高中数学复习 函数的概念与性质（5知识点+4重难点+5方法技巧+5易错易混）（原卷版）.docx

函数的概念与性质（思维构建+知识盘点+重点突破+方法技巧+易混易错）知识点1 函数的有关概念1、函数的概念：一般地，设是非空的数集，如果对于集合中的任意一个数，按照某种确定的对应关系，在集合中都有唯一确定的和它对应，那么就称为从集合到集合的一个函数，记作.2、函数的三要素：（1）在函数中，叫做自变量，的取值范围叫做函数的定义域；（2）与的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域显然，值域是集合B的子集．（3）函数的对应关系：.3、相等函数与分段函数（1）相等函数：如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数相等，这是判断两函数相等的依据．（2）分段函数：在函数定义域内，对于自变量取值的不同区间，有着不同的对应关系，这样的函数称为分段函数分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集分段函数虽然是由几个部分构成，但它表示的是一个函数，各部分函数定义域不可以相交知识点2 函数的单调性1、单调函数的定义设函数f(x)的定义域为I.如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值，当时，都有，那么就说函数f(x)在区间D上是单调递增函数当时，都有，那么就说函数f(x)在区间D上是单调递减函数。

单调性的图形趋势（从左往右） 上升趋势 下降趋势2、函数的单调区间若函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，则称函数y＝f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间．【注意】（1）函数单调性关注的是整个区间上的性质，单独一点不存在单调性问题，故单调区间的端点若属于定义域，则区间可开可闭，若区间端点不属于定义域则只能开．（2）单调区间D⊆定义域I.（3）遵循最简原则，单调区间应尽可能大；（4）单调区间之间可用“，”分开，不能用“∪”，可以用“和”来表示；3、函数单调性的性质若函数与在区间D上具有单调性，则在区间D上具有以下性质：（1）与（C为常数）具有相同的单调性.（2）与的单调性相反.（3）当时，与单调性相同；当时，与单调性相反.（4）若≥0，则与具有相同的单调性.（5）若恒为正值或恒为负值，则当时，与具有相反的单调性；当时，与具有相同的单调性.（6）与的和与差的单调性（相同区间上）:简记为：↗↗↗;（2）↘↘↘;（3）↗﹣↘=↗;（4）↘﹣↗=↘.（7）复合函数的单调性：对于复合函数y＝f[g(x)]，若t＝g(x)在区间(a，b)上是单调函数，且y＝f(t)在区间(g(a)，g(b))或(g(b)，g(a))上是单调函数若t＝g(x)与y＝f(t)的单调性相同，则y＝f[g(x)]为增函数若t＝g(x)与y＝f(t)的单调性相反，则y＝f[g(x)]为减函数．简称“同增异减”．知识点3 函数的奇偶性1、函数的奇偶性奇偶性定义图象特点偶函数如果对于函数的定义域内任意一个x，都有，那么函数f(x)是偶函数关于y轴对称奇函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有，那么函数是奇函数关于原点对称2、函数奇偶性的几个重要结论（1）为奇函数⇔的图象关于原点对称；为偶函数⇔的图象关于y轴对称．（2）如果函数是偶函数，那么．（3）既是奇函数又是偶函数的函数只有一种类型，即，x∈D，其中定义域D是关于原点对称的非空数集．（4）奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性，偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性．（5）偶函数在关于原点对称的区间上有相同的最大(小)值，取最值时的自变量互为相反数；奇函数在关于原点对称的区间上的最值互为相反数，取最值时的自变量也互为相反数．知识点4 函数的周期性1、周期函数的定义对于函数，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有，那么就称函数为周期函数，称T为这个函数的周期．2、最小正周期：如果在周期函数的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做的最小正周期．知识点5 函数的对称性1、关于线对称若函数满足，则函数关于直线对称，特别地，当a＝b＝0时，函数关于y轴对称，此时函数是偶函数．2、关于点对称若函数满足，则函数关于点(a，b)对称，特别地，当a＝0，b＝0时，，则函数关于原点对称，此时函数是奇函数．重难点01 求函数值域的七种方法法一、单调性法：如果一个函数为单调函数，则由定义域结合单调性可快速求出函数的最值(值域)．（1）若函数y＝f(x)在区间[a，b]上单调递增，则ymax＝f(b)，ymin＝f(a)．（2）若函数y＝f(x)在区间[a，b]上单调递减，则ymax＝f(a)，ymin＝f(b)．（3）若函数y＝f(x)有多个单调区间，那就先求出各区间上的最值，再从各区间的最值中决定出最大(小)值．函数的最大(小)值是整个值域范围内的最大(小)值．【典例1】（23-24高三·全国·专题）函数（）的最大值为（    ）A．2 B． C． D．【典例2】（23-24高三·全国·专题）函数的定义域为，则值域为（    ）A． B． C． D．法二、图象法：作出函数的图象，通过观察曲线所覆盖函数值的区域确定值域，以下函数常会考虑进行数形结合．（1）分段函数：尽管分段函数可以通过求出每段解析式的范围再取并集的方式解得值域，但对于一些便于作图的分段函数，数形结合也可很方便的计算值域．（2）的函数值为多个函数中函数值的最大值或最小值，此时需将多个函数作于同一坐标系中，然后确定靠下(或靠上)的部分为该函数的图象，从而利用图象求得函数的值域．【典例1】（23-24高三上·河南新乡·月考）对，用表示，中的较大者，记为，若函数，则的最小值为 .【典例2】（23-24高三上·重庆北碚·月考）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，用其名字命名的“高斯函数”为：对于实数，符号表示不超过的最大整数，例如，，定义函数，则函数的值域为 .法三、配方法：主要用于二次函数或可化为二次函数的函数，要特别注意自变量的取值范围.【典例1】（23-24高三上·全国·专题）函数的值域是（    ）A． B． C． D．【典例2】（2023高三·江西萍乡·开学考）函数的值域为 .法四、换元法：换元法是将函数解析式中关于x的部分表达式视为一个整体，并用新元t代替，将解析式化归为熟悉的函数，进而解出最值(值域)．（1）在换元的过程中，因为最后是要用新元解决值域，所以一旦换元，后面紧跟新元的取值范围．（2）换元的作用有两个：①通过换元可将函数解析式简化，例如当解析式中含有根式时，通过将根式视为一个整体，换元后即可“消灭”根式，达到简化解析式的目的．②可将不熟悉的函数转化为会求值域的函数进行处理【典例1】（2023高三上·广东河源·开学考试）函数的最大值为 .【典例2】（23-24高三·全国·专题）函数的值域为（    ）A． B． C． D．法五、分离常数法：主要用于含有一次的分式函数，形如或（，至少有一个不为零）的函数，求其值域可用此法以为例，解题步骤如下：第一步，用分子配凑出分母的形式，将函数变形成的形式，第二步，求出函数在定义域范围内的值域，进而求出的值域。

