专题41 二次函数中的角度问题(解析版)-中考数学备考复习重点资料归纳汇总.docx

专题41 二次函数中的角度问题 【题型演练】一、单选题1．（2022·浙江·余姚市子陵中学教育集团九年级阶段练习）如图，抛物线与轴交于点和点两点，与轴交于点，点为抛物线上第三象限内一动点，当时，点的坐标为（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据二次函数与坐标轴的交点坐标分别求出、、的长度；然后通过勾股定理逆定理判断出，得出；由得出；作点关于轴的对称点，连接；即可构造出，从而得出；根据平行线的斜率相同以及点的坐标求出直线的表达式；最后联立方程组求解即可；【详解】解：令，则解得：，∴，∴，，当时，∴∴在中∴∴∴∵∴如图，作点关于轴的对称点，连接；则，∴∴∴设直线的表达式为：将代入得：∴直线的表达式为：解方程组得：或∵点在第三象限∴点的坐标为故选：B．【点睛】本题考查了二次函数图像的性质、一次函数的性质、勾股定理逆定理、直角三角形两锐角互余等知识点；综合运用上述知识求出直线的函数表达式是解题的关键．二、填空题2．（2021·全国·九年级单元测试）如图，一次函数y＝x﹣2的图象交x轴于点A，交y轴于点B，二次函数y＝－x2+bx+c的图象经过A、B两点，与x轴交于另一点C．若点M在抛物线的对称轴上，且∠AMB＝∠ACB，则所有满足条件的点M的坐标为__________．【答案】或【分析】讨论：当点M在直线AB上方时，根据圆周角定理可判断点M在△ABC的外接圆上，如图所示，由于抛物线的对称轴垂直平分AC，则△ABC的外接圆的圆心在对称轴上，设圆心的坐标为，根据半径相等得到，解方程求出t得到圆心的坐标为，然后确定的半径为，从而得到此时M点的坐标；当点M在直线AB下方时，作关于AB的对称点，如图所示，通过证明可判断在x轴上，则点的坐标为，然后计算DM即可得到此时M点坐标．【详解】（1）当点M在直线AB上方时，则点M在△ABC的外接圆上，∵△ABC的外接圆的圆心在对称轴上，设圆心的坐标为，则，∴，解得，∴圆心的坐标为，∴，即的半径为，此时M点的坐标为．当点M在直线AB下方时，作关于AB的对称点，如图所示，∵，∴，∵轴，∴，∴，在x轴上，∴点的坐标为，∴，∴，此时点M的坐标为．综上所述，点M的坐标为或．【点睛】本题主要考查了二次函数的综合应用，准确进行点的位置的判断是解题的关键．3．（2022·吉林省实验中学一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=-1的顶点为A，直线l过点P（0，m）且平行于x轴，与抛物线交于点B和点C．若AB=AC，∠BAC=90°，则m=______．【答案】3【分析】设直线l与对称轴的交点为点D，则根据等腰直角三角形的性质可得BD=AD，根据韦达定理可表示出x1+x2与x1x2，进而表示出BC的长度和BD的长度，根据BD=AD可列出方程求出m的值.【详解】设直线l与对称轴的交点为点D，则根据等腰直角三角形的性质可得BD=AD，抛物线的顶点坐标为A（3，-1），由题意得直线l的表达式为直线y=m，当y=m时，可得方程原方程整理可得，由一元二次方程根与系数的关系可得x1+x2=6，x1x2=，（x1-x2）2=（x1+x2）2-4 x1x2=36-20+16m=16+16m∵直线l与抛物线交于点B和点C，故m＞-1，∵BC2=16+16m，AD=m+1,BD==AD,∴BC=2AD，BC2=4AD2，16+16m =4（m+1）2整理得，m2-2m-3=0解得m=3或m=-1（舍去）即m=3.故答案为3.【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系和等腰三角形的性质，解题的关键是运用韦达定理正确表示出BC的长度.4．