2025版高考数学复习：三角函数（解析版）.pdf

专题0 4三角函数考情概览命题解读考向考查统计高考对三角函数的考查，基础方面是掌握三角函数的定义、同角三角函数关系式和诱导公式重点是三角恒等变换和三角函数的图像、周期性、单调性、奇偶性、对称性、最值等三角恒等变换位于三角函数与数学变换的结合点上，高考会侧重综合推理能力和运算能力的考查，体现三角恒等变换的工具性作用，以及会有一些它们在数学中的应用这需要同学熟练运用公式，进一步提高运用联系转化的观点去处理问题的自觉性，体会一般与特殊的思想、换元的思想、方程的思想等数学思想在三角恒等变换中的作用三角函数的图像与性质2022新高考I卷，62023新高考I卷，152024新高考I卷,72022新高考n 卷，92023 新高考n 卷，162024 新高考口卷,9三角恒等变换2023新高考I卷，82024新高考I卷,42022 新高考口卷,62023新高考II卷,72024新高考n 卷，132024年真题研析命题分析2024年高考新高考I卷、n 卷都考查到了三角函数的图像与性质及三角恒等变换其中I卷、n 卷的三角恒等变换都结合了两角和差的公式，属于常规题型，难度一般I卷在考查三角函数的图像与性质时，结合了具体函数图像的画法，II卷则是考查了零点、对称性、最值、周期性等基本性质。

三角函数的考查应关注：同角三角函数的基本关系式、诱导公式、和角差角公式、三角函数的图象与性质、应用三角公式进行化简、求值和恒等变形及恒等证明预计2025年高考还是主要考查三角恒等变换中的倍角公式、和差公式、辅助角公式及图像与性质中的对称性和零点问题试题精讲一、单选题1.（2024 新高考I卷-4）已知8 5（&+4）=加 42111211夕=2,则 cos（a-尸）=（）Y Y l mA.3加 B.-C.-D.3TH3 32.(2024新高考I卷-7)当xe0,2;r时，曲线y=sin x 与y=25M(3工-2 的交点个数为()A.3 B.4 C.6 D.8二、多选题Jr3.(2024新高考II卷-9)对于函数M=sin2x和 g(x)=s in(2 x-),下列说法正确的有()A./(x)与g(x)有相同的零点 B./(x)与g(x)有相同的最大值C.，(x)与g(x)有相同的最小正周期 D.，(x)与g(x)的图像有相同的对称轴三、填空题4.(2024新高考II卷 1 3)已知a 为第一象限角，A 为第三象限角，tana+tan4=4,tanfztan=血+1,贝 I sin(+/?)=.近年真题精选一、单选题1.(2022新高考I卷-6)记函数/()=5,5 +力+6(。

0)的最小正周期为7.若 7 万，且y=/(x)的 图 象 关 于 点 中 心 对 称，则()A.1 B.3cA2C 2D.32.(2023新高考I卷心)已知sin（a ）=g,cosasinQ=g,贝|cos（2a+2/）=（）A.-B.91c.9 97D.93.（2022新高考II卷-6）若 sin（a +夕）+cos（a +夕）=2后 cosa+?卜 n夕，则()A.tan（a 夕）=1B.tan（a +夕）=1C.tan（cr-/7）=-lD.tan（a +/）二-14.（2023新高考II卷-7）已知a 为锐角，cosa=匕 好，则sin =4 2=（）.A.B.8-1+V 5 3-75D.T +.8 44二、多选题5.（2022新高考n 卷-9）已知函数/（x）=sin（2x+）（0兀）的图像关于点 彳,0中心对称，则（）A./（x）在区间单调递减B./在区间*，詈）有两个极值点7兀C.直线x=9是曲线y=/（x）的对称轴0D.直线了=2 -x 是曲线y=/（x）的切线三、填空题6.（2023新高考I卷-15）已知函数/（x）=c o s 5-l（0O）在区间 0,2可有且仅有3 个零点，则。

