大学物理刚体力学基础.docx

本文格式为Word版，下载可任意编辑大学物理刚体力学基础 大学物理刚体力学根基 大学物理刚体力学根基 大学物理学 刚体力学 一.刚体运动的根本形式由多数个连续分布的质点组成的质点系,每个质点称 为刚体的一个质量元. 每个质点都按照质点力学规律. 刚体 —— 一种梦想模型. 刚体内任意两质元间距离, 在运动过程中保持不变. 刚体的运动——平动和转动. 任何繁杂的运动为 两者的叠加.倪忠强 第2页 大学物理刚体力学根基 大学物理学 刚体力学 刚体的平动 刚体上任一给定直线(或任意二质点间 的连线)在运动中空间方向始终不变而 保持平行. 转轴 刚体的转动 转动 —— 刚体内各质元绕同一向线做圆周运动. 定轴转动 —— 整个转轴相对参 考系静止.定点转动 —— 转轴上只有一点 相对参考系静止, 转动方向不断 变动.倪忠强 第3页 大学物理刚体力学根基 描述刚体转动的物理量 转动平面: 定轴转动刚体上各质点的运动面. 刚体定轴转动的特点: 1. 转动平面垂直于转轴. 2. 转动平面上各点均做圆周运动, 角量相 同, 线量不同. 3. 定轴转动刚体上各点的角速度矢量 的 方向均沿轴线。

角坐标: 角速度: 大学物理学 刚体力学 dt 角加速度: d (rad s 2 )dt ( rad) 角位移: , d d 1 (rad s ) 方向右旋 倪忠强 第4页 大学物理刚体力学根基 大学物理学 刚体力学 线速度与角速度之间的关系: v r dv d dr a r dt dt dt 2 reτ rend d2 2 dt dt v 定轴转动中的根本关系式:d (t ), dt 和 是矢量,在定轴转动中由 于轴的方位不变, 故用正负表示其 方向.倪忠强 第5页 v r a r v2 an r 2 r 大学物理刚体力学根基 大学物理学 刚体力学 二.定轴转动定律 力对轴的力矩 力的大小？ 力的作用点？ 表征力对 物体转动作 用, 称为力矩. 倪忠强 第6页 大学物理刚体力学根基 力F 对参考点O的力矩: 大学物理学 刚体力学 M0 r F ( N m) M z 大小: M 0 rF sin 力矩方向由右手螺旋关系确 定,垂直于 r 和 F 确定的平面.O F r y A M 力 F 对轴的力矩: F x O r F 力F 对轴OA的力矩: M r F r F F 只有 F 能变更刚体的转动状态.倪忠强 第7页 M r F 大学物理刚体力学根基 大学物理学 刚体力学 刚体绕定轴的转动定律 把刚体看作一个质点系 z 合内力: f i 0 ri Fi Δmi ri ai ri Fi Δmi ri ai 加速度： ai ai ain Fi f i mi ai ri fi mi Fi 合外力矩: M r F z i i M z mi ri ai mi ri ain倪忠强 第8页 大学物理刚体力学根基 2 其中: ri ain 0 ri ai ri ai sin 90 k ri k 2 M z mi ri J r Δm2 M z mi ri ai mi ri ain 大学物理学 刚体力学 转动惯量: 单位: kg m2 d 转动定律: M z J J dt刚体在作定轴转动时, 刚体的角加速度与它所受 到的合外力矩成正比, 与刚体的转动惯量成反比.倪忠强 第9页 大学物理刚体力学根基 转动定律转动惯量的定义式: M z J 大学物理学 刚体力学 J r dm2 J S r 2 dS J V r 2 dV J l r 2 dl 转动惯量的物理意义: 反映刚体转动惯性的量度. 影响 J 的因素: 1. 刚体的总质量 (同分布M m , JM Jm). 2. 刚体质量分布 (同m, J中空J实).3. 转轴的位置. 探索演示测验: 等质量四筒比滚仪.倪忠强 第10页 大学物理刚体力学根基 例1:求一质量为m,长为 l 的平匀细棒的转动惯量. (1) 转轴通过棒的中心并与棒垂直. (2) 轴通过棒的一端并与棒垂直. 解: 在棒上取质量元,长为dx, 离轴 O 为 x . 大学物理学 刚体力学 m dx dm对转轴的转动惯量为: dJ x dm x l l m 2 1 2 2 (1) 解为: J dJ l x dx ml l 12 2 l m 1 2 2 x dx ml (原点O在棒的左端点) (2) 解为: J 0 l 32 2倪忠强 第11页 m 棒的线密度为: l m dm dx l l xO x dx 大学物理刚体力学根基 大学物理学 刚体力学 例2: 一质量为m, 半径为R的平匀圆盘, 求通过盘中心 并与盘面垂直的轴的转动惯量.