03第八讲带电质点在电磁场中的运动（教师版）.doc

第八讲 带电质点在电磁场中的运动【知识要点一】带电质点在匀强磁场中的运动一、圆心的确定矩形磁场圆形磁场BOvvO'vvOB1．已知入射点的速度方向和弦2．已知圆轨道的半径和弦3．已知入射点的速度方向和临界条件小结：确定轨迹的圆心，需要上述两个条件，在入射点的速度、弦、半径、偏转角和临界条件中五选二．二、几何关系建立1．角度：偏转角=圆心角=2倍的弦切角，即2．长度：；BθvCDEFd3．时间：【例1】（矩形有界磁场）如图所示，真空中狭长形的区域内分布有磁感应强度为B的匀强磁场，方向垂直纸面向内，区域的宽度为d，CD、EF为区域的边界．现有一束电子（质量为m，电荷量为e）以速率v从边界CD一侧垂直于磁场且与CD成θ角射入，为使电子不能从另一侧边界EF射出．电子的重力不计．求：（1）电子的速率v应满足什么条件？（2）电子在磁场中运动的最长时间是多少？BCDEFdθvORRθ【解析】（1）电子的速率v越大，其轨道半径越大，故电子不能从另一侧边界EF射出时运动轨迹应与边界EF相切，如图所示．由图中几何关系可得：，又解得则电子的速率v应满足（2）电子速率小于vm时，其运动时间都相等，且运动时间为【例2】（圆形有界磁场）CAyxOBv在以坐标原点O为圆心、半径为r的圆形区域内，存在磁感应强度大小为B、方向垂直于纸面向里的匀强磁场，如图所示．一个不计重力的带电粒子从磁场边界与x轴的交点A处以速度v沿－x方向射入磁场，恰好从磁场边界与y轴的交点C处沿＋y方向飞出．（1）请判断该粒子带何种电荷，并求出其比荷q/m；CAyxOBvO1R（2）若磁场的方向和所在空间范围不变，而磁感应强度的大小变为B'，该粒子仍从A处以相同的速度射入磁场，但飞出磁场时的速度方向相对于入射方向改变了60°角，求磁感应强度B'多大？此次粒子在磁场中运动所用时间t是多少？【解析】（1）根据粒子的偏转情况，利用左手定则可知，该粒子带负电荷．如图所示，粒子由A点射入，由C点飞出，其速度方向改变了900，则粒子的轨迹半径R=r．由牛顿第二定律得：则粒子的比荷DCAyxOB'vO2vR'30º（2）如图粒子从D点飞出磁场速度方向改变了600角，故AD弧所对的圆心角为600，粒子做圆周运动的半径又，所以粒子在磁场中飞行的时间30ºvLPyxOv【例3】（磁偏逆向问题）一匀强磁场，磁场方向垂直于xy平面，在xy平面上，磁场分布在以O为中心的一个圆形区域内．一个质量为m、电荷量为q的带电粒子，由原点O开始运动，初速为v，方向沿x正方向．后来，粒子经过y轴上的P点，此时速度方向与y轴的夹角为30°，P到O的距离为L，如图所示．不计重力的影响．求磁场的磁感强度B的大小和xy平面上磁场区域的半径R．【解析】粒子在磁场中受洛伦兹力作用，做匀速圆周运动，设其半径为r，则 ①由题意知，粒子在磁场中的轨迹的圆心C必在y轴上，且P点在磁场区之外．过P沿速度方向作延长线，它与x轴相交于Q点．作圆弧过O点与x轴相切，并且与PQ相切，切点A即粒子离开磁场区的地点．这样也求得圆弧轨迹的圆心C，如图所示．30ºvPyxOvLrrCRAQ由图中几何关系得：L＝3r ②由①②求得 ③图中OA的长度即圆形磁场区的半径R，由图中几何关系可得 ④【知识要点二】带电质点在组合场中的运动一、两种偏转的比较L磁偏转BOφvvQθαPRR电偏转v0vEφL1．运动性质：磁偏转：匀速圆周运动；电偏转：类平抛运动．2．处理方法：磁偏转：确定圆心画出轨迹；电偏转：先分解后合成．3．偏转角和运动时间：磁偏转：，；电偏转：，．二、典型应用1．质谱仪；2．