高考数学（苏教版，理）复习课件：第三章 第二节同角三角函数关系及诱导公式.ppt

第二节 同角三角函数关系及诱导公式1.同角三角函数的基本关系式(1)平方关系：_______________.(2)商数关系：______________. sin2α+cos2α=12.诱导公式组组数一 二 三 四 五 六 角 α+2kπ (k∈Z)-α π-α π+α 正弦 _______ ________ _____________________________余弦 _____________________________________________正切 ______________________________口诀诀函数名不变变符号看象限函数名改变变符号看 象限sin α-sin αsin α-sin αcos αcos αcos αcos α-cos α-cos αsin α-sin αtan α-tan α-tan αtan α判断下面的结论是否正确(请在括号中打“ √”或“×”).(1)sin(π+α)=-sin α成立的条件是α为锐角.( )(2)终边相同的角的同一三角函数值相等.( )(3)六组诱导公式中的角α可以是任意角.( )(4)若cos(nπ-θ)= (n∈Z)，则cos θ= .( )(5)诱导公式的记忆口诀中“函数名不变，符号看象限”中符号与α的大小无关.( )(6)若α≠ ,k∈Z,则 ( )【解析】(1)错误.sin(π+α)=-sin α,公式成立的条件是α为任意角.(2)正确.由诱导公式(一)可知或由三角函数的定义可得.(3)错误.对于正、余弦的诱导公式，α可以为任意角；而对于正切诱导公式，α≠kπ+ ,k∈Z.(4)错误.当n为偶数时，cos(nπ-θ)=cos θ= .当n为奇数时，cos(nπ-θ)=cos(π-θ)=-cos θ= ,∴cos θ=- .(5)正确.诱导公式中符号看象限中的符号是把任意角α都看成锐角时原函数值的符号，因而与α的大小无关.(6)正确.∵答案：(1)× (2)√ (3)× (4)× (5)√ (6)√1.已知 则cos α=_______.【解析】∵sin(3π+α)=sin(π+α)=-sin α=- .∴答案：2. 【解析】∵答案：3.点A(sin 2 012°,cos 2 012°)在直角坐标平面上所在的象限是__________.【解析】∵sin 2 012°=sin(6×360°-148°)=sin(-148°)=-sin 148°0,且a≠1),则cos( π+α)=______.(3)已知tan α=2,sin α+cos α0,∴α为第一象限角或第三象限角，又sin α+cos α0”,再求所给式子的值.【解析】∵tan α=3,sin α+cos α>0,∴α为第一象限角, 得cos α= sin α,代入sin2α+cos2α=1,解得:sin α= ，故原式= .【拓展提升】利用诱导公式解题的原则和步骤(1)原则：负化正、大化小，化到锐角为终了.能求值的则求值.(2)步骤：【提醒】应用诱导公式时不要忽略了角的范围和三角函数的符号.【变式备选】已知sin(α- )=a(a≠±1,a≠0),求 的值.【解析】考向 3 利用诱导公式化简或证明 【典例3】(1)(2)已知α为第三象限角,①化简f(α)；②若 求f(α)的值.【思路点拨】(1)利用诱导公式转化可解.(2)①直接利用诱导公式化简约分；②利用α为第三象限角及同角三角函数关系的变形式得f(α)的值.【规范解答】(1)原式答案：-1(2)①f(α)=②∵∴-sin α= ,从而sin α=- .又α为第三象限角,∴即f(α)的值为【互动探究】将本例(1)化简式变为如何化简?【解析】原式=tan α.【拓展提升】1.利用诱导公式化简三角函数的思路和要求(1)思路：①分析结构特点，选择恰当公式；②利用公式化成单角三角函数；③整理得最简形式.(2)要求：①化简过程是恒等变形；②结果要求项数尽可能少，次数尽可能低，结构尽可能简单，能求值的要求出值.2.三角恒等式证明的原则及常用方法(1)原则：化繁为简，变异为同.(2)常用方法①从左向右证或从右向左证.②两边向中间证.③证明一个与原等式等价的式子,从而推出原等式成立.【变式备选】(1)化简:(2)求证:对于任意的整数k,【解析】(1)原式(2)当k为偶数时,设k=2n(n∈Z),则原式当k为奇数时,设k=2n+1(n∈Z)，则原式故对任意的整数恒成立.考向 4 诱导公式在三角形中的应用 【典例4】在△ABC中，sin(3π-A)=sin( -A),求△ABC的三个内角.【思路点拨】由已知条件可确定角A，从而确定角B，角C.【规范解答】由sin(3π-A)=sin( -A)得sin A=cos A,即tan A=1,又∵00,∴ 或∴角B与角C中有一角为钝角,故△ABC为钝角三角形. 【易错误区】整体代换思想不明致误 【典例】(2013·扬州模拟)已知函数f(x)=asin(πx+α)+bcos(πx+β),且f(4)=3,则f(2 013)=____________.【误区警示】本题易出现的错误主要有两个方面(1)代入f(4)=3后不会利用诱导公式转化或转化错误.(2)将f(2 013)代入后得出关系式，不会利用整体代换思想导致误解.【规范解答】∵f(4)=asin(4π+α)+bcos(4π+β)=asin α+bcos β=3.∴f(2 013)=asin(2 013π+α)+bcos(2 013π+β)=asin(π+α)+bcos(π+β)=-asin α-bcos β=-(asin α+b cos β)=-3.∴f(2 013)=-3.答案：-3【思考点评】与函数有关的三角函数问题解题策略(1)一般是先化简函数关系式，如利用诱导公式或同角三角函数关系化简后再求值.(2)对于本例这种有条件的求值问题，应先利用已知条件整理化简得出关系式，然后整体代换得所求. 1.(2013·常州模拟)已知α为第四象限角，且sin( +α)= ，则tan α=______.【解析】由 得，cos α= ，又α为第四象限角，故sin α=- ，故答案：2.(2013·苏州模拟)已知 且f( )=cos A，其中A为△ABC的内角，则A=______.【解析】由已知可得故cos A= ,又因为A为△ABC的内角，故A= .答案： 3.(2013·徐州模拟) 【解析】原式答案：4.(2013·扬州模拟)已知0＜α＜π，且tan(π-α)= ，则sin α+cos α=_____.【解析】由tan(π-α)= ，得tan α=- ＜0,∴ ＜α＜π，∴ 又sin2α+cos2α=1，∴得∴答案：5.(2013·连云港模拟)已知sin x+sin y= ，则sin y-cos2x的最大值为_________.【解析】由sin x+sin y= ,得sin y= -sin x,由-1≤ -sin x≤1，得- ≤sin x≤1，故sin y-cos2x= -sin x-(1-sin2x)=sin2x-sin x- =(sin x- )2-故当sin x=- 时，上式取得最大值，即答案：1. 则f(- )=_____.【解析】由已知得f(α)=∴f(- )=-cos(- ).方法一：方法二：答案：2.已知关于x的方程2x2-( +1)x+m=0的两根为sin(5π-θ),sin( -θ),θ∈(0,2π),则m=______.【解析】∵sin(5π-θ)=sin ［4π+(π-θ)］=sin θ,sin( π-θ)=sin ［2π+( -θ)］=cos θ.∴由已知可得,sin θ,cos θ是方程的两根，故①式平方得1+2sin θcos θ= ,∴sin θ·cos θ= ,由②得答案：。