高中数学 极坐标 综合复习（通用）.doc

一）极坐标概念 1.1极坐标系的定义 1.2平面内的点与极坐标系的关系 1.3极坐标系与直角坐标系的互化 （二）几种常见的极坐标方程 2.1直线的极坐标方程 2.2圆的极坐标方程 2.3焦点为极点的椭圆、双曲线、抛物线的统一极坐标方程 （三）极坐标方程的应用 3.1由极坐标方程讨论曲线及其性质 3.2圆锥曲线过焦点弦问题在极坐标中应用[同步检测][强化练习][同步检测答案][强化练习解答] 窗体顶端窗体底端[本讲主要内容] （一）极坐标概念 确定平面内的点的位置有各种方法，用一对实数确定平面内的点位置的方法称为直角坐标方法，因其方法简捷且应用广泛（如地球的经纬线和剧场中座位号）而成为解析几何中最主要的内容；用方向（角）和距离来确定平面内的点的位置是极坐标的基本思想极坐标在工程中和军事上也有广泛应用 1.1极坐标系定义 在平面上选一定点O，由O出发的一条射线OX，规定一个长度单位和角的正方向（通常以反时针旋转为正方向）合称一个极坐标系其中O为极点，射线OX为极轴，由极径和极角两个量构成点的极坐标，一般记作（ρ，θ） 1.2平面内的点与极坐标系的关系 平面内有一点P，|OP|用ρ表示，ρ称为P点的极径；OX到OP的角θ叫极角，P（ρ，θ）为极坐标。

(1)有一组极坐标（ρ，θ）能在极坐标系中找唯一的点与其对应； (2)在极坐标系中有一个点P，则有无数组极坐标与其对应 ①P点固定后，极角不固定ρ，θ）与（ρ，2kπ+θ）（k∈z）表示同一点坐标； ②P点固定后，ρ的值可正、可负ρ＞0时，极角的始边为OX轴，终边为线；ρ＜0，极轴始边为OX轴，终边为的反向延长线；规定：ρ=0时，极角为任意角，如（ρ，θ）与（ρ，2kπ+θ)及（-ρ，2kπ+π+θ)(k∈z)表示同一点 ∴极坐标与极坐标平面内的点不一一对应 例1.在极坐标系中，点P（ρ，θ）与Q（-ρ，2π-θ）的位置是（ ） A.关于极轴所在直线对称 B.关于极点对称 C.重合 D.关于直线（ρ∈R）对称 分析：Q（-ρ，2π-θ）与（ρ,π-θ）表示同一点，它与点P（ρ，θ）关于直线（ρ∈R）（过极点而垂直于极轴的直线）对称 故选D返回主题 例2.在极坐标系中，如果等边三角形的两个顶点是，，那么C的坐标可能是（ ） A. B. C. D.（3，π） 分析：∵,极径相同，极角相差π，A、B以极点对称，又|AB|=4，△ABC为等边△，，，C对应极角为. ∴或 故选B 例3.A、B两点的极坐标分别为A(ρ1，θ1)，B(ρ2，θ2)，则 |AB|=______________________________。

分析：用余弦定理可得此结论可作为公式返回主题 1.3极坐标与直角坐标的互化 取极点为直角坐标系的原点，极轴为x轴正半轴建立直角坐标系，在极坐标系中P(ρ，θ)，设在直角坐标系中P(x,y) 则ρ2=x2+y2、、(注意角所在象限) 此三组式子，即为极坐标与直角坐标的互化公式 例1.将下列各极坐标方程化为直角坐标方程 (1) (2) (3) (4)ρ2=2cos2θ 　　解：(1) 得y=-x； (2)ρsin2θ=2cosθ+2,ρ2sin2θ=2ρcosθ+2ρ,,(y2-2x)2=4(x2+y2)得y2=4(x+1)； (3)4ρ2+5ρ2cos2θ=36,4(x2+y2)+5x2=36,得x2+4y2=36； (4)ρ4=2ρ2(cos2θ-sin2θ),(x2+y2)=2x2-2y2 例2.椭圆在以原点为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中的方程为（ ） A. B. C. D. 分析：,得 故选C 返回主题（二）极坐标方程的确定 2.1几种直线的极坐标方程 (1)从极点O发出的一条射线（如图1），其极坐标方程为：θ=θ1（ρ＞0）； (2)过极点O的一条直线（），其极坐标方程为θ=θ1（ρ∈R）； (3)如图3 过点（a,o）且垂直于极轴的直线的极坐标方程为：ρcosθ=a； (4)如图4 过点（a,π)且垂直于极轴的直线的极坐标方程为：ρcosθ= -a；如图1如图2 如图3如图4 (5)如图5 平行于极轴在极轴上方a个单位的直线的极坐标方程为：ρsinθ=a； (6)如图6 平行于极轴且在极轴下方a个单位的直线的极坐标方程为：ρsinθ=-a； (7)如图7 过点M（a,θ1）,且与极径OM垂直的直线的极坐标方程为：ρcos(θ-θ1)=a.如图5如图6如图7 例1.过点且与极轴平行的直线的极坐标方程是（ ） A. B.ρ=1 C. D. 分析：极点到直线距离d=1.根据直线极坐标方程(5)得ρsinθ=1，故选C。

