二次函数的基础知识和经典练习题(最新编写修订).pdf

中小学 1 对 1 课外专家 绿波帝欧校区：绿波帝欧校区：39638145 山东路校区：山东路校区：39639143 大纺校区大纺校区 39638142 二次函数二次函数 一、基础知识 1.定义：一般地，如果是常数，，那么叫做的二次函数.cbacbxaxy,,( 2 )0ayx 2.二次函数的表示方法：数表法、图像法、表达式. 3.二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式： （； 2 axy )0a ；(kaxy 2 )0a (顶点式)；2hxay)0a ；（khxay 2 )0a .它们的图像都是对称轴平行于（或重合）轴的抛物线.cbxaxy 2 y 4.各种形式的二次函数的图像性质如下表： 函数解析式开口方向对称轴顶点坐标 2 axy （轴）0 xy （0,0） kaxy 2 （轴）0 xy (0, )k 2hxay hx (,0)h khxay 2 hx (,)hk cbxaxy 2 当时0a 开口向上 当时0a 开口向下 a b x 2 () a bac a b 4 4 2 2 ， 1.抛物线中的系数cbxaxy 2 cba,, （1）决定开口方向： 几个不同的二次函数，如果二次项系数相同，那么抛物线的开口方向、aa 开口大小完全相同，只是顶点的位置不同. 当时，抛物线开口向上，顶点为其最低点 ；当0a 时，抛物线开口向下，顶点为其最高点.0a （2）和共同决定抛物线对称轴的位置：当时，对称轴为轴；当、同号时，对称轴ba0byab 在轴左侧；当、异号时，对称轴在轴右侧.yaby （3） 决定抛物线与轴交点位置：当时，抛物线经过原点； 当时,相交于轴的正半cy0c0cy 中小学 1 对 1 课外专家 绿波帝欧校区：绿波帝欧校区：39638145 山东路校区：山东路校区：39639143 大纺校区大纺校区 39638142 轴；当时,则相交于轴的负半轴.0cy 2.求抛物线的顶点、对称轴的方法 （1）公式法：，顶点是，对称轴是直线 a bac a b xacbxaxy 4 4 2 2 2 2 ），（ a bac a b 4 4 2 2 . a b x 2 （2）配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为的形式，得cbxaxy 2 khxay 2 到顶点为(,)，对称轴是直线.其中.hkhx a bac k a b h 4 4 2 2 ， （3）运用抛物线的对称性：抛物线是轴对称图形，所以对称点的连线的垂直平分线就是抛物线的对 称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点.. 3用待定系数法求二次函数的解析式 （1）一般式：.已知图像上三点或三对、的值，通常选择一般式.cbxaxy 2 xy （2）顶点式：.已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式. khxay 2 （3）两点式：已知图像与轴的交点坐标、，通常选用交点式：.x 1 x 2 x 21 xxxxay 4.抛物线与轴的交点x 设二次函数的图像与轴的两个交点的横坐标、，是对应一元二次方程cbxaxy 2 x 1 x 2 x 的两个实数根.抛物线与轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式来0 2 cbxaxx 判定： （1）抛物线与轴有两个交点； 2 40bacx （2）抛物线与轴有一个交点（顶点在轴上） ； 2 40bacxx （3）抛物线与轴没有交点. 2 40bacx 5.二次函数的应用 一、的性质cbxaxy 2 1已知二次函数与 x 轴有交点，则 k 的取值范围是 。

77 2 xkxy 解： 中小学 1 对 1 课外专家 绿波帝欧校区：绿波帝欧校区：39638145 山东路校区：山东路校区：39639143 大纺校区大纺校区 39638142 2二次函数的图象如图，则直线的图象不经过第 象限cbxaxy 2 bcaxy 理由： 3.二次函数的图象如图，试判断 a、b、c 和的符号cbxaxy 2 解： 4.二次函数的图象如图，下列结论（1） c0； （2） b0； （3） 4a+2b+c0；（4）cbxaxy 2 （a+c）20， 其中正确的是：（ ） A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 理由： 5 二次函数的图象如图，那么 abc、2a+b、a+b+c、a-b+c 这四个代数式cbxaxy 2 中，值为正数的有（ ） A4 个 B3 个 C2 个 D1 个 理由： 6 已知直线的图象经过第一、二、三象限，那么的图象为（ ）baxy1 2 bxaxy A B CD 7已知函数，当函数值 y 随 x 的增大而减小时，x 的取值范围是( )4 2 1 2 xxy Ax1Bx1Cx2D2x4 8二次函数 ya(xk)2k，当 k 取不同的实数值时，图象顶点所在的直线是( ) AyxBx 轴CyxDy 轴 9已知二次函数 yax2bxc 的图象如右图所示，则( ) 中小学 1 对 1 课外专家 绿波帝欧校区：绿波帝欧校区：39638145 山东路校区：山东路校区：39639143 大纺校区大纺校区 39638142 Aa0，c0，b24ac0 Ba0，c0，b24ac0 Ca0，c0，b24ac0 Da0，c0，b24ac0 10已知二次函数 yax2bxc 的图象如下图所示，则( ) Ab0，c0，0 Bb0，c0，0 Cb0，c0，0 Db0，c0，0 11二次函数 ymx22mx(3m)的图象如下图所示，那么 m 的取值范围是( ) Am0Bm3 Cm0D0m3 12在同一坐标系内，函数 ykx2和 ykx2(k0)的图象大致如图( ) 13函数(ab0)的图象在下列四个示意图中，可能正确的是( ) x ab ybaxy 2 2 1 , 14图中有相同对称轴的两条抛物线，下列关系不正确的是( ) 中小学 1 对 1 课外专家 绿波帝欧校区：绿波帝欧校区：39638145 山东路校区：山东路校区：39639143 大纺校区大纺校区 39638142 AhmBkn CknDh0，k0 15已知二次函数 yax2bxc(a0)的图象如图所示，有下列结论 ： abc0； abc2；； b 2 1 a 1其中正确的结论是( ) AB CD 16下列命题中，正确的是( ) 若 abc0，则 b24ac0； 若 b2a3c，则一元二次方程 ax2bxc0 有两个不相等的实数根； 若 b24ac0，则二次函数 yax2bxc 的图象与坐标轴的公共点的个数是 2 或 3； 若 bac，则一元二次方程 ax2bxc0，有两个不相等的实数根 ABCD 二、的最值cbxaxy 2 1 心理学家发现，学生对概念的接受能力 y 和提出概念所用的时间 x（单位：分）之间大体满足函数关系式： （0 x30） 。