解： dm dS 2 rdrJ r dm 2 r dr23 R o r dr J 2 r dr3 0 R R 1 2 mR 2 24倪忠强 第12页 大学物理刚体力学根基 大学物理学 刚体力学 垂直于杆的轴通过杆的中心 1 2 J ml 12垂直于杆的轴通过杆的端点 1 2 J ml 3垂直于杆的轴通过杆的1/4处 7 J ml 2 48 匀 质 直 杆 对 垂 直 于 杆 的 转 轴 的 转 动 惯 量倪忠强 第13页 大学物理刚体力学根基 大学物理学 刚体力学 常见外形转动惯量 倪忠强 第14页 大学物理刚体力学根基 大学物理学 刚体力学 平行轴定理若刚体对过质心的轴的转动惯量为Jc, 那么刚体对与 该轴相距为 d 的平行轴 z 的转动惯量Jz是: J z J c md 2 1 2 J c mR 2 Jz Jc 3 1 2 2 2 J z mR mR mR 2 2 Rm 倪忠强 第15页 大学物理刚体力学根基 大学物理学 刚体力学 挂钟摆锤的转动惯量 (杆长为l, 质量 为m1, 摆锤半径为R, 质量为m2) : J J c md 2 1 2 1 2 2 m1l m2 R m2 l R 3 2挂在光滑钉子上的匀质圆环摇摆 的转动惯量(圆环质量为m, 半径为 R): J J c md 2 mR2 mR2 2mR2倪忠强 第16页 大学物理刚体力学根基 大学物理学 刚体力学 例3: 如图,一个质量为m的物体与绕在定滑轮上的绳子相联, 绳子质量可以疏忽, 它与定滑轮之间无滑动. 假设定滑轮的质 量为m0 ,半径为R, 其转动惯量为m0R2/2, 滑轮轴光滑. 试求该 物体由静止开头下落的过程中, 下落速度与时间的关系. 解: 由牛顿其次定律和刚体定轴转动定律: (1) 对m: mg T ma R m0 对m0: T m W TR J 1 2 a R J m0 R2 (2) (3) 2m g 联立(1),(2),(3)解得: a 2m m0 恒矢量,与 时间无关. 2m gt 由初始条件 v0 0 ,得 v at 2m m0倪忠强 第17页 大学物理刚体力学根基 例4: 一半径为R, 质量为m的平匀圆盘平放在粗糙的水平面 上. 若它的初始角速度为 0, 绕中心O旋转, 问经过多长时间 圆盘才中断.(设摩擦系数为 ) 大学物理学 刚体力学 dM rdF r gdm m 2mrdr dm 2 2πr dr dF 2 d πR R M J 2 dt 2m gr dr 2 1 dM 2 d 2 mgR mR R 3 2 dt 2 r 2 mgr dr t 0 3R 3R M 0 d dt d 0 dt R2 0 4 g 4 g 2 3R 0 mgR t 3解： dr r o R 4 g 倪忠强 第18页 大学物理刚体力学根基 例5: 一质量为m, 长为l的均质细杆, 转轴在O点, 距A端l/3. 今使棒从静止开头由水平位置绕O点转动,求: (1)水平位置 的角速度和角加速度. (2)垂直位置时的角速度和角加速度. 大学物理学 刚体力学 解: 平行轴定理 J o J c md转动惯量: 2 A O2 C 质心 B 1 2 l 1 2 J 0 ml m ml 12 6 9(1) o 0 M J 0 M mgl 6 3g 2 J 0 ml 9 2l 倪忠强 第19页 大学物理刚体力学根基 例5: 一质量为m, 长为l的均质细杆, 转轴在O点, 距A端l/3. 今使棒从静止开头由水平位置绕O点转动,求: (1)水平位置 的角速度和角加速度. (2)垂直位置时的角速度和角加速度. 大学物理学 刚体力学 d 解: (2) M J A C 质心 B dt O l 1 2 d 1 2 d mg cos ml ml 6 9 dt 9 d 3g d cos d 2l π 3g 1 2 3g 3g 2 2 0 d 0 2l cos d 2 2l sin 0 2l 3g d 0 l dt倪忠强 第20页 大学物理刚体力学根基 大学物理学 刚体力学 三.刚体定轴转动的机械能和力矩的功 刚体转动动能 z r。