的取值范围是.7.（2023新高考II卷 16）已知函数 x）=sin（s+如图/,3 是直线y=；与曲线丁=无）的两个交必备知识速记一、三角函数基本概念1、弧度制（1）定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1 弧度的角，用符号榜 表示，读作弧度.正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0.（2）角度制和弧度制的互化：180万 rad,1=rad,lrad=.180 7i（3）扇形的弧长公式：/=|a ，扇形的面积公式：S=；/r=J c“2.2、任意角的三角函数（1）定义：任意角a 的终边与单位圆交于点尸（工,歹）时，则 sin a=y,cosa=x,tana=（x 0）.x(2)推广：三角函数坐标法定义中，若取点尸尸(x,y)是角a 终边上异于顶点的任一点，设点尸到原点的距离为尸,则 s in a=,c o s a=,t an a=(x 0)r r x三角函数的性质如下表:三角函数定义域第一象限符号第二象限符号第三象限符号第四象限符号sin aR+一一c o s c rR+一一+t an aJIaa kTi+,k Z+记忆口诀：三角函数值在各象限的符号规律：一全正、二正弦、三正切、四余弦.二、同角三角函数基本关系1、同角三角函数的基本关系(1)平方关系：s in2 a+c o s2 a=l,(2)商数关系：9山=ta nw+左 万)；C O S 6 Z 2三、三角函数诱导公式公式一二三四五六角2ki+a(k e Z)7 T+a ccn-a7 1-a27 1-F C t2正弦sin a-sin a-sin asin aC O S 6 Zc o s。

余弦cosa-c o s c rC O S 6 Z一 c o s asin a-sin a正切t an at an a-tana-tana口诀函数名不变，符号看象限函数名改变,符号看象限【记忆口诀】奇变偶不变，符号看象限，说明：(1)先将诱导三角函数式中的角统一写作工2)2无论有多大，一律视为锐角，判断工土a 所处的象限，并判断题设三角函数在该象限的正负；(3)当 2为奇数是，“奇变”，正变余，余变正；当为偶数时，“偶不变”函数名保持不变即可.四、两角和与差的正余弦与正切 s in(a 4)=s in a c o s J 3 c o s asin/3；c o s(a P)=c o s a c o s /?+s in a s in P；t an(a)=,an土tan J1 +t an a t an 3五、二倍角公式 sin 2a=2 sin a cos a；cos 2a=cos2 a -sin2 a=2 cos2 a-l =l-2 sin2 a；tan 2a=2 tan a1 -tan2 a六、降 次（幕）公式.1 .3.2 l-cos2a 2 l+cos2asm a cos a=sm2a:sin a=-;cos a=-2 2 2知识点四：半角公式a sin a 1-cos atan=-=-.2 1 +cos a sin a七、辅助角公式a sin cos=Va2+b2 sin（a+cp）（其中 sin 0=j=，cos 0,w 0)的图像与性质(1)最小正周期：T=.w(2)定义域与值域：y=A sin(wx+)f歹=4cos(wx+)的定义域为R,值域为/,A.(3)最值假设 A 0,w 0.对于 y=4sin(wx+0)，当wx+=+2版 (左 Z)时，函数取得最大值4;0,w0.对于 y=4 sin(wx+0)，JI当Ma。