（2021·河南省淮滨县第一中学九年级期末）如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C．若E为射线上一点，为抛物线上一点，E、A是位于直线同侧的不同两点，若，连接，，则点E的坐标为__________．【答案】【分析】过点F作FH⊥x轴于点H，由题意易得点，则AB=4，进而可得，然后可求直线AC的解析式为，直线FB的解析式为，联立二次函数及直线FB的解析式可求点F的坐标，进而可得△AFB≌△EBF，最后根据两点距离公式可求解．【详解】解：过点F作FH⊥x轴于点H，如图所示：∵抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，∴，∴AB=4，∵点，∴，∴，∵，∴，∴点A、E分别到FB的距离相等，∴AE∥FB，设直线AC的解析式为，则把点A、C代入得：，解得：，∴直线AC的解析式为，∴直线FB的解析式为，把点B代入得：c=-1，∴直线FB的解析式为，联立，解得：或，∴点F，∵，∴,∴EB=AF，∵FB=FB，∴△AFB≌△EBF（SAS），∴AB=EF=4，设点E，∴，解得：（不符合题意，舍去），∴点E坐标为；故答案为．【点睛】本题主要考查二次函数的综合，熟练掌握二次函数的性质及几何知识点是解题的关键．三、解答题5．（2021·广西·百色市田阳区第五初级中学九年级期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线过点，x轴上有一动点，过点P且垂直于x轴的直线与直线BC及抛物线分别交于点D，E．连接．(1)求抛物线的解析式．(2)点P段上运动时（不与点O，B重合）当时，求t的值．(3)当点P在x轴上自由运动时，是否存在点P，使？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)(2)2(3)）或．【分析】（1）将代入，即可求函数的解析式；（2）由题意可求，又由，可得，能求出点，即可求t的值；（3）由题意可得，从而能求出，再由，求出t即可求P点坐标．【详解】（1）解：代入，∴，解得：，∴抛物线解析式为；（2）解：令，则，∴，∴，∴，∵轴，∴，∵，∴，∴，∴t的值为2；（3）解：存在点P，使，理由如下：设直线的解析式为，∴，解得，∴直线的解析式为，∵轴，∴，∴，∵，∴，∴，解得或，∴P点坐标为）或．【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，三角形相似的判定及性质，等腰三角形的性质是解题的关键．6．（2021·新疆生产建设兵团第十二师高级中学九年级阶段练习）综合与探究：如图，在平面直角坐标系中，直线y＝x﹣4分别与x轴，y轴交于点A和点C，抛物线y＝ax2﹣3x+c经过A，C两点，并且与x轴交于另一点B．点D为第四象限抛物线上一动点(不与点A，C重合)，过点D作DF⊥x轴，垂足为F，交直线AC于点E，连接BE．设点D的横坐标为m．(1)求抛物线的解析式；(2)当∠ECD＝∠EDC时，求出此时m的值；(3)点D在运动的过程中，△EBF的周长是否存在最小值？若存在，求出此时m的值；若不存在，请说明理由．【答案】(1)抛物线的解析式是y=x2-3x-4；(2)m=4−；(3)存在，m=1.5时，△BEF的周长最小．【分析】（1）由直线y=x-4分别与x轴、y轴交于点A和点C都在抛物线上，则先求出A，C坐标，皆可满足y=ax2-3x+c．由y=ax2-3x+c中只有两个未知数，所以代入两点即可求系数a、c，则解析式可求；（2）作辅助线，构建等腰直角三角形，证明△EHC是等腰直角三角形，根据解析式表示D和E的坐标，根据EC=ED列方程可解答；（3）先确定BF+EF=AB，为定值，当BE最小，即BE⊥AC时，△BFE的周长最小，再由等腰直角三角形三线合一的性质得：BF=AF=2.5，可解答．