典例1】（2024高三·全国·专题练习）函数的值域为 ．【典例2】（2024高三下·北京怀柔·模拟预测）已知函数，则对任意实数x，函数的值域是（    ）A． B． C． D．法六、判别式法：主要用于含有二次的分式函数，形如：将函数式化成关于x的方程，且方程有解，用根的判别式求出参数y的取值范围，即得函数的值域应用判别式法时必须考虑原函数的定义域，并且注意变形过程中的等价性另外，此种形式还可使用分离常数法解法典例1】（23-24高三·全国·专题练习）求函数的值域.【典例2】（23-24高三上·全国·专题练习）函数，的值域为 ．法七、导数法：对可导函数求导，令，求出极值点，判断函数的单调性：如果定义域时闭区间，额函数的最值一定取在极值点处或区间端点处；如果定义域是开区间且函数存在最值，则函数最值一定取在极值点处典例1】（23-24高三上·辽宁·开学考试）函数在区间上的最大值为 ，【典例2】（23-24高三上·山东济宁·月考）函数的最小值 重难点02 常见奇函数、偶函数的类型及应用1、（）为偶函数；2、（）为奇函数；3、（）为奇函数；4、（）为奇函数；5、（）为奇函数；6、为偶函数；7、为奇函数；【典例1】（23-24高三下·四川南充·二模）已知函数，则函数的图象（    ）A．关于点对称 B．关于点对称C．关于点对称 D．关于点对称【典例2】（23-24高三下·重庆·模拟预测）（多选）函数，，那么（   ）A．是偶函数 B．是奇函数C．是奇函数 D．是奇函数重难点03 函数周期性的常用结论及应用1、（是不为0的常数）（1）若，则； （2）若，则；（3）若，则； （4）若，则；（5）若，则； （6）若，则（）；2、函数对称性与周期性的关系（1）若函数关于直线与直线对称，那么函数的周期是；（2）若函数关于点对称，又关于点对称，那么函数的周期是；（3）若函数关于直线，又关于点对称，那么函数的周期是.3、函数的奇偶性、周期性、对称性的关系（1）①函数是偶函数；②函数图象关于直线对称；③函数的周期为.（2）①函数是奇函数；②函数图象关于点对称；③函数的周期为.（3）①函数是奇函数；②函数图象关于直线对称；③函数的周期为.（4）①函数是偶函数；②函数图象关于点对称；③函数的周期为.其中，上面每组三个结论中的任意两个能够推出第三个。

典例1】（23-24高三下·河北·模拟预测）定义在上的函数周期为，且为奇函数，则（    ）A．为偶函数 B．为偶函数C．为奇函数 D．为奇函数【典例2】（23-24高三下·江西·月考）（多选）已知的定义域为，若的图象关于直线对称，且为奇函数，则（    ）A． B． C． D．重难点04 抽象函数的性质综合应用1、抽象函数求值：以抽象函数为载体的求值问题的常见形式，是给出函数满足的特殊条件，指定求出某处的函数值或某抽象代数式的值常用赋值法来解决，要从以下方面考虑：令等特殊值求抽象函数的函数值2、判断抽象函数单调性的方法：（1）凑：凑定义或凑已知,利用定义或已知条件得出结论;（2）赋值：给变量赋值要根据条件与结论的关系.有时可能要进行多次尝试.①若给出的是“和型”抽象函数，判断符号时要变形为：或;②若给出的是“积型”抽象函数，判断符号时要变形为：或.3、求抽象函数解析式的方法①换元法：用中间变量表示原自变量x的代数式，从而求出f(x)；②凑合法：在已知f(g(x))=ℎ(x)的条件下，把ℎ(x)并凑成以g(x)表示的代数式，再利用代换即可求fx；③待定系数法：已知函数类型, 设定函数关系式, 再由已知条件，求出出关系式中的未知系数；④利用函数性质法：主要利用函数的奇偶性，求分段函数的解析式；⑤赋值法：给自变量取特殊值，从而发现规律，求出f(x) 的表达式；⑥方程组法：一般等号。