 1 （两直线平行，同位角相等）（两直线平行，同位角相等） ∴∠∴∠A=A=∠∠DFC DFC （两直线平行，同位角相等）（两直线平行，同位角相等） ∵∵DEDE∥∥ACAC（已知）（已知） ∴∠∴∠C=C=∠∠2 2 （两直线平行，同位角相等）（两直线平行，同位角相等） ∴∠∴∠DFC=DFC=∠∠3 (3 (两直线平行，内错角相等）两直线平行，内错角相等） ∴∠∴∠A=A=∠∠3 (3 (等量代换）等量代换） ∵∠∵∠1 1＋＋∠∠2 2＋＋∠∠3=180̊3=180̊（平角定义）（平角定义） ∴∠∴∠A A＋＋∠∠B B＋＋∠∠C=180̊C=180̊ C21AB3EFD1111 ③这个点能否为三角形内部任意一点。

C24AB3EQDFPGH11212 已知：△ABC 求证：∠A＋∠B＋∠C=180̊证明：在△ABC内部任取一点D，过点D做直线EF∥BC, GQ∥AB; PH∥AC; ∵EF∥BC (已知） ∴∠B=∠1 （两直线平行，同位角相等） ∴∠C=∠3 （两直线平行，同位角相等） ∵QG∥AB（已知） ∴∠1=∠2 （两直线平行，同位角相等） ∴∠A=∠DQF （两直线平行，同位角相等） ∵PH∥AC（已知） ∴∠PDQ=∠DQF (两直线平行，内错角相等） ∴∠3=∠4 (两直线平行，同位角相等） ∵∠B=∠1 ∠1=∠2 ∴∠B=∠2（等量代换） ∵∠C=∠3 ∠3=∠4 ∴∠C=∠4（等量代换） ∵∠A=∠DQF ∠PDQ=∠DQF ∴∠A=∠PDQ（等量代换） ∵∠2＋∠4＋∠PDQ=180̊（平角定义） ∴∠A＋∠B＋∠C=180̊ C24AB3EQDFPGH11313 ④如果这个点运动到三角形的外部呢？PBGC24A3EDFH11414 已知：△ABC 求证：∠A＋∠B＋∠C=180̊证明：在△ABC外部任取一点D，过点D做直线DE∥BC, DG∥AB; DE∥BC; ∵EF∥BC (已知） ∴∠B=∠1 （两直线平行，同位角相等） ∴∠C=∠3 （两直线平行，同位角相等） ∵DG∥AB（已知） ∴∠1=∠2 （两直线平行，同位角相等） ∴∠A=∠AFD （两直线平行，内错角相等） ∵DH∥AC（已知） ∴∠3=∠4 (两直线平行，同位角相等） ∴∠AFD=∠HDP (两直线平行，同位角相等） ∵∠B=∠1 ∠1=∠2 ∴∠B=∠2（等量代换） ∵∠C=∠3 ∠3=∠4 ∴∠C=∠4（等量代换） ∵∠A=∠AFD ∠AFD=∠HDP ∴∠A=∠HDP（等量代换） ∵∠2＋∠4＋∠HDP=180̊（平角定义） ∴∠A＋∠B＋∠C=180̊ BGC24A3EDFH1P1515 三角形三个内角的和等于三角形三个内角的和等于180180̊三角形内角和定理：三角形内角和定理：1616（（2 2）基础知识巩固训练）基础知识巩固训练 1 1、、 求出下列图形中求出下列图形中x x的值：（教材的值：（教材P16P16））39̊108̊x̊x̊x̊x̊72̊x̊(x̊-36̊)x̊+36̊x̊x̊17172. （（1）如果三角形的三个内角的度数比是）如果三角形的三个内角的度数比是2:3:4,则它是则它是( ) A、锐角三角形、锐角三角形 B、钝角三角形、钝角三角形 C、直角三角形、直角三角形 D、钝角或直角三角形、钝角或直角三角形 A（（2）在）在△△ABC中，中， A、、30° B、、60°C、、90° D、、120°C18183、在 △ABC中，∠B＝∠A+10°，∠C＝∠B+10°。

