椭圆标准方程+焦点三角形面积公式(高三复习).docx

椭圆焦点三角形面积公式的应用性质 1( 选填题课直接用，大题需论证 ):在椭圆x2y21ab ＞ ）中，焦点分别为F1、F2 ，点 P 是椭圆上任意一点，a2b2（ ＞0F1 PF2，则 S F PFb2 tan.y212PP证明：记 | PF1 |r1 ,| PF2|r2 ，由椭圆的第一定义得r1 r22a,(r1r2 ) 24a2 .F 1OF 2x在△ F1 PF2 中，由余弦定理得：r12r 222r1r2 cos(2c) 2 .配方得： (r1r2)22r1r222cos4c2 .r1r即 4 22r1r2(1cos )4c2 .ar1r22( a 2c2 )2b2.1cos1cos由任意三角形的面积公式得：12 sin2sincosS F1PF2bb222b2tan .r1r2 sin2 cos221cos22S F PF2b2 tan .12同理可证，在椭圆y 2x21 （ a＞b ＞ ）中，公式仍然成立.a2b20典型例题2 2例 1 若 P 是椭圆 x y 1 上的一点， F1 、 F2 是其焦点，且 F1PF2 60 ，求100 64△ F1 PF2 的面积 .例 2已 知 P 是 椭 圆 x2y21 上 的 点 ， F1 、 F2 分 别 是 椭 圆 的 左 、 右 焦 点 ， 若259PF1PF21 ，则△ F1 PF2的面积为（）| PF1 || PF2 | 21A.3 3B.23C.3D.33例 3（ 04 湖北）已知椭圆 x 2y 21的左、 右焦点分别是F1 、 F2，点 P 在椭圆上 . 若 P、 F1、169F2 是一个直角三角形的三个顶点，则点P 到 x 轴的距离为（）A.9B.97C.9D.9 或 9757447答案：例 1 若 P 是椭圆 x2 y 2 1 上的一点， F1 、 F2 是其焦点，且 F1PF2 60 ，求100 64△ F1 PF2 的面积 .x 2y26, 而60 . 记 | PF1 | r1 , | PF2 | r2 .解法一：在椭圆1001 中， a 10, b 8, c64点 P 在椭圆上，由椭圆的第一定义得： r1 r2 2a 20.在△ F1 PF2222r1r2 cos(2c) 2 .中，由余弦定理得：r1r 2配方，得： ( r1r2 )23r1r 2144.400 3r1r2144. 从而 r1r2256 .3S F1 PF 21 r1r2 sin1256364 3 .22323解法二：在椭圆x 2y 21 中， b 264 ，而60 .10064S F1PF2b 2 tan64 tan 3064 3 .23解法一复杂繁冗，运算量大，解法二简捷明了，两个解法的优劣立现！2例 2已 知 P 是 椭 圆 x2y21 上 的 点 ， F1 、 F2 分 别 是 椭 圆 的 左 、 右 焦 点 ， 若259PF1PF21 ，则△ F1 PF2的面积为（）| PF1 || PF2 |2A.33B.23C.3D.33解：设F1 PF2，则 cosPF1PF21，60 .| PF1 || PF2 |2S F PF2b 2 tan9 tan 3033.12故选答案 A.例 3（ 04 湖北）已知椭圆 x 2y 21的左、 右焦点分别是F1 、 F2，点 P 在椭圆上 . 若 P、 F1、169F2 是一个直角三角形的三个顶点，则点P 到 x 轴的距离为（）A.9B.97C.9D.9 或 9757447解：若 F1或 F2 是直角顶点，则点P 到 x 轴的距离为半通径的长b29 ；若 P 是直角顶点，设a4点 P 到 x 轴的距离为 h，则 S F PF2b 2 tan9 tan 45 9 ，又 S F PF1 (2c) h7h,121227h9 ， h97 . 故答案选 D.7金指点睛y 2x2F1 、 F2 的连线互相垂直，则△F1 PF2 的面积为1(略 ). 椭圆1 上一点 P 与椭圆两个焦点49 24（ ）A. 20B. 22C. 28D. 242. 椭圆 x 2y 21的左右焦点为F1 、F2， P 是椭圆上一点， 当△ F1 PF2的面积为1 时，PF1 PF24的值为（）A. 0B.1C. 3D. 633. 椭圆 x 2y 21的左右焦点为F1 、F2 ， P 是椭圆上一点， 当△ F1 PF2 的面积最大时， PF1PF24的值为（）A. 0B.2C. 4D.24．已知椭圆x2y21（ a ＞ 1）的两个焦点为F1 、 F2 ， P 为椭圆上一点，且F1PF260 ，a2则 | PF1 ||PF2|的值为（）A ． 1B．1423。