【详解】（1）解：在y=x-4中，当x=0时，y=-4；当y=0时，x=4．∴A（4，0），C（0，-4），把A（4，0），C（0，-4）代入y=ax2-3x+c中，得，解得，∴抛物线的解析式是y=x2-3x-4；（2）解：如图1，过点E作EH⊥y轴，垂足为H．∵OA=OC=4，∴∠OAC=∠ACO=45°，∴∠HEC=∠HCE=45°．∵点D（m，m2-3m-4），E（m，m-4），∴EH=HC=m，ED=（m-4）-（m2-3m-4）=-m2+4m．∴EC=m，∴当∠ECD=∠EDC时，EC=ED．∴m=−m2+4m，解得m=0（舍去）或m=4−；（3）解：存在．∴点D为第四象限抛物线上一动点（不与点A，C重合），∴0＜m＜4，在抛物线y=x2-3x-4中，当y=0时，x2-3x-4=0，解得x1=-1，x2=4，∴点B坐标为（-1，0）．∵∠FAE=∠FEA=45°，∴EF=AF．设△BFE的周长为n，则n=BF+FE+BE=BF+AF+BE=AB+BE，∵AB的值不变，∴当BE最小，即BE⊥AC时，△BFE的周长最小．∵当BE⊥AC时，∠EBA=∠BAE=45°，∴BE=AE，∴BF=AF=2.5．∴m=4-2.5=1.5时，△BEF的周长最小．【点睛】本题是二次函数的综合题，考查了待定系数法求二次函数的解析式，三角形周长的最小值问题，等腰三角形的性质等知识点；解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用参数，构建方程解决问题．7．（2022·河南商丘·九年级期末）如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，顶点为D，点E为线段BD上一个动点，EF⊥x轴，垂足为点F，OB=OC=3．(1)求抛物线的解析式；(2)当∠CEF＝∠ABD时，补全图形并求点E的坐标．【答案】(1)y＝x2−2x−3；(2)作图见解析，E（，−）．【分析】（1）由OB＝OC＝3，得B（3，0），C（0，−3），用待定系数法即得抛物线的解析式为y＝x2−2x−3；（2）过D作DG⊥x轴于G，过C作CH⊥EF于H，由y＝x2−2x−3＝（x−1）2−4，得抛物线顶点D（1，−4），即可得tan∠ABD＝，设直线BD解析式是y＝kx＋b，用待定系数法得直线BD解析式是y＝2x−6，设E（t，2t−6），则CH＝xE＝t，EH＝yC−yE＝−3−（2t−6）＝3−2t，tan∠CEF＝，根据∠CEF＝∠ABD，即得，即可解得t＝，从而E（，−）．（1）解：∵OB＝OC＝3，∴B（3，0），C（0，−3），将B（3，0），C（0，−3）代入y＝x2＋bx＋c得：，解得，∴抛物线的解析式为y＝x2−2x−3；（2）如图：过D作DG⊥x轴于G，过C作CH⊥EF于H，∵y＝x2−2x−3＝（x−1）2−4，∴抛物线顶点D（1，−4），∴OG＝1，DG＝4，∵B（3，0），∴BG＝OB−OG＝2，∴tan∠ABD＝，设直线BD解析式是y＝kx＋b，代入B、D两点坐标，∴，解得，∴直线BD解析式是y＝2x−6，设E（t，2t−6），则CH＝xE＝t，EH＝yC−yE＝−3−（2t−6）＝3−2t，∴tan∠CEF＝，∵∠CEF＝∠ABD，∴，解得t＝，∴2t−6＝2×−6＝−，∴E（，−）．【点睛】本题考查二次函数综合应用，涉及待定系数法、锐角三角函数等知识，解题的关键是用含字母的代数式表示相关点坐标和相关线段的长度．8．（2022·广东梅州·九年级期末）如图，抛物线与x轴负半轴交于点A（－1，0），与x轴的另一交点为B，与y轴正半轴交于点C（0，3），抛物线的对称轴与直线BC相交于点M，与x轴交于点G．(1)求抛物。