例2.已知点P的坐标为（1,π），那么通过P点且垂直于极轴的直线的极坐标方程为（ ）（上海 94年高考题） A.ρ=1 B.ρ=cosθ C.ρcosθ= -1 D.ρcosθ=1 分析：根据直线极坐标方程(4)得ρcosθ=-1 故选C 例3.已知直线ι1的参数方程为：（t为参数），直线ι2的极坐标方程为（极点与原点重合，极轴与x轴正半轴重合）则ι1与ι2的夹角是（ ） A. B. C. D. 分析：直线化为普通方程为x-2y+3=0,其斜率；直线化为普通方程，即，其斜率k2=1，两直线夹角若为α，则，，故选C 返回主题 2.2几种圆的极坐标方程 (1)圆心为极点，半径为r的圆的极坐标方程为：ρ=r(θ∈R)； (2)圆心O′（r,0），半径为r的圆的极坐标方程为：ρ=2rcosθ； (3)圆心O′（r,π），半径为r的圆的极坐标方程为：ρ=-2rcosθ； (4)圆心O′，半径为r的圆的极坐标方程为：； (5)圆心O′，半径为r的圆的极坐标方程为：；　　(6)一般圆的极坐标方程：圆心O′（ρ0，θ0），半径为r的极坐标方程设动点（ρ，θ），依据余弦定理得ρ2+ρ20 -2ρρ0 cos（θ-θ0）=r2 即ρ2-[2ρ0 cos(θ-θ0)]ρ+ρ02-r2=0. 以上方程的推导方程有两种：一是基本方法，也就是轨迹法。

轨迹法就是设曲线动点为（ρ，θ），然后找出可解三角形，在可解三角形中建立等量关系；二是直极转化法，也就是写出直角坐标方法，然后再化为极坐标方程 例1. 极坐标方程所表示的曲线是（ ） A.双曲线 B.椭圆 C.抛物线 D.圆 分析： 故选D 例2.极坐标方程ρ2-(1+2cosθ)ρ+2cosθ=0所表示的曲线是（ ） A.抛物线 B.一直线和一个圆 C.两条直线 D.两相交圆 分析：是两相交的圆 故选D 例3.极坐标方程分别是ρ= -cosθ和ρ= -sinθ的两个圆的圆心距是（ ） A.2 B. C.1 D. 解法一：圆ρ=-cosθ 圆心；圆ρ=-sinθ，圆心根据两个点间距离 ，应选D； 解法二：两个圆的圆心分别在极轴反向延长线和过极点垂直于极轴直线上，且两圆都过极点，半径都为根据两个点间距离 ，应选D； 解法三：两个圆的圆心分别在极轴反向延长线和过极点垂直于极轴直线上，且两圆都过极点，半径都为，根据勾股定理，； 解法四：；.圆心距.返回主题2.3焦点为极点的椭圆、双曲线和抛物线标准统一的极坐标方程： (1)圆锥曲线统一定义：在同一平面内到一定点和一定直线的距离之比为常数e的动点轨迹，就叫圆锥曲线。

其中定点叫圆锥曲线的焦点，定直线叫准线 (2)圆锥曲线的标准统一极坐标方程：如果以定点O为极点，以过定点所作定直线L的垂线的反向延长线为极轴正方向建立极坐标系为标准坐标系那么在此标准极坐标系下圆锥曲线的标准统一方程,其中p是焦点到相应准线的距离在椭圆和双曲线中p就是相应直角坐标系中的,. (3)将化为直角坐标方程(1-e2)x2+y2-2e2px-e2p2=0,其中0＜e＜1时两方程表示椭圆（极点和原点是椭圆的左焦点）；e＞1时两方程表示双曲线（极点和原点是双曲线的右焦点）；e=1时两方程表示抛物线（极点和原点是抛物线焦点） 例1.设椭圆 (0＜e＜1).求：a、b、c及另一个焦点的极坐标，两条准线的极坐标方程 解：令θ=0得A点极径 ① θ=π得A′点极径 ② 由①+②得 ①-②得 F1为极点 左准线 ρcosθ=-p，右准线 . 例2.求双曲线 (e＞1)的a、b、c，焦点的坐标和准线的方程 解：令θ=0 (e＞1) ① θ=π ② 由①、②得 焦点F2(0，θ)为极点，F1 (2c,π)即 右准线 ρcosθ=-p 左准线 例3.求圆锥曲线过焦点的弦AB之长 解： 当e=1时，抛物线过焦点弦长 解评：圆锥曲线极坐标方程只有一个，比较容易记忆，注意圆锥曲线统一标准极坐标方程的极点是其一个焦点。

也正因为此，遇到圆锥曲线有关焦点弦问题，用极坐标方程来解题，运算要简捷返回主题（三）极坐标方程的应用 3.1由极坐标方程讨论曲线及性质 例1.椭圆的焦距是（ ） A. B.2 C. D.1 分析：极坐标方程化为标准式应选B. 例2. 若圆锥曲线的一条准线方程是ρcosθ=1，则另一条准线的极坐标方程是____________________ 分析：化标准式，两条准线间距离 ∴另一条准线为 例3.双曲线的渐近线方程是_____________. 分析：化标准线 设双曲线渐近线上一动点M（ρ,θ） 令此时ρ不存在，θ1为渐近线与极轴夹角在△MO′F中 (如图)根据正弦定理 ∴双曲线的两条渐近线的方程为：和 . 解评：用圆锥曲线统一标准极坐标方程讨论曲线性质主要记住椭圆和双曲线,及直线的极坐标方程；例3求双曲线渐近线的极坐标方程高考大纲不。