北京市2020年第一次合格性考试数学试题含答案.pdf

1 2020年北京市第一次普通高中学业水平合格性考试 数学试卷 考 生 须 知 1. 考生要认真填写考场号和座位序号 2. 本试卷共8 页，分为两个部分，第一部分为选择题，27 个小题（共81 分） ； 第二部分为解答题，个小题（共19 分） 3试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效第一部分必 须用铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答 4考试结束后，考生应将试卷、答题卡放在桌面上，待监考员收回 参考公式：锥体的体积公式，其中为锥体的底面积，为锥体的高 . 第一部分选择题 （每小题分，共 81 分） 在每个小题给出的四个备选答案中，只有一个是符合题目要求的. 1. 已知集合 1 2 3A =，3 4 5B =，那么集合AB等于 A. B 3 C 1, 2,4, 5 D1, 2, 3,4, 5 2. 函数( )1f xx=-的定义域是 A. (,1B. 0,)+C. 1,)+D. R 3. 如果指数函数( ) x fxa=(0a，且1a)的图象经过点(2,4)，那么 a 的值是 A. 2 B2C3D4 4.将函数 sinyx=的图象向右平移 3 个单位，所得图象对应的函数表达式是 A sin() 3 yx=-B. sin() 3 yx=+ C. cos() 3 yx=-D. cos() 3 yx=+ 5. 在平行四边形ABCD中， ABAD+ 等于 AACB BD CBCDCD 4 2B 1 3 VSh=Sh 3 2 6. 在平面直角坐标系xOy 中，角 的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴 重合，终边经过点(3,4)P ，那么sin的值是 A 3 5 B 3 4 C 4 5 D 4 3 7. 已知向量 1 (1,) 2 =-a，(2,)m=b，且ab，那么实数m 的值是 A1- B 1 2 - C 1 2 D1 8. 已知直线 1 1 : 2 lyx=，2:2lyax=+，且12ll，那么实数 a的值是 A. 2-B. 1 2 -C. 1 2 D. 2 9.如图，正方体1111ABCDABC D-的棱AB，BC，CD，1CC所在的直线中，与直 线 1 BC成异面直线的是 A. 直线AB B. 直线BC C. 直线 CD D. 直线1CC 10. 计算 1 2 2 16log 4+的结果是 A. 6B. 7C. 8D. 10 11. 在学生中开展问卷调查. 该校共有高中学生900人，其中高一年级学生330人， 高二年级学生300人，高三年级学生270人. 现采用分层抽样的方法从高中学生 中抽取一个容量为90的样本，那么应抽取高一年级学生的人数为 A 30 B 31 C 32 D 33 3 12. 计算 5 tan 4 的结果是 A. 1-B. 2 2 -C. 2 2 D. 1 13. 某同学打算编织一条毛线围巾送给妈妈，决定从妈妈喜欢的白色、黄色和紫色中 随机选择两种颜色的毛线编织，那么这条围巾是由白色、紫色两种颜色的毛线编 织的概率是 A. 1 4 B. 1 3 C. 1 2 D. 3 4 14. 计算cos69 cos24 sin69 sin24+ 的结果是 A. 1 2 B. 2 2 C. 3 2 D. 1 15. 经过点 (1,0)，且斜率为 2的直线的方程是 A. 220 xy-+=B. 220 xy-= C. 210 xy-+ =D. 210 xy-= 16. 已知向量 a，b满足|1=a，|2=b，a与b夹角为30，那么a b等于 A. 1-B. 2 C. 3D. 2 17. 如图，在三棱柱111 ABCA BC- 中，1 A A 底面 ABC，ABAC， 1 2A AABAC=，那么三棱锥 1 AABC-的体积是 A. 4 3 B. 8 3 C. 4 D. 8 18. 已知ABC中，60A =，45B =， 2AC= ，那么BC等于 4 A. 1B. 3C. 2D. 4 19. 函数 2 ( )log2f xx=- 的零点的个数是 A. 0B. 1C. 2D. 3 20. 已知两条直线 m，n和平面 ，那么下列命题中正确的是 A. 若m ，n ，则 mn B若m，n ，则mn C若mn，n ，则m D若 m n ， n，则m 21. 如图，给出了偶函数 ( )f x的部分图象，那么(2)f等于 A. 3- B. 1- C. 1 D. 3 22. 圆 22 1xy+=的圆心到直线20 xy-+=的距离是 A. 2 2 B. 2 C. 2D. 2 2 23. 已知直线 l 经过 ( 1,0) -，(0,3)两点，那么直线l 的倾斜角的大小是 A. 30B. 45C. 60D. 90 24. 圆 22 (1)1xy+-=与圆 22 (1)1xy-+=的公共点的个数是 A. 0B. 1C. 2D. 3 25. 