回旋加速器P3yxOP1P2【例4】（突出圆心的确定）如图所示，在y＞0的空间中存在匀强电场，场强沿y轴负方向；在y＜0的空间中，存在匀强磁场，磁场方向垂直xy平面（纸面）向外．一电量为q、质量为m的带正电的运动粒子，经过y轴上y＝h处的点P1时速率为v0，方向沿x轴正方向；然后，经过x轴上x＝2h处的P2点进入磁场，并经过y轴上y＝处的P3点．不计重力．求：（1）电场强度的大小；（2）粒子到达P2时速度的大小和方向；（3）磁感应强度的大小．【解析】（1）粒子在电场、磁场中运动的轨迹如图所示．设粒子从P1到P2的时间为t，电场强度的大小为E，粒子在电场中的加速度为a，由牛顿第二定律及运动学公式，有qE＝ma ①v0t＝2h ② ③由①②③式解得 ④（2）粒子到达P2时速度沿x方向的分量仍为v0，以v1表示速度沿y方向分量的大小，v表示速度的大小，θ表示速度和x轴的夹角，则有 ⑤ ⑥ ⑦由②③⑤式得v1＝v0 ⑧由⑥⑦⑧式得 ⑨ ⑩（3）设磁场的磁感应强度为B，在洛伦兹力作用下粒子做匀速圆周运动，由牛顿第二定律，有 ⑾r是圆周的半径．此圆周与x轴和y轴的交点分别为P2、P3．因为OP2＝OP3，θ＝45°，由几何关系可知，连线P2P3为圆轨道的直径，由此可求得r＝ ⑿由⑨⑾⑿可得 ⒀【例5】（突出电磁偏转的区别）PQ空间中存在方向垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B，一带电量为＋q、质量为m的粒子，在P点以某一初速开始运动，初速方向在图中纸面内如图中P点箭头所示．该粒子运动到图中Q点时速度方向与P点时速度方向垂直，如图中Q点箭头所示．已知P、Q间的距离为l．若保持粒子在P点时的速度不变，而将匀强磁场换成匀强电场，电场方向与纸面平行且与粒子在P点时速度方向垂直，在此电场作用下粒子也由P点运动到Q点．不计重力．求：（1）电场强度的大小．（2）两种情况中粒子由P运动到Q点所经历的时间之差．【解析】（1）粒子在磁场中做匀速圆周运动，以v0表示粒子在P点的初速度，R表示圆周的半径，则有qv0B＝m ①由于粒子在Q点的速度垂直它在P点时的速度，可知粒子由P点到Q点的轨迹为1/4圆周，故有 ②以E表示电场强度的大小，a表示粒子在电场中加速度的大小，tE表示粒子在电场中由P点运动到Q点经过的时间，则有qE＝ma ③ ④R＝v0tE ⑤由以上各式解得 ⑥（2）因粒子在磁场中由P点运动到Q点的轨迹为1/4圆周，故运动经历的时间tE为圆周运动周期T的1/4，即有tE＝T/4 ⑦而 ⑧由⑦⑧和①式得 ⑨由①⑤两式得 ⑩【例6】（多次电加速和磁偏转）如图，两个共轴的圆筒形金属电极，外电极接地，其上均匀分布着平行于轴线的四条狭缝a、b、c和d，外筒的外半径为r0．在圆筒之外的足够大区域中有平行于轴线方向的均匀磁场，磁感强度的大小为B．在两极间加上电压，使两圆筒之间的区域内有沿半径向外的电场．一质量为m、带电量为+q的粒子，从紧靠内筒且正对狭缝的s点出发，初速为零．如果该粒子经过一段时间的运动之后恰好又回到出发点s，则两电极之间的电压应是多少?（不计重力，整个装置在真空中）【解析】带电粒子从s出发，在两筒之间的电场力作用下加速，沿径向穿出而进入磁场区，在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动．粒子再回到s点的条件是能沿径向穿过狭缝b，只要穿过了b，粒子就会在电场力作用下先减速，再反向加速，经b重新进入磁场区，然后，粒子将以同样方式经过c、d，再经过a回到s点．