2023届北京市海淀区高三一模（期中）数学试卷(word版).doc

2023届北京市海淀区高三一模（期中）数学试卷(word版)一、单选题(★) 1. 已知集合 ，则 （ ） A．B．C．D． (★) 2. 若 ，其中i是虚数单位，则 （ ） A．B．1C．D．3 (★) 3. 在等差数列 中， ， ，则 （ ） A．B．C．D． (★★) 4. 已知抛物线 的焦点为 F，点 在该抛物线上，且 P的横坐标为4，则 （ ） A．2B．3C．4D．5 (★) 5. 若 ，则 （ ） A．B．1C．15D．16 (★★★) 6. 已知直线 与圆 交于 A， B两点，且 为等边三角形，则 m的值为（ ） A．B．C．D． (★★) 7. 在 中， ， 的平分线交 BC于点 D．若 ，则 （ ） A．B．C．2D．3 (★★★) 8. 已知二次函数 ，对任意的 ，有 ，则 的图象可能是（ ） A．B．C．D． (★★★) 9. 已知等比数列 的公比为 q且 ，记 、则“ 且 ”是“ 为递增数列”的（ ） A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件 (★★★) 10. 刘老师沿着某公园的环形道（周长大于 ）按逆时针方向跑步，他从起点出发、并用软件记录了运动轨迹，他每跑 ，软件会在运动轨迹上标注出相应的里程数．已知刘老师共跑了 ，恰好回到起点，前 的记录数据如图所示，则刘老师总共跑的圈数为（ ） A．7B．8C．9D．10 二、填空题(★) 11. 不等式 的解集为 _________ ． (★★) 12. 已知双曲线 ＝1( a>0， b>0)的渐近线方程为 y＝± x，则它的离心率为 ________ ． (★★) 13. 已知函数 ．若 在区间 上单调递减，则 的一个取值可以为 _________ ． 三、双空题(★★★) 14. 设函数 ①当 时， _________ ； ②若 恰有2个零点，则 a的取值范围是 _________ ． 四、填空题(★★★) 15. 在 中， ， D是边 AC的中点， E是边 AB上的动点（不与 A， B重合），过点 E作 AC的平行线交 BC于点 F，将 沿 EF折起，点 B折起后的位置记为点 P，得到四棱锥 ． 如图所示．给出下列四个结论： ① 平面 PEF； ② 不可能为等腰三角形； ③存在点 E， P，使得 ； ④当四棱锥 的体积最大时， ． 其中所有正确结论的序号是 _________ ． 五、解答题(★★★) 16. 如图，直三棱柱 中， ， ， ， 是 的中点． (1)证明： 平面 ； (2)求直线 与平面 所成角的正弦值． (★★★) 17. 在 中， ． (1)求 ； (2)若 的面积为 ，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使 存在且唯一确定，求 a的值． 条件①： ；条件②： ；条件③： ． 注：如果选择的条件不符合要求，第(2)问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． (★★) 18. 网购生鲜蔬菜成为很多家庭日常消费的新选择．某小区物业对本小区三月份参与网购生鲜蔬菜的家庭的网购次数进行调查，从一单元和二单元参与网购生鲜蔬菜的家庭中各随机抽取10户，分别记为 A组和 B组，这20户家庭三月份网购生鲜蔬菜的次数如下图： 假设用频率估计概率，且各户网购生鲜蔬菜的情况互不影响· (1)从一单元参与网购生鲜蔬菜的家庭中随机抽取1户，估计该户三月份网购生鲜蔬菜次数大于20的概率； (2)从一单元和二单元参与网购生鲜蔬菜的家庭中各随机抽取1户，记这两户中三月份网购生鲜蔬菜次数大于20的户数为 X，估计 X的数学期望 ； (3)从 A组和 B组中分别随机抽取2户家庭，记 为 A组中抽取的两户家庭三月份网购生鲜蔬菜次数大于20的户数， 为 B组中抽取的两户家庭三月份网购生鲜蔬菜次数大于20的户数，比较方差 与 的大小．（结论不要求证明） (★★★★) 19. 已知椭圆： 的左、右顶点分别为 ，上、下顶点分别为 ， ，四边形 的周长为 ． (1)求椭圆 E的方程； (2)设斜率为 k的直线 l与 x轴交于点 P，与椭圆 E交于不同的两点 M， N，点 M关于 y轴的对称点为 、直线 与 y轴交于点 Q．若 的面积为2，求 k的值． (★★★★) 20. 已知函数 ． (1)当 时，求曲线 在点 处的切线方程； (2)求 的单调区间； (3)若存在 ，使得 ，求 a的取值范围． (★★★★★) 21. 已知数列 ．给出两个性质： ①对于 中任意两项 ，在 中都存在一项 ，使得 ； ②对于 中任意连续三项 ，均有 ． (1)分别判断以下两个数列是否满足性质①，并说明理由： （i）有穷数列 ： ； （ⅱ）无穷数列 ： ． (2)若有穷数列 满足性质①和性质②，且各项互不相等，求项数 m的最大值； (3)若数列 满足性质①和性质②，且 ，求 的通项公式． 。