已知函数 ,0, ( ) 1 ,0. xx f x x x = 如果 ()2f m = - ，那么实数m 的值是 A. 8-B. 2-C. 1 2 -D. 1 26. 如果函数 2 ( )2f xxax=-在区间0,)+上单调递增，那么实数 a的取值范围是 5 A. (,0 B. ( 1,0- C. (0,1 D. 0, )+ 27. 组织实施了多个阶段的大气污染防治行动，针对燃 煤、工业、扬尘排放和机动车排放等采取了数百项治理措施，治理成效显著. 上图是 2000年至 2018年可吸入颗粒物、细颗粒物、二氧化氮、二氧化硫等 主要污染物年日均值的折线图根据图中信息，下列结论中正确的是 A. 2013年到 2018 年，空气中可吸入颗粒物的年日均值逐年下降 B. 2013年到 2018年，空气中细颗粒物的年日均值逐年下降 C. 2000 年到 2018年，空气中二氧化氮的年日均值都低于40 微克 /立方米 D. 2000年到 2018年，空气中二氧化硫的年日均值最低的年份是2008年 6 第二部分解答题( 共 19 分) 28 （本小题满分5 分） 某同学解答一道三角函数题：“已知函数( )3sincosfxxx=+ （）求函数( )f x的 最小正周期；（）求函数( )f x在区间, 6 - 上的最大值” 该同学解答过程如下： 解答：（）因为( )3sincosf xxx=+， 所以 31 ( )2(sincos ) 22 f xxx=+ 2(sincoscos sin) 66 xx=+ 2sin() 6 x=+ 所以 2 2 1 T = 所以函数( )f x的最小正周期是2 （）因为 6 x-， 所以 7 0 66 x + 所以当 62 x+=时，函数 sin() 6 yx=+的最大值是1 所以当 3 x =时，函数( )f x的最大值是 2 写出该同学在解答过程中用到了下表中的哪些数学知识( 写出5个即可 ) 任意角的概念任意角的正弦、余弦、正切的定义 弧度制的概念 2 ，的正弦、余弦、正切的诱导公式 弧度与角度的互化 函数sincostanyxyxyx=，的图象 三角函数的周期性正弦函数、 余弦函数在区间 0 2，上的性质 同角三角函数的基本关系式正切函数在区间() 22 -，上的性质 两角差的余弦公式函数sin()yAx+=的实际意义 两角差的正弦、正切公式两角和的正弦、余弦、正切公式 二倍角的正弦、余弦、正切公式 参数 A， ，对函数sin()yAx+=图象 变化的影响 7 29. （本小题满分5分） 阅读下面题目及其证明过程，并回答问题. 如图， 在三棱锥PABC-中，PA底面ABC，ABBC，E，F分别是棱BC， PC的中点 （ ）求证：EF平面PAB； （ ）求证：EFBC 解答：（ ）证明：在PBC中， 因为E，F分别是BC，PC的中点， 所以EFPB 因为EF平面PAB,PB平面PAB, 所以EF平面PAB （ ）证明：在三棱锥PABC-中， 因为PA底面ABC，BC平面ABC， 所以_ 因为ABBC，且PAABA=， 所以_ 因为PB平面PAB， 所以_ 由（ ）知EFPB， 所以EFBC 问题 1：在（ ）的证明过程中，证明的思路是先证_，再证 _ 问题 2：在（ ）的证明过程中，设置了三个空格. 请从下面给出的四个选项中,为每一 个空格选择一个正确的选项，以补全证明过程. PABC； PA AC； BC 平面PAB； BCPB 8 30. （本小题满分5分） 已知圆C的圆心坐标为(2, 0)， 且与 y轴相切， 直线 :4lyx= -+与圆C交于M，N两 点，求|MN. 某同学的解答过程如下： 解答：因为圆C的圆心坐标为(2, 0)，且与 y轴相切， 所以圆C的半径是2. 所以圆C的方程是 22 (2)4xy-+=. 因为直线:4lyx= -+与圆C交于M，N两点， 联立方程组 22 (2)4, 4, xy yx -+= =-+ 解得 1 1 1, 3, x y = = 或 2 2 5, 1. x y = = - 不妨设 (1,3)M ，(5, 1)N-， 所以 22 |(51)( 13)4 2MN =-+ -=. （ ）指出上述解答过程中的错误之处； （ ）写出正确的解答过程. 31. （本小题满分4分） 他发现在不考虑气动阻力和地球引力等造成的影响时，单级火箭的最大速度V（单位 : 千米/秒）满足ln mM VW M + =， 其中W（单位 : 千米/秒）表示它的发动机的喷射速度， m（单位：吨）表示它装载的燃料质量， M（单位：吨）表示它自身的质量（不包括 燃料质量） . （ ）某单级火箭自身的质量为50吨，发动机的喷射速度为3千米/秒. 当它装载100吨 燃料时，求该单级火箭的最大速度；（精确到0.1） （ ）根据现在的科学技术水平，通常单级火箭装载的燃料质量与它自身质量的比值 不超过9. 如果某单级火箭的发动机的喷射速度为 2千米/秒，判断该单级火箭的 最大速度能否超过7.9千米/秒，请说明理由. （参考数据：无理数e2.71828=，ln 31.10） 。