设粒子射入磁场区的速度为，根据动能定理，有 ①设粒子在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动的半径为，由洛伦兹力公式和牛顿定律得 ②由以上分析可知，要回到s点，粒子从a到b必经过圆周，所以半径必定等于筒的外半径，即 ③由以上各式解得 ④【知识要点三】带电质点在复合场中的运动一、运动性质和受力特点1．直线运动所受场力的合力为零或合力方向与速度方向共线．2．匀速圆周运动重力与电场力平衡，只由洛伦兹力f提供向心力．3．变加速曲线运动非圆非抛物线，洛伦兹力是变力，其大小和方向随速度的大小和方向而变化．二、典型应用1．速度选择器； 2．电磁流量计； 3．磁流体发电机【典例剖析】【例7】（两种场中的直线运动）在图中虚线所示的区域存在匀强电场和匀强磁场．取坐标如图．一带电粒子沿x轴正方向进入此区域，在穿过次区域的过程中运动方向始终不发生偏转．不计重力的影响，电场强度E和磁感应强度B的方向可能是OzyxA．E和B都沿x轴方向B．E沿y轴正向，B沿z轴正向C．E沿z轴正向，B沿y轴正向D．E、B都沿z轴方向【解析】（1）运动方向不发生偏转，说明粒子沿x轴正方向做直线运动，可能是匀速直线运动，可能是匀加速直线运动，还可能是匀减速直线运动。

2）若E和B都沿x轴方向，则粒子不受磁场力作用，只在电场力作用下做匀变速直线运动，可能3）若E沿y轴正向，B沿z轴正向，则粒子受到的电场力与洛伦兹力方向相反，且与运动方向垂直，当电场力与洛伦兹力平衡时，粒子做匀速直线运动，可能同理，可判断C、D不可能答案】AB【例8】（电磁流量计）电磁流量计广泛应用于测量可导电流体（如污水）在管中的流量（在单位时间内通过管内横截面的流体的体积）．为了简化，假设流量计是如图所示的横截面为长方形的一段管道，其中空部分的长、宽、高分别为图中的a、b、c，流量计的两端与输送液体的管道相连接（图中虚线）．图中流量计的上下两面是金属材料，前后两面是绝缘材料，现于流量计所在处加磁感强度为B的匀强磁场，磁场方向垂直于前后两面．当导电液体稳定地流经流量计时，在管外将流量计上、下两表面分别与一串接了电阻R的电流表的两端连接，I表示测得的电流值．已知流体的电阻率为ρ，不计电流表的内阻，则可求得流量为A． B．C． D．【解析】（1）求电动势：导电流体中的正、负离子在洛伦兹力的作用下分别向上、下两表面偏转，使上、下两表面间产生一定的电势差当洛伦兹力与电场力平衡时，电势差稳定。

此时，有：，则电势差（2）求流体的内阻：根据电阻定律，（3）求流体的速度：根据闭合电路欧姆定律，，则（4）求流量：根据流量的定义，【答案】A【例9】（速度选择器的应用）有人设想用如图所示的装置来选择密度相同、大小不同的球状纳米粒子．粒子在电离室中电离后带正电，电量与其表面积成正比．电离后，粒子缓慢通过小孔O1进入极板间电压为U的水平加速电场区域Ⅰ，再通过小孔O2射入相互正交的恒定匀强电场、磁场区域Ⅱ，其中磁场的磁感应强度大小为B，方向如图．收集室的小孔O3与O1、O2在同一条水平线上．半径为r0的粒子，其质量为m0、电量为q0，刚好能沿O1O3直线射入收集室．不计纳米粒子重力．（）（1）试求图中区域II的电场强度；（2）试求半径为r的粒子通过O2时的速率；（3）讨论半径r≠r0的粒子刚进入区域II时向哪个极板偏转．【解析】（1）设半径为r0的粒子加速后的速度为v0，根据动能定理，有：，解得设区域Ⅱ内电场强度为E，半径为r0的粒子沿O1O3直线匀速穿过区域II，则，电场强度方向竖直向上（2）设半径为r的粒子的质量为m、带电量为q、被加速后的速度为v，则由得（3）半径为r的粒子，在。