求△ABC各内角的度数 解：∵∠B＝∠A+10°,∠C＝∠B+10°(已知） ∴∠C=∠A+10°+10°＝∠A+20° ∵∠ A+∠B+∠C＝180° ∴∠A+（∠A+10°）+（∠A+20°）＝180° ∴∠A＝50°，∠B＝60°，∠C＝70°19194、一个直角三角形最多有几个直角？ 一个三角形最多有几个钝角？至少有几个锐角？ 请证明你的结论 一个直角三角形最多有一个直一个直角三角形最多有一个直角，角，一个三角形最多有一个钝角，一个三角形最多有一个钝角，至少有两个锐角至少有两个锐角20205. 已知：在已知：在△△ABC中，中， ∠∠BAC=40°，， ∠∠B=75°，，AD是是△△ABC的角平分线，求的角平分线，求∠∠ADB的度数CBAD21C解：解：226. 如图，如图，C 岛在岛在 A 岛的岛的北偏东北偏东50°方向，方向，B 岛在岛在 A 岛的岛的北偏东北偏东80 °方方向，向，C 岛在岛在 B 岛岛的的北偏西北偏西40 °方向从从 C 岛看岛看 A、、B 两岛的视角两岛的视角∠∠ACB是多少度是多少度？？北北东东西西南南F.AD.CB.E50°80°40°北北东东西西 南南北北东东西西 南南（图中（图中AD∥ ∥BE））30°H23A.C.D50°80°北北东东西西 南南30°B.E40°北北东东西西 南南FA.C.D50°北北东东西西 南南B.E40°北北东东西西 南南A.C.D50°北北东东西西 南南B.E40°北北东东西西 南南HA.C.D50°北北东东西西 南南B.E40°北北东东西西 南南24(3）能力提高训练 1. 在在△△ABC中，如果中，如果∠ ∠A=∠ ∠B－－∠ ∠C,那么这个三角形是（那么这个三角形是（ ））A . 锐角三角形锐角三角形 B. 直角三角形直角三角形 C. 钝角三角形钝角三角形 D. 等边三角形等边三角形2. 锐角三角形任意两个内角的和必大于（锐角三角形任意两个内角的和必大于（ ）） A . 90 ° B. 100 ° C. 110 ° D. 120°拓展：三角形和锐角三角形最大的角的取值范围分别是？拓展：三角形和锐角三角形最大的角的取值范围分别是？3. 如图，如图，△△ABC中，中，∠∠B=∠∠ACB,CD是高，求证是高，求证 2∠∠BCD=∠∠AABCDBA 证明证明: 在在△△ABC中中, ∠∠A=180°－－(∠∠B+∠∠ACB) ∵∵ ∠∠B=∠∠ACB ∴∴ ∠∠A=180°－－ 2∠∠B=2(90°－－∠∠B) 在在Rt △△ BCD中中, ∠∠BCD=90°－－∠∠B. ∴∴ 2∠∠BCD=∠∠A[60 °，， 180°）） [60 °，， 90°）） 25254. 如如图，在，在△△ＡＢＣ中，ＡＢＣ中，AD⊥ ⊥BC，垂足，垂足为D，，AE是是 ∠∠BAＣ的平分Ｃ的平分线，交，交BC于于E（（ ∠∠B＞＞ ∠∠C）。

1）若）若∠∠C=45 °，，∠∠B=65 °，求，求∠∠DAE的度数；的度数；（（2）试写出）试写出∠∠DAE与与∠∠B和和∠∠C之间的关系式之间的关系式ABCDE解：解：⑴∵∠⑴∵∠C=45 °，， ∠∠B=65 °，， ∴∴ ∠∠BAC=70 °AE是是∠∠BAC的平分线，的平分线，∴∴ ∠∠BAE=35°∴ ∴ ∠ ∠AED=180°－－65°－－35° =80 °∵ ∵ AD⊥ ⊥BC ∴ ∴ ∠ ∠ADE=90 °，，∠∠DAE=10 °⑵⑵∠ ∠DAE= （（∠∠B －－ ∠∠C））26谢谢各位光临欢迎大家指导2727Thank you!28。