y 的值越大，表示接受能力越强试根据关系式回答：436 . 21 . 0 2 xxy （1）若提出概念用 10 分钟，学生的接受能力是多少？ （2）概念提出多少时间时？学生的接受能力达到最强？ 2 某地要建造一个圆形喷水池， 在水池中央垂直于水面安装一个花形柱子 OA， O 恰在水面中心， 安置在柱子顶端 A 处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，且在过 OA 的任一平面上，抛物线形状 如图（1）所示图（2）建立直角坐标系，水流喷出的高度 y（米）与水平距离 x（米）之间的关系是 中小学 1 对 1 课外专家 绿波帝欧校区：绿波帝欧校区：39638145 山东路校区：山东路校区：39639143 大纺校区大纺校区 39638142 请回答下列问题： 4 5 2 2 xxy （1）柱子 OA 的高度是多少米？ （2）喷出的水流距水平面的最大高度是多少米？ （3）若不计其他因素，水池的半径至少要多少米才能使喷出的水流不至于落 在池外？ 3 体育测试时，初三一名高个学生推铅球，已知铅球所经过的路线为抛物线的一部分，根据2 12 1 2 xxy 关系式回答： （1）该同学的出手最大高度是多少？ （2）铅球在运行过程中离地面的最大高度是多少？ （3）该同学的成绩是多少？ 4 如图，正方形 EFGH 的顶点在边长为 a 的正方形 ABCD 的边上，若 AE=x，正方形 EFGH 的 面积为 y。

（1）求出 y 与 x 之间的函数关系式； （2）正方形 EFGH 有没有最大面积？若有，试确定 E 点位置；若没有，说明理由 三、函数解析式的求法（1） 1 某菜农搭建了一个横截面为抛物线的大棚，尺寸如图： （1）根据如图直角坐标系求该抛物线的解析式； （2）若菜农身高为 1.60 米，则在他不弯腰的情况下，在棚内的横向活动范围有几米？（精确到 0.01 米） 2 根据下列条件求抛物线的解析式： 中小学 1 对 1 课外专家 绿波帝欧校区：绿波帝欧校区：39638145 山东路校区：山东路校区：39639143 大纺校区大纺校区 39638142 （1）图象过点（-1，-6） 、 （1，-2）和（2，3） ； （2）图象的顶点坐标为（-1，-1） ，且与 y 轴交点的纵坐标为-3； （3）图象过点（1，-5） ，对称轴是直线 x=1，且图象与 x 轴的两个交点之间的距离为 4 3 在一场足球赛中，一球员从球门正前方 10 米处将球踢起射向球门，当球飞行的水平距离为 6 米时，球到达最 高点，此时球高 3 米，已知球门高为 2.44 米，问能否射中球门？ 4 已知二次函数的图象与 x 轴交于 A（-2，0） 、B（3，0）两点，且函数有最大值是 2。

（1）求二次函数的图象的解析式； （2）设次二次函数的顶点为 P，求ABP 的面积 5 如图： （1）求该抛物线的解析式； （2）根据图象回答：当 x 为何范围时，该函数值大于 0 6 已知抛物线经过 A（-3，0） 、B（0，3） 、C（2，0）三点 （1）求这条抛物线的解析式； （2）如果点 D（1， m） 在这条抛物线上， 求 m 值和点 D 关于这条抛物线对称轴的对称点 E 的坐标， 并求出 tanADE 的值 中小学 1 对 1 课外专家 绿波帝欧校区：绿波帝欧校区：39638145 山东路校区：山东路校区：39639143 大纺校区大纺校区 39638142 四、函数解析式的求法（2） 1 已知某绿色蔬菜生产基地收获的大蒜，从四月一日起开始上市的 30 天内，大蒜每 10 千克的批发价 y（元）是 上市时间 x (天)的二次函数，有近几年的行情可知如下信息： x（天）51525 y（元）151015 （1）求 y 与 x 的函数关系式； （2）大蒜每 10 千克的批发价为 10.8 元时，问此时是在上市的多少天？ 2 如图，某建筑物从 10m 高的窗口 A 用水管向外喷水，喷出的水呈抛物线状，如果抛物线的最高点 M 离墙 1m，离 地面m，求水流落点 B 离墙的距离 OB 的长。

3 40 3 一男生推铅球， 成绩为 10 米， 已知该男生的出手高度为米， 且当铅球运行的水平距离为 4 米时达到最大高度， 。