/=左 乃 +耳(左 Z),即 sin(wx0+0)=1 时，y=sin(ua+0)的对称轴为x=%o当w/+0=kji(k e Z),即 sin(wx0+0)=0时，y=sin(wx+)的对称中心为(公,0).对于 y=4 cos(wx+)，当Ma/)=ki(k G Z),BPcos(wx0+)=1时，y=cos(wx+0)的对称轴为x=%o 0,w 0 .对于=Zsin(wx+)，rr rr.wx+，w-F 2左肛一+2左%(左 w Z)=增区间；减区间.(6)平移与伸缩由函数y=sinx的图像变换为函数y=2sin(2x+?)+3 的图像的步骤;方法一：(x-x +f 2x+g).先相位变换，后周期变换，再振幅变换，不妨采用谐音记忆：我n r 想欺负”(相一期一幅)三角函数图像，使之变形.,E g 向左平移g个单位 JIy=sinx的图像-=sin(x+)的图像所有点的横坐标变为原来明纵坐标不变y=sin(2x+g)的图像 所有点的紫晶1来的？倍 y=2sin(2x+g)的图像向上平移3个 单 位 了 =2 sin(2x+1)+3方法二：(x x +j 2 x +1).先周期变换，后相位变换，再振幅变换.,/2,所有点的横坐标变为原来的,心 向左平移X个单位y:sinx的图像-雁标襦一j y=sin2x的图像-y=sin 2(x+刍=sin(2x+g)的图像 所有点的分款原来,6 2y=2 sin(2x+?)的图像 向上 平 松 各 单 位 =2 sin(2x+?)+3注：在进行图像变换时，提倡先平移后伸缩(先相位后周期，即“想欺负”)，但先伸缩后平移(先周期后相位)在题目中也经常出现，所以必须熟练掌握，无论哪种变化，切记每一个变换总是对变量x 而言的，即图像变换要看“变量x”发生多大变化，而不是“角 wx+。

变化多少.【三角函数常用结论】1、利用siYtz+cos2 a =1可以实现角a 的正弦、余弦的互化，利 用 型 里=tan a可以实现角口的弦切互cos a化.2、“sina+cos a ,sin a cos a，sin a-c o s a 方程思想知一求二.(sin a+cos a)2=sin2 a+cos2 a +2 sin a cos a =1 +sin 2a(sin a-cos a)2=sin2 a+cos2 a 2 sin a cos a =1 sin 2sin a+cos a)2+(sin a-cos a)2=23、两角和与差正切公式变形tan a tan P=tan(a /7)(1+tan a t a n；tan a tan，=1 一tan a+tan p tan a-tan(3-=-1 .tan(cr+P)tan(a-/3)4、降暴公式与升幕公式si.n 2 a=-l-c-o-s-2-a-；cos 2 a-1-+-c-o-s-2-a-；sin.a cos a=1 sm,2a；2 2 21 +cos2a=2cos2 a；l cos2a=2sin2 a；1 +sin2a-(sina+cosa)2；1 -sin la =(sina-cosa)2.5、其他常用变式.c 2sinacosa 2tana cos2 6Z-sin2 =sin2x+cos2x的图象，只 要 把 y=Vcos2x的图象上所有的点A.向右平行移动?个单位长度OB.向左平行移动?个单位长度O1 TC.向右平行移动:个单位长度4TTD.向左平行移动y个单位长度4（1）函数无）的图象关于点 石,oj中心对称（2）函数/（x）的图象关于直线x=-g 对称O（3）函数X）在区间（-兀,无）内有4 个零点T T（4）函数x）在 区 间-5,0 上单调递增以上四个说法中，正确的个数为（）A.1B.2C.3D.49.(2024河北石家庄三模)已 知 角 满 足 tana=g,2sin/7=cos(cr+/?)s in a,则 tan 4=()1B.一6A.c-ID.2 71 71 10.（2024 重庆三模）已知函数/（x）=/sin（x+e“N O,0 O,-E e =6 c o sx14.（2024黑龙江三模）已知函数/（x）=c o s x-（0O）在区间 0,2兀 内恰有3 条对称轴，则。

的取值范 围 是（）A.7 158?TB.5 9858C.5 138?TD.2 0.8 8 J15.（2024 河北三模）已知函数/（x）=s i n s-COSGX（0 0,X GR）在 区 间 与 声 内 没 有 零 点，则/周期的最小值是（）A.。